芝諾悖論走向數字化

第三個是飛矢不動悖論，芝諾用它來駁斥另一種可能性，即空間和時間從根本上說是離散的，這意味著它們由不可分割的微小單元（類似于空間像素和時間像素）組成。這個悖論的內容是：如果空間和時間是離散的，飛矢就未曾移動，因為在每一個瞬間（一個時間像素），飛矢都在某個確定的位置（一組特定的空間像素）上。由此可以推斷，在任何給定的瞬間，飛矢都是靜止不動的。它也不會在兩個瞬間之間移動，因為根據假設，兩個瞬間之間是沒有時間的。所以，飛矢從未移動。

在我看來，這是芝諾悖論中最微妙和最有意思的一個。哲學家仍然在爭論它所描述的狀態，不過我認為芝諾似乎說對了2/3。在一個空間和時間離散化的世界里，飛矢的行為確實如芝諾所言。當時間以離散化的方式嘀嗒前行時，飛矢會在一個接一個地方突然出現。他還說對了一點，那就是感官告訴我們現實世界并非如此，至少不是我們通常感知到的那樣。

而芝諾的錯誤在于，他認為在這樣的世界里運動是不可能發生的。根據在數字設備上觀看電影和視頻的經驗，我們就能知道這一點。我們的手機、數字錄像設備和電腦屏幕將所有圖像切分成離散的像素，但和芝諾的主張相反，即使在這些離散化的場景下，運動也可以完美地發生。只要所有圖像都被切分得足夠細致，我們就無法分辨出光滑的運動與其數字表示之間的不同。如果觀看飛矢的高分辨率視頻，我們看到的實際上是一支像素化的箭在一幀接一幀的離散畫面中出現。但由于我們的感知能力有限，它看上去就像一條光滑的軌跡。有時候，我們的感官真的會欺騙我們。

當然，如果切分得太粗糙，我們就能分辨出連續與離散之間的區別，而且常常會發現它有些煩人。想想老式的指針式時鐘和現代的數字/機械時鐘有什么不同。在指針式時鐘上，秒針會以勻速運動的方式掃過表盤，讓人感覺時間在流動。而在數字時鐘上，秒針會一下一下地向前跳動，并發出“嘭嘭嘭”的聲音，讓人感覺時間在跳動。

無窮可以在這兩種截然不同的時間觀念之間架起一座橋梁。想象一下，如果數字時鐘每秒鐘一次的“嘭”聲被幾萬億次小的“嘀嗒”聲代替，那么我們將無法分辨出數字時鐘和真正的指針式時鐘之間的區別。電影和視頻也是這樣，只要畫面閃現得足夠快，比如每秒30幀，就會給人一種無縫流動的感覺。如果每秒閃過無窮多幀，就真可謂天衣無縫了。

再想想我們錄制和回放音樂的情景。我的小女兒在她15歲生日時收到了一臺老式的維克多牌唱機，可以用它來聽艾拉·費茲杰拉的黑膠唱片。這是一種典型的模擬體驗：從唱機中傳出的所有歌曲的音調和擬聲唱法，都跟艾拉演唱它們的時候一樣流暢；不管是在輕柔的部分、高亢的部分還是兩者之間的過渡部分，她的音量都是連續不斷的，從低音到高音的爬升也很優美。然而，當你在數字設備上聽她的歌曲時，音樂的方方面面都被切分成微小而離散的音級，并被轉化成由0和1組成的字符串。盡管兩者在概念上差別巨大，但我們的耳朵卻分辨不出來。

因此在日常生活中，離散與連續之間的鴻溝往往是可彌合的，至少可以取得良好的逼近效果。在很多實際應用中，只要我們把事物切分得足夠細致，離散就可以替代連續。在微積分的理想世界里，我們還可以更上一層樓。任何連續的事物都可以被精確地（而不只是近似地）切分成無窮多個無窮小的部分，這就是無窮原則。在極限和無窮的幫助下，離散和連續融為了一體。