第二章 自然數(shù)和人造數(shù)

1.最純粹的數(shù)學

數(shù)學通常被人們，尤其被數(shù)學家，認為是一切科學之皇后，而貴為皇后，它自然不能屈尊于其他的知識分支。因此，在一次“純粹數(shù)學和應用數(shù)學聯(lián)合會議”上，大衛(wèi)·希爾伯特被要求發(fā)表一次公開演講，來緩和兩組數(shù)學家之間的敵對情緒，他這樣開場：

“我們經(jīng)常聽到有人說，純粹數(shù)學和應用數(shù)學是相互對立的。這是不對的。這兩者過去不曾對立，將來也不會對立。純粹數(shù)學和應用數(shù)學不應對立，因為，事實上，兩者沒有任何相通之處。”

但盡管數(shù)學熱衷于保持純粹性，遠離其他的科學，其他的科學卻喜歡數(shù)學，尤其是物理，一直在嘗試盡可能地“親善”數(shù)學。事實上，幾乎純粹數(shù)學的每一個分支現(xiàn)在都能夠被用來幫助解釋物理宇宙里的這個或那個現(xiàn)象。其中包括諸如抽象群、不可逆代數(shù)、非歐幾何這樣的總是被認為是最純粹的、最不適宜拿到應用層面的準則。

但是，當今數(shù)學還有一個大的系統(tǒng)尚未被發(fā)現(xiàn)有任何實際的用途，除了用來模擬一場智力體操，它真的可以榮膺“純粹之皇冠”，這就是所謂的“數(shù)論”（這里是指整數(shù)）。它是純粹數(shù)學里最古老的也是最錯綜復雜的思想產(chǎn)物。

奇怪的是，數(shù)論作為數(shù)學領(lǐng)域中最純粹的分支，從某方面來說卻是一門經(jīng)驗科學，甚至可以說是實驗科學。事實上它的大部分定理都是依靠“用數(shù)字去做些什么”來建立的，正如很多物理學定律是依靠“物體去做些什么”而得到的一樣。并且同物理學的一些定律一樣，數(shù)論中的某些命題已經(jīng)“通過數(shù)學方法”證明，而其他的一些仍是純粹來源于經(jīng)驗，至今仍讓最杰出的數(shù)學家頭疼。

舉個有關(guān)質(zhì)數(shù)的問題的例子。

質(zhì)數(shù)是不能被除了1和它本身之外的任何數(shù)除盡的數(shù)，1、2、3、5、7、11、13、17…，都是質(zhì)數(shù)[1]，而例如12就不是，因為它可以被拆分成2×2×3。

質(zhì)數(shù)的數(shù)量是無限的，還是存在一個最大的質(zhì)數(shù)，在它以上的任何數(shù)都可以表示成質(zhì)數(shù)的乘積呢？歐幾里得（Euclid）最先考慮了這個問題，他給出了一個非常簡單而優(yōu)美的證據(jù)，證明質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無窮無盡的，沒有所謂的“最大的質(zhì)數(shù)”。

為研究這個問題，我們不妨假設(shè)質(zhì)數(shù)是有限多的，并用N表示最大的質(zhì)數(shù)。現(xiàn)在我們將所有質(zhì)數(shù)相乘，然后加上1。我們可以這么寫：

（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1

顯然這個數(shù)比“最大的質(zhì)數(shù)”N要大多了。但顯而易見的是，這個數(shù)不能被除了1以外的任何一個質(zhì)數(shù)（直到N）除盡，因為根據(jù)創(chuàng)造這個數(shù)的方式可以發(fā)現(xiàn)，用任何一個質(zhì)數(shù)去除它都會剩下1。

因此這個數(shù)要么也是個質(zhì)數(shù)，要么能整除它的質(zhì)數(shù)就比N還要大，這兩種情況都與“N是最大的質(zhì)數(shù)”這一假設(shè)相違背。

這種證法叫作反證法（reductio ad absurdum），是數(shù)學家最愛用的工具之一。

我們一旦知道了質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無限大的，就會很容易問出口：有沒有一種簡便的方法能讓我們一個不漏地列出所有的質(zhì)數(shù)？

最早由古希臘哲學家、數(shù)學家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出的一種實現(xiàn)這個問題的方法，名為“過篩”。在這個方法中，你需要做的是寫下完整的整數(shù)列表，1，2，3，4，…，然后篩掉所有2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)，…。前100個整數(shù)經(jīng)過埃拉托斯特尼的篩之后，情況如圖9所示。

這里總共包含26個質(zhì)數(shù)。使用上述的簡單的過篩方法，我們已經(jīng)建立了10億以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表。

但如果有更簡單的方法，只要一個公式，就能迅速而自動地找到所有的質(zhì)數(shù)，而且只有質(zhì)數(shù)就好了。但數(shù)個世紀以來，關(guān)于這個公式的努力均宣告失敗。

1640年，法國著名數(shù)學家費馬（Fermat）認為他發(fā)明出了這樣一個能只算出質(zhì)數(shù)的公式。

在他的公式+1里，n取自然數(shù)，1，2，3，4，…。

通過這個公式我們發(fā)現(xiàn)：

2²+1=5

每個算式的結(jié)果事實上都是質(zhì)數(shù)。但在費馬公布公式約一個世紀之后，德國數(shù)學家歐拉（Euler）指出，費馬的第5個式子+1得到的結(jié)果4 294 967 297不是質(zhì)數(shù)，它是6 700 417和641的乘積。費馬的計算質(zhì)數(shù)的經(jīng)驗公式是錯的。

另一個值得一提的計算質(zhì)數(shù)的公式是：

n²?n+41

n取1，2，3，等。當n取1~40時，代入得到的結(jié)果都是質(zhì)數(shù)，但很不幸，當n取41時就錯得離譜了。

(41)²?41+41=41²=41×41

得到的是一個平方數(shù)，而不是質(zhì)數(shù)。

另一個嘗試產(chǎn)生質(zhì)數(shù)的公式：

n²?79n+1601

直到n取79時得到的都是質(zhì)數(shù)，但在n取80時就不行了。

因此，尋找只給出質(zhì)數(shù)的普遍公式的問題至今仍未解決。

另一個既未得到證明，也未得到證偽的數(shù)論定理的有趣例子，是1742年被提出的哥德巴赫（Goldbach）猜想，即任何偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和[2]。

從一些簡單的例子來看，這是顯而易見的，比如：12=7+5，24=17+7，32=29+3。但在做了大量的有關(guān)這個猜想的工作之后，數(shù)學家依舊不能得到確定的證明，同時也無法給出任意一個反例。

在1931年，蘇聯(lián)數(shù)學家施尼勒爾曼（Schnrrelman）朝向最終的證明成功邁出了建設(shè)性的第一步——他證明了每個偶數(shù)都可以表示為不超過300 000個質(zhì)數(shù)的和。而施尼勒爾曼的“三十萬個質(zhì)數(shù)的和”和翹首以盼的“兩個質(zhì)數(shù)的和”之間的鴻溝，在不久之后被另一位蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了，他將其縮減到“四個質(zhì)數(shù)的和”。但從維諾格拉多夫的“四”到哥德巴赫的“二”的最后兩步似乎是最艱難的，沒人知道跨出這兩步需要再花幾年還是幾個世紀的時間。

好吧，我們與一個能自動給出任意大小的質(zhì)數(shù)的公式似乎還遙不可及，甚至我們都沒法保證能否推導出這樣一個公式。

我們來討論一個更小一點的問題——在給定范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)的比例有多大？當數(shù)字范圍越來越大的時候，這個百分比會不會更趨近于一個常數(shù)？如果不是，它會增加還是減少？我們可以用經(jīng)驗方法來回答這個問題：直接數(shù)數(shù)表里的質(zhì)數(shù)。

通過計數(shù)我們發(fā)現(xiàn)，100以內(nèi)有26個質(zhì)數(shù)，1000以內(nèi)有168個，1 000 000以內(nèi)有78 498個，1 000 000 000以內(nèi)有50 847 478個。將質(zhì)數(shù)數(shù)目除以整數(shù)數(shù)目，我們得到下表：

這張表首先顯示了，當整數(shù)范圍增大時，質(zhì)數(shù)的相對數(shù)量逐漸減少，但沒有減少到?jīng)]有質(zhì)數(shù)的情況。

有沒有一種簡單的方法可以用數(shù)學形式表達這種整數(shù)范圍增大時質(zhì)數(shù)的比例減少的情況呢？當然有，并且這個有關(guān)質(zhì)數(shù)平均分布的規(guī)律已經(jīng)成為整個數(shù)學學科領(lǐng)域最引人注目的發(fā)現(xiàn)之一。這條規(guī)律可以簡單表示為：在1到N的范圍中，質(zhì)數(shù)所占的比例約等于N的自然對數(shù)的倒數(shù)[3]。N越大，比例越接近。

上表的第四列是N的自然對數(shù)的倒數(shù)。如果你將其和前一列的數(shù)值做對比的話，你會發(fā)現(xiàn)兩者之間的差距很小，而且N越大差距越小。

與數(shù)論中的其他很多定理一樣，上述的質(zhì)數(shù)理論最先是通過經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)的，在很長一段時間內(nèi)都沒有得到嚴格的數(shù)學證明。直到19世紀末，法國數(shù)學家阿達馬（Hadamard）和比利時數(shù)學家德拉瓦萊普森（de la Vallee Poussin）才終于證明了它，因為證明方法過于復雜，在這里就不贅述了。

提到整數(shù)就不得不提到費馬大定理，盡管它和質(zhì)數(shù)沒有什么必然的聯(lián)系。這個問題可以追溯到古埃及，那里的每一個好木匠都知道邊長之比為3:4:5的三角形必然包含一個直角。事實上古埃及人就將這種三角形——現(xiàn)稱埃及三角形——作為木匠的三角尺。[4]

3世紀時，亞歷山大里亞城[5]的丟番圖（Diophantes）[6]開始思考是不是只有3和4這兩個整數(shù)的平方和等于另一個整數(shù)的平方。他證明了有其他的整數(shù)符合這樣的性質(zhì)（實際上有無窮多個），并給出了找到它們的一般規(guī)律。這種三邊長都是整數(shù)的直角三角形現(xiàn)在被稱為畢達哥拉斯[7]三角形（pythagorean triangles），埃及三角形是其中的第一個。建立畢達哥拉斯三角形的問題可以簡單表示為如下代數(shù)等式，其中x，y和z都必須是整數(shù)[8]：x²+y²=z²

1621年皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）在巴黎購買了丟番圖所著的《算數(shù)》（Arithmetica）的法文譯本，其中就探討了畢達哥拉斯三角形。他在閱讀時，在空白處批注了x²+y²=z²有無限多的整數(shù)解，而形如xⁿ+yⁿ=zⁿ的等式，當n大于2時，則不再有整數(shù)解。

“我想到了證明這一點的絕妙方法，”費馬補充道，“但書頁的空白處寫不下了。”

費馬去世后，這本丟番圖的書在他的圖書館被發(fā)現(xiàn)，空白處的批注隨之舉世而聞。

這已經(jīng)是3個世紀之前[9]的事了，自此之后，各國頂級的數(shù)學家都在設(shè)法重建費馬在空白處寫下批注時想到的證明，但直到現(xiàn)在也尚未發(fā)現(xiàn)有成功者。

可以肯定的是，數(shù)學家在追尋終極目標的過程中已經(jīng)有了相當大的進展，數(shù)論中的全新概念——“理想理論”[10]，也在證明費馬理論的嘗試中誕生了。歐拉證明了x³+y³=z³和x⁴+y⁴=z⁴這兩個方程不存在整數(shù)解，狄利克雷（Dirichlet）[11]證明了x5+y5=z5也是如此，經(jīng)過眾多數(shù)學家的聯(lián)合努力，我們現(xiàn)在已經(jīng)得到n小于269時費馬的方程沒有整數(shù)解的結(jié)論。但對任意的n均成立的一般證明尚未得出[12]，而越來越多的人開始懷疑，費馬其實并沒能做出證明，或者是在他的證明中什么地方出錯了。

為獲得解法，曾有人懸賞10萬德國馬克，這使得費馬大定理轟動一時——盡管那些沖著金錢而來的業(yè)余愛好者并沒有獲得過什么進展。

費馬大定理的確有可能是錯誤的，只要能找到某兩個整數(shù)的某一次冪等于第三個整數(shù)的相同次冪的反例即可。但考慮到這樣的例子要在冪次大于269的情況下找，難度可是不容小覷啊。