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書名：從一到無窮大
作者名： (美)喬治·伽莫夫
本章字數： 3817字
更新時間： 2021-03-12 20:39:33

2.詭秘的

現在我們來接觸一點更深入的算術。

二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，因此，四的算術平方根是二，九的算術平方根是三，十六的是四，二十五的是五。[13]

但負數的算術平方根又會是什么呢？諸如和這樣的表達形式有意義嗎？

如果你嘗試從理性的角度去考慮，一定會毫無疑問地得出結論：上述的表達形式毫無意義。引用12世紀數學家布哈斯克拉（Bhaskara）的話說：“正數和負數的平方都是正數。因此，正數的平方根有兩個，一個是正數，一個是負數。負數沒有平方根，沒有負數是平方數。”

但數學家們是固執的，當一些沒有意義的東西出現在他們的公式里時，他們會想盡一切辦法賦予這些東西意義。顯然負數的平方根總是會出現在各種情況中，無論是在困擾過去數學家的簡單的算術問題中，還是在20世紀相對論理論框架下的關于時空統一的問題里。

第一位將看似沒有意義的負數平方根寫入公式的勇士是16世紀意大利數學家卡爾丹（Cardan）。在討論“將10分成兩部分，使得這兩部分的乘積為40”的可能時，他指出，盡管這個問題沒有任何正有理數解，但可以用這樣兩個不可能的數學式表示：5+和 5?。[14]

盡管卡爾丹對這兩個算式持保留意見，因為它們是沒有意義的、虛構的、想象的，但他還是寫了下來。

既然有人敢于寫下負數的平方根——雖然這可能是虛構的，但將10拆分成兩個所需的部分的問題確實得到了解決。封住負數平方根的堅冰已然被敲開，這個被卡爾丹命名為虛數的平方根正越來越頻繁地被數學家使用，盡管這種使用方式總是招致懷疑，或者需要正當理由。

在1770年出版的由著名德國數學家歐拉[15]所著的代數書中，我們找到了更多使用虛數的例子，但是他又留下了這樣的評語：“一切形如、的表達式，都是不可能的，或者說是虛無的，因為它們表達的是負數的平方根，對于這樣的數字我們只能斷言，它們既不比任何數大，也不比任何數小，它們的組成是虛無的。”

盡管存在這些責難和非議，虛數在數學中還是成了像分數一樣不可或缺的存在，如果沒有它，數學的發展將寸步難行。

事實上，虛數更像是實數在鏡子中的幻象，而且正如所有的實數都可以由基礎數字1產生，所有的虛數也可以由虛數單位產生，我們用符號i來表示這個單位。

如此一來，顯而易見地，=×=3i，=×=2.646…i，等，因此每個實數都有其相對應的虛數。你也可以把實數和虛數結合起來，用單一的表達方式，如卡爾丹最先寫出的5+，就等于5+i。這種混合體被稱為復數。

自闖進數學領域以來，足足2個世紀，虛數仍舊披著神秘莫測、不可思議的面紗，然而，這層面紗最終被兩位業余數學家——挪威測繪員韋塞爾（Wessel）和法國巴黎簿記員羅伯特·阿爾岡（Robert Argand）通過簡明的幾何表示方法揭開了。

根據他們的表示方法，一個復數，如3+4i，其表示方式如圖10所示，其中3表示水平方向的坐標，4表示垂直方向的坐標。

所有的實數（正數或負數）都對應著水平軸上的點，所有的純虛數都對應著垂直軸上的點。

當我們將一個表示水平軸上的點的實數，例如3，乘以虛數單位i，我們會得到純虛數3i，對應的是垂直軸上的一個點。因此，將任何實數乘以i，其幾何意義都相當于逆時針旋轉了90°（圖10）。

如果我們再給3i乘以i，那么我們必須再逆時針旋轉90°，點的位置又回到了水平軸上，只不過是在負值的一端。因此有：

3i×i=3i²=?3，i²=?1

當然，“i的平方等于?1”這個說法要比“連續兩次旋轉90°（都是逆時針）你會得到相反的方向”容易理解得多。

混合的復數也同樣服從這個規則。將3+4i乘以i我們得到：

(3+4i)i=3i+4i²=3i?4=?4+3i

你立刻就能從圖10里看出，?4+3i的點是3+4i的點以原點為中心逆時針旋轉90°的結果。同樣，任何數乘以?i，也不過是將其所代表的點以原點為中心順時針旋轉90°，這一點也可以從圖10中看出。

如果你覺得虛數周圍仍然籠罩著詭秘的迷霧，那就用一個包含虛數的簡單的實際應用來驅散它吧。

曾有一位愛冒險的年輕人在他的曾祖父的文稿中找到了一卷羊皮紙，里面的內容揭示了一處神秘寶藏的位置。上面的指示說：

“航行到北緯______，西經______[16]，你就能找到一

座荒島。島的北岸有一大片草地，其中種著一棵橡樹和一棵松樹[17]，除此之外你還能看到一個舊的絞刑架，它曾被用來絞死叛徒。從絞刑架的位置開始，向橡樹走去，記下走了多少步。到達橡樹之后右轉90°，再走相同數量的步數，在最后到達的位置釘下一根木樁。然后回到絞刑架的位置，向松樹走去，同樣記下走了多少步。走到松樹之后左轉90°，也是走相同數量的步數，再釘一根木樁。在兩根木樁的中點挖掘，你就能找到寶藏。”

指示簡潔明了，于是年輕人就租了一條船駛往小島。他找到了小島，找到了草地、橡樹和松樹，但讓他極度沮喪的是，絞刑架不見了。由于時間太久了，風吹雨打腐朽了木頭，將其化為塵土，絞刑架原來所在的位置沒有留下任何痕跡。

我們這位愛冒險的年輕人陷入了絕望，這份絕望又進而轉化為了狂亂，他開始在草地上到處亂挖。可是無論盡了多少努力都是徒勞的，島太大了！所以他空手而歸，而寶藏可能還在那里。

這是一個傷心的故事，不是嗎？但更令人傷心的是，如果他懂一點數學的話，尤其是知道虛數的用法的話，他可能就能拿到寶藏了。

我們來看看能不能幫他找到寶藏，盡管于他而言為時已晚。

假設島是復數平面，過兩棵樹畫一根軸（實軸），在兩棵樹的連線中點畫垂直于兩棵樹的連線的另一根軸（虛軸）（圖11）。取兩棵樹之間一半的距離為單位長度，這樣我們可以說，橡樹在實軸上?1的位置，松樹在+1的位置。

我們不知道絞刑架在哪兒，就用希臘字母Γ（大寫的gamma）表示它的虛擬位置，因為這個字母長得像絞刑架。既然絞刑架不一定在兩根軸上，那么Γ就應當是個復數：Γ=a+bi，a和b的意義在圖11中有解釋。

下面我們來做一些簡單的計算，注意，要記得上文講過的虛數乘法的規則。如果絞刑架在Γ，橡樹在?1，它們之間的距離和方位就可以表示為(?1)?Γ=?(1+Γ)。同理，絞刑架和松樹之間的距離則表示為1?Γ。為了旋轉這兩個距離——一個是順時針旋轉90°（右轉），一個是逆時針旋轉90°（左轉），根據上文的規則，我們必須將其分別乘以?i和i，因而兩根木樁的位置如下（圖11）：

第一根木樁：(?i)[?(1+Γ)]+1=i(Γ+1)?1

第二根木樁：(+i)(1?Γ)?1=i(1?Γ)+1

因為寶藏在兩根木樁連線的中點，我們需要將兩個復數加起來乘上，于是有：

[i(Γ+1)+1+i(1?Γ)?1]=[+iΓ+i+1+i?iΓ?1]

=(+2i)=+i

我們發現在這個過程中絞刑架未知的位置Γ已經相消了，那么無論絞刑架在哪里，寶藏必然都在+i的位置上。

因此，如果我們那位愛冒險的年輕人懂得做這么一點點數學計算的話，他就根本不必挖掘整座島，只需要在圖11所預測的位置找尋寶藏即可，寶藏肯定就在那兒。

如果你還是不相信找到寶藏可以不必知道絞刑架的位置的話，你可以在一張紙上標注出兩棵樹的位置，然后假設幾次不同的絞刑架的位置，按照羊皮紙上指示的方法去做。你一定會得到相同的點，那就是復數平面上+i的那個點！

另一個我們依靠?1的平方根這個虛數發掘出來的隱藏寶藏是：我們的三維空間和時間可以被統一進一個四維的圖景中，這個四維圖景是由四維幾何學規律所支配的。我們會在接下來的章節里探討這個發現，同時我們還將探討愛因斯坦（Einstein）的思想和他的相對論理論。

[1]　當今數學界認為質數和合數的定義范圍是2及以上的整數，1既不是質數也不是合數，但如果不把1算作質數，那下文的內容就無法解釋了（譯注）。

[2]　哥德巴赫最早在寫給歐拉的信中提出的是，任何一個大于2的整數都可以表示為三個質數的和。在現代數學定義1不是質數之后，哥德巴赫猜想的現代形式，是任何一個大于5的整數都可以表示為三個質數的和。本文提到的猜想是經歐拉進一步思考后提出的等價版本，又名“關于偶數的哥德巴赫猜想”，或“強哥德巴赫猜想”（譯注）。

[3]　簡單來說，自然對數可以被定義為常用對數（log10N）乘以2.3026。

[4]　在小學幾何中，畢達哥拉斯證明了這一點：3²+4²=5²。

[5]　亞歷山大里亞城：即現在的亞歷山大城（譯注）。

[6]　丟番圖：古希臘數學家，最先使用符號來代替文字表達，并在數論、代數方程解法等方面均有重要貢獻。代表作：《算數》（譯注）。

[7]　畢達哥拉斯（Pythagoras）：公元前580年—前500（490）年，古希臘數學家、哲學家，主要成就有畢達哥拉斯定理（勾股定理）等（譯注）。

[8]　根據丟番圖的一般規律（取兩個數a和b，使得2ab是完全平方數。x=a+，y=b+，z=a+b+，然后就有x2+y2=z2，這用普通的代數很容易驗證），我們可以建立一個包含所有解的表，開頭幾個如下： 32+42=52（埃及三角形）