由微積分主宰的世界

現(xiàn)在你應(yīng)該很清楚，我將從應(yīng)用數(shù)學(xué)家的角度講述微積分的故事和重要性。而數(shù)學(xué)史家則會選擇不同的角度，純粹數(shù)學(xué)家亦然。作為一名應(yīng)用數(shù)學(xué)家，真正吸引我的是我們周圍的現(xiàn)實(shí)世界和我們頭腦中的理想世界之間的相互作用。外界的現(xiàn)象引導(dǎo)著我們提出數(shù)學(xué)問題；反過來，我們的數(shù)學(xué)想象有時(shí)也會預(yù)言現(xiàn)實(shí)世界中的事情。當(dāng)這一切真正發(fā)生時(shí)，將會產(chǎn)生不可思議的效果。

要想成為一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，既要有外向型思維，又要有廣博的知識。對我們這個(gè)領(lǐng)域的人來說，數(shù)學(xué)并不是一個(gè)由自我附和的定理和證明構(gòu)成的原始、封閉的世界。我們會欣然接受各種各樣的學(xué)科：哲學(xué)，政治學(xué)，科學(xué)，歷史，醫(yī)學(xué)，等等。所以，我想給大家講述的故事是：由微積分主宰的世界。

這是一種比以往更寬泛的微積分觀，包含了數(shù)學(xué)和相鄰學(xué)科中的許多分支，它們要么是微積分的“表兄弟”，要么是微積分的“副產(chǎn)品”。因?yàn)檫@種“大帳篷”觀是非常規(guī)的，所以我要確保它不會造成任何混淆。比如，我在前文中說過，如果沒有微積分，我們就不會擁有電腦和手機(jī)等，我的意思當(dāng)然不是說微積分本身創(chuàng)造了所有這些奇跡。事實(shí)遠(yuǎn)非如此，科學(xué)和技術(shù)是必不可少的搭檔，或者可以說是這出大戲的主角。我只想說，盡管微積分往往扮演的是配角，但也為塑造我們今天的世界做出了重要貢獻(xiàn)。

以無線通信的發(fā)展史為例。它開始于邁克爾·法拉第和安德烈·瑪麗·安培等科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的電磁定律，如果沒有他們的觀察和反復(fù)修正，那些關(guān)于磁體、電流及其不可見力場的重要事實(shí)將仍不為人所知，無線通信的可能性也永遠(yuǎn)無法實(shí)現(xiàn)。所以，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)在這里顯然起到了不可或缺的作用。

但是，微積分同樣很重要。19世紀(jì)60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家，將電磁場的基本實(shí)驗(yàn)定律改寫為一種可進(jìn)行微積分運(yùn)算的符號形式。經(jīng)過一番變換，他得到了一個(gè)毫無意義的方程，顯然有某種東西缺失了。麥克斯韋懷疑安培定律是罪魁禍?zhǔn)祝L試修正它，于是他在自己的方程中加入了一個(gè)新項(xiàng)——可以化解矛盾的假想電流，然后又利用微積分做了一番運(yùn)算。這次他得到了一個(gè)合理的結(jié)果——一個(gè)簡潔的波動方程，它與描述池塘中漣漪擴(kuò)散的方程很像。只不過麥克斯韋方程還預(yù)言了一種新波的存在，這種波是由相互作用的電場和磁場產(chǎn)生的。一個(gè)變化的電場會產(chǎn)生一個(gè)變化的磁場，一個(gè)變化的磁場又會產(chǎn)生一個(gè)變化的電場，以此類推，每個(gè)場都會引導(dǎo)另一個(gè)場向前運(yùn)動，一起以行波的形式向外傳遞能量。當(dāng)麥克斯韋計(jì)算這種波的速度時(shí)，他發(fā)現(xiàn)它是以光速運(yùn)動的，這絕對是歷史上最令人驚喜的時(shí)刻之一。因此，他不僅利用微積分預(yù)測出電磁波的存在，還解開了一個(gè)古老的謎題：光的性質(zhì)是什么？他意識到，光就是一種電磁波。

麥克斯韋的電磁波預(yù)測促使海因里希·赫茲在1887年做了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，從而證明了電磁波的存在。10年后，尼古拉·特斯拉建造了第一個(gè)無線電通信系統(tǒng)；又過了5年，伽利爾摩·馬可尼發(fā)送了第一份跨越大西洋的無線電報(bào)。接下來，電視、手機(jī)和其他設(shè)備也陸續(xù)出現(xiàn)了。

顯然，微積分不可能獨(dú)立做到這一切。但同樣顯而易見的是，如果沒有微積分，這一切就不會發(fā)生。或者更準(zhǔn)確地說，即時(shí)有可能，也要很久之后才會實(shí)現(xiàn)。