芝諾悖論

早在布魯諾被燒死的大約2 000年前，有一位勇敢的哲學家就開始思考無窮問題了。芝諾提出了一系列關于空間、時間和運動的悖論，無窮在其中扮演著重要而復雜的角色。這些難題預示了微積分的核心思想，至今仍備受關注。伯特蘭·羅素認為，它們無比巧妙和深奧。

我們并不確定芝諾試圖用他的悖論證明些什么，因為他什么記錄都沒有留下。芝諾悖論是通過柏拉圖和亞里士多德的著作流傳至今的，而這兩位哲學家的主要目的是推翻它們。根據他們的講述，芝諾試圖證明改變是不可能發生的。在芝諾看來，盡管感官告訴我們這不是事實，但它實際上欺騙了我們；改變是一種錯覺。

在芝諾悖論中，有三個尤其知名和有影響力。第一個是二分法悖論，它與墻之謎類似，但更加令人沮喪。該悖論認為你根本無法移動，因為在你走一步之前，你需要先走1/2步；在你走1/2步之前，你需要先走1/4步，以此類推。所以，你非但走不到墻根處，甚至沒辦法出發。

這是一個絕妙的悖論。誰能想到，走一步竟然需要完成無窮多項子任務呢？更糟糕的是，我們找不到要完成的第一項任務。第一項任務不可能是走1/2步，因為在那之前你必須先走1/4步，而在你走1/4步之前你必須先走1/8步，以此類推。如果你認為自己在做早餐前有很多事情要做，就可以想象成你必須完成無窮多項任務之后才能到達廚房。

第二個是阿喀琉斯與烏龜悖論。它認為，在跑步比賽中，如果跑得慢的烏龜的起跑點更靠前，那么跑得快的阿喀琉斯就追不上烏龜（圖1–12）。

原因在于，當阿喀琉斯到達烏龜的起跑點時，烏龜會沿著跑道向前移動一點兒；當阿喀琉斯到達那個新位置時，烏龜又會往前爬一點兒。然而，我們卻認為跑得快的選手能趕超跑得慢的選手，這要么是因為感官在欺騙我們，要么是因為我們關于運動、空間和時間的推斷有誤。

在這兩個悖論中，芝諾似乎駁斥了“空間和時間從根本上說是連續的”（這意味著它們可以被無休止地分割）這一觀點。他巧妙地利用了反證法（有人說這是他發明的），律師和邏輯學家把這種修辭策略稱為“歸謬法”。芝諾先假設空間和時間是連續的，然后從這個假設中推導出一個悖論，進而推斷出連續性假設一定是錯誤的。而微積分正是建立在這個假設的基礎之上，所以這場斗爭至關重要。通過指出他的推理過程中的錯誤，微積分對芝諾的觀點進行了反駁。

以下是微積分應對阿喀琉斯與烏龜悖論的方法。假設烏龜的起跑點在阿喀琉斯前方10米處，但阿喀琉斯的跑步速度是烏龜的10倍（比如他的速度是每秒10米，而烏龜的速度是每秒1米）。然后，阿喀琉斯花1秒的時間追平了起跑時烏龜領先他10米的優勢。與此同時，烏龜會向前移動1米。阿喀琉斯需要再花0.1秒來追平這個差距，到那時烏龜會再向前移動0.1米。繼續這個推理過程，我們將會看到阿喀琉斯連續追趕烏龜所花的時間加起來是一個無窮級數：

1+0.1+0.01+0.001+…=1.111…秒

把這個時間量換算成一個等值分數——10/9秒，它就是阿喀琉斯趕超烏龜需要花的時間。雖然芝諾對于阿喀琉斯要完成無窮多項任務的判斷是對的，但這兩者之間并不存在什么矛盾之處。就像計算結果表明的那樣，阿喀琉斯可以在有限的時間內完成所有任務。

這個推理思路可以作為微積分的論證過程。就像我們在前文中討論為什么0.333…=1/3的做法一樣，我們只是對一個無窮級數求和并計算出一個極限。但凡涉及無窮小數，我們就是在做微積分運算（盡管大多數人都會貶低它是中學算術）。

順便說一下，微積分并不是解決這個問題的唯一方法，我們還可以運用代數方法。為了解題，我們需要先確定在比賽開始后的任意時刻t秒，每個參賽者在跑道上的位置。由于阿喀琉斯的速度是每秒10米，而且距離等于速度乘以時間，所以他跑過的距離是10t。對烏龜來說，它在起跑時領先阿喀琉斯10米，而且它的速度是每秒1米，所以它與阿喀琉斯的起跑點之間的距離是10+t。要用代數方法求解阿喀琉斯和烏龜同時到達同一位置所需的時間，就必須讓這兩個表達式相等，由此得到的方程是：

10t=10+t

為了求解這個方程，我們先在等式兩邊同時減去t，得到9t=10。然后，等式兩邊同時除以9，得到t=10/9秒，這與我們用無窮小數換算得出的結果相同。

所以從微積分的角度看，阿喀琉斯與烏龜問題中確實不存在悖論。如果空間和時間是連續的，那么一切都將迎刃而解。