2.如何計(jì)數(shù)無窮大

在前一節(jié)里我們討論了數(shù)字，其中的許多都是相當(dāng)大的數(shù)。但即使是這些數(shù)字巨大，例如西薩·班·達(dá)伊爾要求獲得的麥粒數(shù)是令人難以置信的大，它們也是有限的，在時(shí)間足夠長的情況下總能寫到它的最后一位。

也有些數(shù)字真的是無限的，比我們能寫出的任何數(shù)都要大。因此“所有數(shù)字的數(shù)目”顯然是無窮大的，“一條線段上的所有幾何點(diǎn)的數(shù)目”也一樣。那么，有沒有什么辦法可以描述它們而不只是說它們是無窮大的，或者說，有沒有可能舉個(gè)例子，比一比兩個(gè)不同的無窮大，看哪一個(gè)“更大”？

“所有數(shù)字的數(shù)目相比一條線上所有點(diǎn)的數(shù)目是大還是小？”這樣的問題有意義嗎？這個(gè)乍看有些荒誕的問題，著名數(shù)學(xué)家喬治·康托爾（Georg Cantor）最先思考過，他確實(shí)可以被稱為“無窮大數(shù)算數(shù)”的奠基人。

當(dāng)我們想要討論無窮大數(shù)是更大還是更小時(shí)，我們面臨的問題是，需要比較我們既不能命名又不能寫下的數(shù)字，這時(shí)我們就像一位正在查看自己的寶箱中是玻璃珠多還是銅幣多的霍屯督人，但是你應(yīng)該還記得，霍屯督人數(shù)不了比3大的數(shù)。那他會因?yàn)閿?shù)不了大于3的數(shù)而放棄比較玻璃珠和銅幣的數(shù)目嗎？顯然不可能。如果他足夠聰明，他會通過一個(gè)一個(gè)比較玻璃珠和銅幣來得到答案。

他會把一粒玻璃珠放在一塊銅幣旁邊，另一粒玻璃珠放在另一塊銅幣旁邊，然后繼續(xù)下去……如果玻璃珠用完了而銅幣還有，他便知道銅幣更多，反之玻璃珠更多，如果都用完了就是一樣多。

康托爾提出了完全一致的方法來比較兩個(gè)無窮大的數(shù)：假使我們能將兩個(gè)無窮大里的成分一一配對的話，如果沒有剩余成分，就說明兩個(gè)無窮大是一樣的。但如果這樣的安排是無法進(jìn)行的，其中一個(gè)無窮大中有成分剩余，我們就說這個(gè)無窮大比另一個(gè)更大，或者說更強(qiáng)。

這顯然是最合理的，也是唯一可行的比較無窮大的數(shù)量的方法。但當(dāng)我們準(zhǔn)備實(shí)際套用它的時(shí)候我們會再大吃一驚。舉個(gè)例子，奇數(shù)和偶數(shù)都是無窮多，你會自然而然地覺得這兩個(gè)無窮大是一樣大的，即奇數(shù)和偶數(shù)一樣多，這和上述的法則也完全一致，因?yàn)橐粚σ慌鋵@些數(shù)字可以得到：

在這里每一個(gè)偶數(shù)都與一個(gè)奇數(shù)配對，反之亦然，因此偶數(shù)的無限多與奇數(shù)的無限多一樣大。這是顯而易見的！

下面哪個(gè)數(shù)目你認(rèn)為更大：所有整數(shù)的數(shù)目，包括所有偶數(shù)和奇數(shù)，還是只有偶數(shù)的數(shù)目？你當(dāng)然會說所有整數(shù)的數(shù)目更大，因?yàn)樗劝伺紨?shù)，還包含了奇數(shù)。但這只是你的印象，為了得到準(zhǔn)確的答案你還是要套用上面比較兩個(gè)無窮大的法則。

然而，如果你用了這個(gè)法則你就會驚詫地發(fā)現(xiàn)你的印象是錯(cuò)的。事實(shí)上，當(dāng)一一配對所有整數(shù)和偶數(shù)時(shí)：

根據(jù)我們的比較無窮大的法則，我們必須承認(rèn)，偶數(shù)數(shù)目的無窮大和整數(shù)數(shù)目的無窮大是一樣大的。這聽起來與常理相悖，因?yàn)榕紨?shù)只是整數(shù)的一部分，但我們必須記住，當(dāng)我們和無窮大數(shù)打交道的時(shí)候，我們必須準(zhǔn)備好面對意想不到的性質(zhì)。

實(shí)際上在無窮大的世界里，部分可能和整體相等！這一點(diǎn)或許最適合用關(guān)于德國著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）的一個(gè)故事來闡述。據(jù)說他在關(guān)于無窮大的課堂上將無窮大的這種似是而非的性質(zhì)用下面的話表述出來：[14]

我們來想象一家擁有有限多房間的賓館，并假設(shè)所有房間都已經(jīng)有人入住。一位新的房客到來，詢問是否有空房。“很抱歉，”房東說，“房間已滿。”現(xiàn)在我們再想象一家擁有無限多房間的賓館，全部住滿。同樣有位新房客來詢問房間。

“當(dāng)然沒問題！”房東說，他將原來住在N1房間的房客移到N2房間，N2房間的房客移到N3房間，N3移到N4，如此類推……最終新房客住進(jìn)了N1房間，一切都好。

我們再來想象一家擁有無限多房間的賓館，房間全部住滿，然后來了無限多數(shù)量的新房客詢問房間。

“當(dāng)然，先生們，”房東說“稍等一下即好。”他將N1房間的房客移到N2，N2房間的移到N4，N3的移到N6，如此類推……

“這樣一來所有奇數(shù)號的房間都空出來了，無限多數(shù)目的房客就可以入住了。”

當(dāng)然，因?yàn)樯硖幨澜绱髴?zhàn)之中，即使是在華盛頓也很難想象希爾伯特所描述的情況，但這個(gè)例子舉得恰到好處，它告訴我們無窮大數(shù)的性質(zhì)與普通數(shù)字的算數(shù)法則大不相同。

根據(jù)康托爾的比較兩個(gè)無窮大數(shù)的法則，我們還能證明所有的普通算數(shù)分?jǐn)?shù)，如或的數(shù)目與所有的整數(shù)的數(shù)目相同。事實(shí)上我們可以使用下面的規(guī)則來排列分?jǐn)?shù)：我們先寫下分子和分母之和為2的分?jǐn)?shù)，即；然后是和為3的分?jǐn)?shù)：和；然后是和為4的分?jǐn)?shù)：，，，如此往下。按照這樣的方式操作我們就能得到一列包含所有能想到的分?jǐn)?shù)的數(shù)列（圖5）。現(xiàn)在在這個(gè)數(shù)列之上寫下整數(shù)的數(shù)列，你會發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)列是一一對應(yīng)的。這說明分?jǐn)?shù)和整數(shù)的數(shù)量是一樣多的！

一名非洲土著和喬治·康托爾教授正在比較超過他們計(jì)數(shù)能力的數(shù)字。

“嗯，這很棒，”你會說，“但這不就表明所有的無窮大數(shù)都相等了嗎？如此一來，這還有什么可比性嗎？”

不，事情并不是這樣的，人們很容易找出比所有整數(shù)或者分?jǐn)?shù)的數(shù)目更大的無窮大數(shù)。

事實(shí)上，如果考慮一下本章前面提到的一條線段上的點(diǎn)的數(shù)目與所有整數(shù)的數(shù)目的比較，我們會發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)無窮大是不一樣大的，一條線段上的點(diǎn)的數(shù)目要比整數(shù)或分?jǐn)?shù)的數(shù)目多得多。為證明這一點(diǎn)，我們嘗試建立一條1英寸長的線段上的所有點(diǎn)和整數(shù)數(shù)列的一一對應(yīng)的關(guān)系。

這條線段上的每一點(diǎn)都可以描述成這一點(diǎn)到線段的末尾的距離，而這個(gè)距離可以寫成無限小數(shù)的形式，如0.735 062 478 005 6…或0.382 503 756 32…[15]。因而我們需要比較所有整數(shù)的數(shù)目和這些所有可能的無限小數(shù)的數(shù)目。那么上面給出的無限小數(shù)和普通算數(shù)分?jǐn)?shù)，例如 或 ，有什么區(qū)別呢？

在學(xué)過的算術(shù)課上你需要記得，一些分?jǐn)?shù)都可以被轉(zhuǎn)化為無限循環(huán)小數(shù)，比如，=0.66666…=， =0.428571|428571|428571|4…=。我們已經(jīng)通過上文證明了所有普通算數(shù)分?jǐn)?shù)的數(shù)目與所有整數(shù)的數(shù)目相同，所以所有無限循環(huán)小數(shù)的數(shù)目與所有整數(shù)的數(shù)目相同。但是線段上的點(diǎn)并不只是對應(yīng)無限循環(huán)小數(shù)，在大部分情況下我們得到的無限小數(shù)里的數(shù)字沒有任何規(guī)律可言。顯然這輕易就證明了“一一對應(yīng)的關(guān)系”是無法得到的。

假設(shè)有人聲稱建立了這樣的對應(yīng)關(guān)系，并且它長得像這樣：

N

1 0.386 025 630 78…

2 0.573 507 620 50…

3 0.993 567 532 07…

4 0.257 632 004 56…

5 0.000 053 205 62…

6 0.990 356 385 67…

7 0.555 227 305 67…

8 0.052 773 656 42…

… ……

當(dāng)然，既然不可能把無窮多的整數(shù)和無限位數(shù)的小數(shù)全部寫出來，上述的聲明意味著此人發(fā)現(xiàn)了某種普遍規(guī)律（就像我們用來排列普通分?jǐn)?shù)的一樣），根據(jù)這個(gè)規(guī)律他寫出了上面這張表，而這個(gè)規(guī)律可以保證每個(gè)小數(shù)都遲早會出現(xiàn)在表上。

不過，我們不難證明這種聲明是靠不住的，因?yàn)?span id="ii0hdeo" class="underline">我們總是能寫出這張無限的表里不包含的無限小數(shù)。如何做到呢？這很簡單，只要寫下第一位小數(shù)不同于表里N1的小數(shù)的第一位的，第二位小數(shù)不同于N2的第二位的，如此類推。最后你得到的數(shù)字會長這樣：

這個(gè)數(shù)不在這張表里，無論你往下看多少項(xiàng)。其實(shí)如果表的作者告訴你，你寫的這個(gè)小數(shù)在表里的第137號（N137，或其他任何一號），你可以立即反駁：“不，這兩個(gè)小數(shù)不同，因?yàn)樗鼈兊牡?37位小數(shù)是不一樣的。”

因此線段上的點(diǎn)和整數(shù)數(shù)目之間一對一的對應(yīng)關(guān)系是不可能建立的，這就說明線段上點(diǎn)的個(gè)數(shù)比所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)的數(shù)目更大，或者說更強(qiáng)。

我們之前討論的是“1英寸長的”線段上的點(diǎn)，但根據(jù)我們的“無窮大算數(shù)”，顯而易見,任何長度的線段都服從這一規(guī)律。事實(shí)上，1英寸、1英尺、1英里長的線段上的點(diǎn)的數(shù)目都是一樣多的。為證明這點(diǎn)我們可以看一下圖6，它比較了兩條不同長度的線段AB、AC上的點(diǎn)的數(shù)目。

為建立兩條線段上的兩點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，我們可以畫無數(shù)條BC的平行線，這些線各交AB和AC于一對點(diǎn)，比如D和D'，E和E'，F(xiàn)和F'，等等。這樣一來，AB上的每個(gè)點(diǎn)就都對應(yīng)有AC上的一個(gè)點(diǎn)，反之亦然。因此根據(jù)無窮大的規(guī)則，這兩條線段上（即AB、AC）無窮多的點(diǎn)的數(shù)目是一樣多的。

其實(shí)隨著對無窮大的研究，一個(gè)更令人驚詫的結(jié)論可以表示為：一塊平面上的點(diǎn)的數(shù)目與一條線段上的點(diǎn)的數(shù)目是一樣多的。為證明這點(diǎn)，我們可以以一條長1英寸的線段AB與正方形CDEF為例（圖7）。

假設(shè)線段上給定的某點(diǎn)，數(shù)值是0.751 203 86…，我們可以把這個(gè)數(shù)分成兩個(gè)小數(shù)，選取其偶數(shù)位和奇數(shù)位的小數(shù)，然后分別拼在一起，我們可以得到：

0.710 8…

和

0.523 6…

在正方形里測量這兩個(gè)數(shù)字分別對應(yīng)的水平和垂直距離，然后把得到的點(diǎn)稱為線段上的原始點(diǎn)的“對應(yīng)點(diǎn)”。反之，如果我們在正方形里有一個(gè)點(diǎn)，位置可以表述為：

0.483 5…

和

0.990 7…

我們可以通過融合這兩個(gè)數(shù)字，獲知其在線段上的“對應(yīng)點(diǎn)”是：

0.498 930 57…

顯然這個(gè)過程建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。線段上的每一點(diǎn)都有它在正方形里的對應(yīng)點(diǎn)，正方形里的每一點(diǎn)也有它在線段上的對應(yīng)點(diǎn)，沒有剩余的點(diǎn)。根據(jù)康托爾的準(zhǔn)則，正方形里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的無窮大數(shù)與線段上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的無窮大數(shù)是相等的。

通過類似的方式我們也能輕易證明，表示一個(gè)立方體里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的無窮大數(shù)與表示正方形里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的無窮大數(shù)，或者表示線段上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的無窮大數(shù)是一樣多的。為證明這點(diǎn)，我們只需要把原來的小數(shù)分成三個(gè)部分[16]，然后用這三個(gè)新的小數(shù)來描述正方體里的“對應(yīng)點(diǎn)”的位置。

另外，和兩條不同長度的線段上的點(diǎn)的數(shù)量相同的情況一樣，不同尺寸的正方形和立方體里的點(diǎn)的數(shù)目也是一樣的，無論它們有多大。

然而，所有幾何點(diǎn)的數(shù)目，盡管它們比整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)目大，但并不是數(shù)學(xué)家已知的最大的無窮大數(shù)。事實(shí)上數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所有曲線的樣式的數(shù)量總和，包括那些最奇異的形狀，是比幾何點(diǎn)的總數(shù)更大的“社群”，因此它們必須要用第三級的無窮數(shù)列來表示。

喬治·康托爾——“無窮大算數(shù)”的創(chuàng)造者，將無窮大數(shù)用希伯來字母N [讀作阿萊夫（Alef）]表示，在其右下角標(biāo)注一個(gè)數(shù)字表示無窮大的等級。如此一來，數(shù)列（包括無窮大數(shù)）的表示形式便是這樣的：

1，2，3，4，5，…，N1，N2，N3，…

我們說“一條線上有N1個(gè)點(diǎn)”，或者說“有N2種不同的曲線”，正像我們說“世界有7大洲”或“一盒撲克牌有52張”[17]一樣。

在總結(jié)關(guān)于無窮大的討論之時(shí)，我們需要指出只要幾個(gè)等級就能涵蓋我們能想到的一切無窮大的情況。我們知道N0表示所有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)目，N₁表示所有幾何點(diǎn)的數(shù)目，N₂表示所有曲線樣式的數(shù)目，但迄今為止還沒有人想到任何能用N₃表示的確切的無窮大物體的集合（圖8）。

已有的三個(gè)無窮大看似已經(jīng)足以計(jì)數(shù)所有我們能想到的無限多的物體，并且我們發(fā)現(xiàn)，我們已經(jīng)完全不像我們的老朋友霍屯督人那樣了——他們甚至連第四個(gè)兒子都數(shù)不出來！

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[1]　這個(gè)論據(jù)有另一個(gè)屬于同一系列的故事的支持：一群匈牙利貴族在攀爬阿爾卑斯山的過程中迷路了。其中一個(gè)拿出一張地圖，在研究了很久之后表示，“我知道我們在哪兒了！”“哪兒？”其他人問。“看見那座大山了嗎？我們就在山頂上！”

[2]　霍屯督人（Hottentots），南部非洲的種族集團(tuán)。自稱科伊科伊人。主要分布在納米比亞、博茨瓦納和南非（譯注）。

[3]　本書多處使用“英寸”“英尺”“英里”“磅”等英制單位，為保留原數(shù)據(jù)的整數(shù)情況，同時(shí)也考慮到讀者的閱讀體驗(yàn)，所以沒有進(jìn)行單位換算。1英寸=2.54厘米，1英尺=3.048分米，1英里=1.609千米，1磅=0.45千克（編注）。

[4]　敘拉古，西西里島東海岸城市（譯注）。

[5]　一個(gè)希臘的“體育場”的長度是606英尺6英寸或188米。

[6]　用我們的計(jì)數(shù)法表示：

一千萬 第二階 第三階 第四階

10 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000×

第五階 第六階 第七階 第八階

100 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000

或簡寫為：10⁶³（1后面63個(gè)0）。

[7]　聰明的宰相要求的麥粒的數(shù)目可以表示為如下的形式：1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³。

[8]　蒲式耳，歐美使用的計(jì)量谷物和水果的體積單位，約合8英制加侖，即36.37升。

[9]　波爾，《數(shù)學(xué)游戲和論文》（Mathematical Recreations and Essays，麥克米蘭公司，紐約，1939）。

[10]　貝拿勒斯，印度北部城市，印度教的圣地。

[11]　梵天，印度教的創(chuàng)造之神（譯注）。

[12]　如果我們只需要移動7片金片，最少需要：1+2¹+2²+2³+…， 或2⁷?1=2×2×2×2×2×2×2?1=127次。 如果你迅速且沒有失誤地完成移動，需要大約1小時(shí)來完成這個(gè)任務(wù)。 當(dāng)總共有64片時(shí)，移動全部所需的最少次數(shù)是： 2⁶⁴?1=18 446 744 073 709 551 615 這和西薩·班·達(dá)伊爾要求的麥粒數(shù)量一樣。

[13]　目前天文學(xué)家的結(jié)論是宇宙的年齡大約有138.2億年，而太陽的年齡大約有45.7億年，預(yù)計(jì)太陽還能繼續(xù)燃燒50億~ 60億年。作者創(chuàng)作本書時(shí)的天文學(xué)發(fā)展還未到今天的層次，因而對宇宙的認(rèn)識不如當(dāng)今（譯注）。

[14]　本段引自：《希爾伯特軼事全集》（The Complete Collection of Hilbert Stories），庫蘭特（R. Courant）著。他的這段話從未被印刷出來，甚至從未寫下來過，但在其他的書籍里廣為流傳。

[15]　這些小數(shù)都小于一，因?yàn)槲覀円呀?jīng)假定線段的長度是1（英寸）。

[16]　比如：

0.735 106 822 548 312…

我們分成

0.718 53…

0.302 41…

0.562 82…

[17]　52張沒有包含大小王（譯注）。