第二章 自然數和人造數

1.最純粹的數學

數學通常被人們，尤其被數學家，認為是一切科學之皇后，而貴為皇后，它自然不能屈尊于其他的知識分支。因此，在一次“純粹數學和應用數學聯合會議”上，大衛·希爾伯特被要求發表一次公開演講，來緩和兩組數學家之間的敵對情緒，他這樣開場：

“我們經常聽到有人說，純粹數學和應用數學是相互對立的。這是不對的。這兩者過去不曾對立，將來也不會對立。純粹數學和應用數學不應對立，因為，事實上，兩者沒有任何相通之處。”

但盡管數學熱衷于保持純粹性，遠離其他的科學，其他的科學卻喜歡數學，尤其是物理，一直在嘗試盡可能地“親善”數學。事實上，幾乎純粹數學的每一個分支現在都能夠被用來幫助解釋物理宇宙里的這個或那個現象。其中包括諸如抽象群、不可逆代數、非歐幾何這樣的總是被認為是最純粹的、最不適宜拿到應用層面的準則。

但是，當今數學還有一個大的系統尚未被發現有任何實際的用途，除了用來模擬一場智力體操，它真的可以榮膺“純粹之皇冠”，這就是所謂的“數論”（這里是指整數）。它是純粹數學里最古老的也是最錯綜復雜的思想產物。

奇怪的是，數論作為數學領域中最純粹的分支，從某方面來說卻是一門經驗科學，甚至可以說是實驗科學。事實上它的大部分定理都是依靠“用數字去做些什么”來建立的，正如很多物理學定律是依靠“物體去做些什么”而得到的一樣。并且同物理學的一些定律一樣，數論中的某些命題已經“通過數學方法”證明，而其他的一些仍是純粹來源于經驗，至今仍讓最杰出的數學家頭疼。

舉個有關質數的問題的例子。

質數是不能被除了1和它本身之外的任何數除盡的數，1、2、3、5、7、11、13、17…，都是質數[1]，而例如12就不是，因為它可以被拆分成2×2×3。

質數的數量是無限的，還是存在一個最大的質數，在它以上的任何數都可以表示成質數的乘積呢？歐幾里得（Euclid）最先考慮了這個問題，他給出了一個非常簡單而優美的證據，證明質數的數目是無窮無盡的，沒有所謂的“最大的質數”。

為研究這個問題，我們不妨假設質數是有限多的，并用N表示最大的質數。現在我們將所有質數相乘，然后加上1。我們可以這么寫：

（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1

顯然這個數比“最大的質數”N要大多了。但顯而易見的是，這個數不能被除了1以外的任何一個質數（直到N）除盡，因為根據創造這個數的方式可以發現，用任何一個質數去除它都會剩下1。

因此這個數要么也是個質數，要么能整除它的質數就比N還要大，這兩種情況都與“N是最大的質數”這一假設相違背。

這種證法叫作反證法（reductio ad absurdum），是數學家最愛用的工具之一。

我們一旦知道了質數的數目是無限大的，就會很容易問出口：有沒有一種簡便的方法能讓我們一個不漏地列出所有的質數？

最早由古希臘哲學家、數學家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出的一種實現這個問題的方法，名為“過篩”。在這個方法中，你需要做的是寫下完整的整數列表，1，2，3，4，…，然后篩掉所有2的倍數，3的倍數，5的倍數，…。前100個整數經過埃拉托斯特尼的篩之后，情況如圖9所示。

這里總共包含26個質數。使用上述的簡單的過篩方法，我們已經建立了10億以內的質數表。

但如果有更簡單的方法，只要一個公式，就能迅速而自動地找到所有的質數，而且只有質數就好了。但數個世紀以來，關于這個公式的努力均宣告失敗。

1640年，法國著名數學家費馬（Fermat）認為他發明出了這樣一個能只算出質數的公式。

在他的公式+1里，n取自然數，1，2，3，4，…。

通過這個公式我們發現：

2²+1=5

每個算式的結果事實上都是質數。但在費馬公布公式約一個世紀之后，德國數學家歐拉（Euler）指出，費馬的第5個式子+1得到的結果4 294 967 297不是質數，它是6 700 417和641的乘積。費馬的計算質數的經驗公式是錯的。

另一個值得一提的計算質數的公式是：

n²?n+41

n取1，2，3，等。當n取1~40時，代入得到的結果都是質數，但很不幸，當n取41時就錯得離譜了。

(41)²?41+41=41²=41×41

得到的是一個平方數，而不是質數。

另一個嘗試產生質數的公式：

n²?79n+1601

直到n取79時得到的都是質數，但在n取80時就不行了。

因此，尋找只給出質數的普遍公式的問題至今仍未解決。

另一個既未得到證明，也未得到證偽的數論定理的有趣例子，是1742年被提出的哥德巴赫（Goldbach）猜想，即任何偶數都可以表示為兩個質數之和[2]。

從一些簡單的例子來看，這是顯而易見的，比如：12=7+5，24=17+7，32=29+3。但在做了大量的有關這個猜想的工作之后，數學家依舊不能得到確定的證明，同時也無法給出任意一個反例。

在1931年，蘇聯數學家施尼勒爾曼（Schnrrelman）朝向最終的證明成功邁出了建設性的第一步——他證明了每個偶數都可以表示為不超過300 000個質數的和。而施尼勒爾曼的“三十萬個質數的和”和翹首以盼的“兩個質數的和”之間的鴻溝，在不久之后被另一位蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了，他將其縮減到“四個質數的和”。但從維諾格拉多夫的“四”到哥德巴赫的“二”的最后兩步似乎是最艱難的，沒人知道跨出這兩步需要再花幾年還是幾個世紀的時間。

好吧，我們與一個能自動給出任意大小的質數的公式似乎還遙不可及，甚至我們都沒法保證能否推導出這樣一個公式。

我們來討論一個更小一點的問題——在給定范圍內的質數的比例有多大？當數字范圍越來越大的時候，這個百分比會不會更趨近于一個常數？如果不是，它會增加還是減少？我們可以用經驗方法來回答這個問題：直接數數表里的質數。

通過計數我們發現，100以內有26個質數，1000以內有168個，1 000 000以內有78 498個，1 000 000 000以內有50 847 478個。將質數數目除以整數數目，我們得到下表：

這張表首先顯示了，當整數范圍增大時，質數的相對數量逐漸減少，但沒有減少到沒有質數的情況。

有沒有一種簡單的方法可以用數學形式表達這種整數范圍增大時質數的比例減少的情況呢？當然有，并且這個有關質數平均分布的規律已經成為整個數學學科領域最引人注目的發現之一。這條規律可以簡單表示為：在1到N的范圍中，質數所占的比例約等于N的自然對數的倒數[3]。N越大，比例越接近。

上表的第四列是N的自然對數的倒數。如果你將其和前一列的數值做對比的話，你會發現兩者之間的差距很小，而且N越大差距越小。

與數論中的其他很多定理一樣，上述的質數理論最先是通過經驗發現的，在很長一段時間內都沒有得到嚴格的數學證明。直到19世紀末，法國數學家阿達馬（Hadamard）和比利時數學家德拉瓦萊普森（de la Vallee Poussin）才終于證明了它，因為證明方法過于復雜，在這里就不贅述了。

提到整數就不得不提到費馬大定理，盡管它和質數沒有什么必然的聯系。這個問題可以追溯到古埃及，那里的每一個好木匠都知道邊長之比為3:4:5的三角形必然包含一個直角。事實上古埃及人就將這種三角形——現稱埃及三角形——作為木匠的三角尺。[4]

3世紀時，亞歷山大里亞城[5]的丟番圖（Diophantes）[6]開始思考是不是只有3和4這兩個整數的平方和等于另一個整數的平方。他證明了有其他的整數符合這樣的性質（實際上有無窮多個），并給出了找到它們的一般規律。這種三邊長都是整數的直角三角形現在被稱為畢達哥拉斯[7]三角形（pythagorean triangles），埃及三角形是其中的第一個。建立畢達哥拉斯三角形的問題可以簡單表示為如下代數等式，其中x，y和z都必須是整數[8]：x²+y²=z²

1621年皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）在巴黎購買了丟番圖所著的《算數》（Arithmetica）的法文譯本，其中就探討了畢達哥拉斯三角形。他在閱讀時，在空白處批注了x²+y²=z²有無限多的整數解，而形如xⁿ+yⁿ=zⁿ的等式，當n大于2時，則不再有整數解。

“我想到了證明這一點的絕妙方法，”費馬補充道，“但書頁的空白處寫不下了。”

費馬去世后，這本丟番圖的書在他的圖書館被發現，空白處的批注隨之舉世而聞。

這已經是3個世紀之前[9]的事了，自此之后，各國頂級的數學家都在設法重建費馬在空白處寫下批注時想到的證明，但直到現在也尚未發現有成功者。

可以肯定的是，數學家在追尋終極目標的過程中已經有了相當大的進展，數論中的全新概念——“理想理論”[10]，也在證明費馬理論的嘗試中誕生了。歐拉證明了x³+y³=z³和x⁴+y⁴=z⁴這兩個方程不存在整數解，狄利克雷（Dirichlet）[11]證明了x5+y5=z5也是如此，經過眾多數學家的聯合努力，我們現在已經得到n小于269時費馬的方程沒有整數解的結論。但對任意的n均成立的一般證明尚未得出[12]，而越來越多的人開始懷疑，費馬其實并沒能做出證明，或者是在他的證明中什么地方出錯了。

為獲得解法，曾有人懸賞10萬德國馬克，這使得費馬大定理轟動一時——盡管那些沖著金錢而來的業余愛好者并沒有獲得過什么進展。

費馬大定理的確有可能是錯誤的，只要能找到某兩個整數的某一次冪等于第三個整數的相同次冪的反例即可。但考慮到這樣的例子要在冪次大于269的情況下找，難度可是不容小覷啊。