第二部分：空間、時間和愛因斯坦

第三章 空間的獨特性質

1.維度和坐標

我們都知道什么是空間，不過要是被問起空間的準確含義到底是什么，恐怕你就會尷尬了吧？

你也許會說，空間是籠罩于我們周圍的，可以讓我們前后、左右、上下運動的存在。三個互相垂直的獨立方向的存在，代表著我們居住的物理空間的最基本的性質。我們的空間是三個方向的，或者說，是三維的。空間中的任何位置都可以用這三個方向確定。

如果我們拜訪一座陌生的城市，詢問酒店前臺一家知名商行的辦公室所在地，職員會說：“向南走五個街區，右轉再走兩個街區，上七樓。”給出的這三個數字通常被稱為坐標，在這個例子里指代的是城市街區之間、樓層之間以及與位于原點的酒店大堂之間的關系。顯然，從其他任何地點也能給出前往同一目標地的方位，只需用新的坐標正確表達新的原點與目標之間的關系即可，而新的坐標也可以用舊的來表達，只需知道新舊坐標之間的位置關系，經過簡單的數學代換就能獲得。這個過程叫作坐標變換。

值得提醒的是，并非三個坐標都要數字才能表示某一距離，事實上，有時候用角度坐標要方便得多。

例如，紐約的街巷和大道的地址就常用直角坐標來表示，而莫斯科的地址則最好轉換成極坐標——這座老城是圍繞著位于中心的克里姆林宮建設的，街道從中心堡壘開始徑向發散，并有數條同心圓大道環繞著中心。所以，說某幢房子“位于克里姆林宮西北偏北方向二十個街區遠”，這樣的描述就很正常。

另一個關于直角坐標和極坐標的經典例子，就是美國海軍部大樓和位于華盛頓特區的美國國防部五角大樓，相信參與過二戰的人對它們應該都很熟悉。

圖12給出了用三種坐標系統表示空間中的點的位置的例子，其中有的是用距離表示的，有的是用角度表示的。但無論我們選擇哪種坐標，我們都需要三個數據，因為我們存在于三維空間。

以我們的三維空間概念，我們很難想象比三維更高的超空間的樣子（盡管我們將在后文看到，這種空間是存在的），不過我們很容易想象比三維低的子空間的樣子。一個平面、一個球面或者任何平面，都是一個二維子空間，因為平面上的點只需要用兩個數字來描述。與之類似的，一條線（直的或者彎曲的）是一維子空間，線上的一點只需用一個數字就可以描述。我們還可以說一個點是零維子空間，因為一個點上不可能出現兩個不同的位置。不過，誰還在乎點呢！

作為三維生命體，我們發現理解線和面的幾何性質非常容易，因為我們能“從外面”觀察它們，而對三維空間的類似性質的理解就困難得多，因為我們是它的一部分。這就解釋了為什么你可以理解“曲”線和“曲”面，卻很難接受“三維空間也能彎曲”這個說法了。

不過，在經過一點點實踐之后，當你理解了“曲率”這個詞的真正含義時，你就會發現“彎曲的三維空間”這個概念確實很簡單，而且到下一章的末尾，你甚至能（我們希望！）對“彎曲的四維空間”——這個第一眼看上去很可怕的概念——侃侃而談。

但在討論那些之前，我們先來嘗試一些有關三維空間、二維平面和一維曲線的事實的腦力體操吧。