第二章　
弦的理論，公元前500年

有一種頗為奇怪的老生常談，即最早在可觀察的實體間建立起定量關(guān)系的實驗科學(xué)是聲學(xué)。薩摩斯的畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos，約公元前585—公元前500）是一位充滿傳奇色彩的哲學(xué)家，直角三角形定理（the right-triangle theorem）①就是以他的名字命名的，而他正是通過研究發(fā)聲物體的振動開始了自己的科學(xué)生涯。據(jù)傳，有一天他走在街上，忽然聽見鐵匠鋪里傳來一陣鏗鏘有力的聲音。他停下來前去一探究竟，發(fā)現(xiàn)聲音來自鐵匠敲擊的金屬片；金屬片越重，聲音的音高越低。

畢達哥拉斯并不滿足于僅僅進行定性的觀察，他繼續(xù)用一切可以振動的物體做實驗，諸如繃緊的弦、盛水的杯子、鈴鐺、吹管（圖2.1）等。據(jù)說他曾經(jīng)制作了一件原始的樂器——單弦琴（monochord），即一根固定在聲板上的單弦，聲板上沿琴弦有數(shù)字刻度（圖2.2）。如果在琴弦和聲板中間插入一個小小的琴橋，那么只需移動琴橋，就能改變琴弦的有效發(fā)聲長度。畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)，首先讓整根琴弦振動起來，然后將琴橋停在其中間位置，這時發(fā)出的兩個聲音就能形成一種令人愉悅、彼此和諧的效果：它們之間差著一個“八度”（octave）。在不同的八度中演奏同一段旋律，聽起來基本相同，就像在酒店不同樓層的走廊上行走一樣。畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)，八度音程對應(yīng)于1:2的比例。

畢達哥拉斯將八度定為一個基本的音程，但接下來，他并未選擇一個更廣的音程，而是試著對該音程進一步細化。他嘗試了其他琴弦長度的比例，發(fā)現(xiàn)了一個讓他印象深刻的現(xiàn)象：小比例的琴弦長度能夠產(chǎn)生和諧、愉悅的聲音，即“協(xié)和音”（consonances）；而大比例的琴弦長度則產(chǎn)生“不協(xié)和音”（dissonances）。前者中首先有八度（1:2）、五度（2:3）和四度（3:4）（這些名詞來自音階中這些音程的位置，參見圖2.3）。通過這一現(xiàn)象，畢達哥拉斯意識到自然本身——實際上是整個宇宙 ——是由簡單的數(shù)值比例控制的。“數(shù)字統(tǒng)治宇宙”（number rules the universe）成為畢達哥拉斯的座右銘，并且這一觀點在此后的2,000年內(nèi)都主導(dǎo)著科學(xué)思想。

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此處，我們必須稍微跑一下題。話說從1600年左右開始，人們在實踐中都根據(jù)頻率比（frequency ratios），而非弦長的比例，來描述音程。對任何琴弦而言，頻率都與弦長成反比，因此八度、五度和四度對應(yīng)的頻率比例分別為2:1、3:2和4:3。我們在下文中將按照這一方法進行描述。

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上文提及的三種音程在音樂中發(fā)揮著非常基礎(chǔ)的作用。畢達哥拉斯將它們稱為“完全協(xié)和”，并用其組成音階——這種將樂聲進行有序數(shù)值排列的方法可謂前無古人。他發(fā)現(xiàn)，從任何一個音符開始，先升高五度，接著再升高四度，就能得到一個比初始音符恰好高八度的音符。如果用比例表示，這個轉(zhuǎn)換關(guān)系可以表示為。通常而言，這種方法是正確的，“若要增加兩個音程，只需將其頻率比例相乘”。畢達哥拉斯并不知道自己發(fā)現(xiàn)了歷史上第一個對數(shù)關(guān)系。

接下來，他拿出每個完全協(xié)和音程，并利用冪函數(shù)升高其頻率比例。2:1的冪就可以得到更高的八度，而4:3的冪即為3:2的轉(zhuǎn)位（將某個音程的低音符升高八度，或者將其高音符降低八度，即為將該音程轉(zhuǎn)位）。畢達哥拉斯在求取3:2的冪時，先從開始，并得到以下數(shù)列：

該數(shù)列中的七個比例，只有第二個和第三個存在于八度之中。若想將其余幾個比例納入八度的范圍內(nèi)，則需要將它們乘以或除以2的冪：

如果將這個新的序列以升序排列，并一直增至2:1的比例，得到一個完整的八度，那么會得到以下數(shù)列：

這個序列被稱為“自然音階”（diatonic scale）。它給出了每一個音符相對于基本（最低的）音符的比例。但在音樂領(lǐng)域，人們最關(guān)注的是兩個音符“之間”的比例，即兩個音符之間的間距。如果計算每個音符相對于自己前面那個音符的比例，可以得到以下序列：

該序列即為“畢達哥拉斯全音階”（Pythagorean diatonic scale）的音程。它實際僅僅由兩個不同的音程組成，較大的那個是9:8（=1.125），被稱為“全音”（whole tone），較小的則為256:243（≈1.053），被稱為“半音”（semitone或者half tone）。

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乍看之下，畢達哥拉斯音階似乎是一項偉大的發(fā)明；它以簡單明了著稱，僅使用3:2這一種比例。但這種簡潔具有欺騙性，個中原因眾多。首先，正如每個學(xué)音樂的學(xué)生早就知道的，有一個“五度圈”（circle of fifths）的方案：從任意音符開始，每次以1/5的比例連續(xù)上升。經(jīng)過12次之后［并且在此過程中經(jīng)過一系列比自然音階高半音的升調(diào)（sharp）或者低半音的降調(diào)（flat）］，就會回到起始的音符，但會高出7個八度（參見圖2.4）。可是，畢達哥拉斯音階無法做到這一點：沒有任何正整數(shù)m和n能夠滿足公式 ［1］。

但是，更令人困擾的是，畢達哥拉斯音階與幾乎所有樂器產(chǎn)生的自然“泛音”（harmonics或overtone）序列格格不入。琴弦振動時，它會發(fā)出一個有特定音高的音符，可以用于標(biāo)定音樂，但同時，相伴出現(xiàn)的還有其他更高的音符。這種泛音的混合會賦予聲音特定的色彩或“音色”（timbre），即使小提琴和單簧管演奏相同的音符，我們也能根據(jù)這一特性將它們區(qū)分開來。

在下一章中，我們將看到，這些泛音的頻率總是琴弦所發(fā)出的最低的、基本的頻率的整數(shù)倍，因此它們（相對于基本頻率的倍數(shù)）呈現(xiàn)為序列1，2，3，…。從理論上講，該序列可以永遠持續(xù)下去，從而產(chǎn)生由更高的音符組成的無限混合。然而，通常情況下，泛音的幅度及其強度會隨著序列的上升而迅速減弱，從而使其變得越來越弱，越發(fā)難以分辨。畢達哥拉斯音階僅基于3:2的比例，而忽略了其余泛音，包括非常重要的5:4和6:5（分別為大三度和小三度），因此該音階與聲學(xué)定律并不同步；它只是一個數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新，與物理現(xiàn)實關(guān)系不大。這是已知的人們將數(shù)學(xué)定律應(yīng)用于音樂領(lǐng)域的首次嘗試，但不會是最后一次。

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一般而言，畢達哥拉斯音階是畢達哥拉斯哲學(xué)的典型代表。出于對音樂命理學(xué)（musical numerology）的癡迷，畢達哥拉斯的信徒堅信世間萬物，從音樂和聲的定律到天體的運動，都受到整數(shù)的簡單比例的支配。為便于理解這種信仰上的巨大跳躍，我們必須記住，在古希臘傳統(tǒng)中，音樂與算術(shù)、幾何以及球面幾何學(xué)（天文學(xué)）處于相同的地位——“四術(shù)”（quadrivium）所囊括的四門學(xué)科，是每個學(xué)生都必須精通的，相當(dāng)于今天大學(xué)里的核心課程。［2］

值得注意的是，在畢達哥拉斯主義者眼中，“arithmetic”這個詞的含義與如今的意思“算術(shù)”迥然不同，它那時的意思是“數(shù)論”（number theory）。這是一門研究整數(shù)特性的學(xué)問，而非那種進行整數(shù)運算的實用技能。與此類似，他們將四術(shù)中的音樂稱為“樂理”（music theory），即研究音階與和聲的學(xué)問，而非演奏音樂的實用技藝。這一典例反映出畢達哥拉斯主義者對所有實用技能秉持的一種超然物外的態(tài)度。他們的思想中存在著一個完美的宇宙，由美、對稱及和諧的規(guī)律支配，而與日常的、世俗的思慮無關(guān)。這或許能解釋他們?yōu)槭裁纯偸情_展秘密討論：擔(dān)心自己會被同胞嘲笑，因為畢竟大多數(shù)人每天都要辛勤勞作以維持生計。沒有任何畢達哥拉斯的著作——倘若真的存在過——幸存下來。我們現(xiàn)在所了解的關(guān)于畢達哥拉斯主義的一切思想，都來自后人的記錄，這些書寫者生活在畢達哥拉斯身后數(shù)百年的不同時代，但在頌揚他們所尊奉的這位導(dǎo)師的光輝思想時，均極盡褒揚之能事。

但是，盡管相關(guān)著作未能留存下來，畢達哥拉斯的這份“遺產(chǎn)”還是流傳了2,000余年依舊光芒閃爍。“數(shù)字統(tǒng)治宇宙”成為數(shù)代科學(xué)家和哲學(xué)家奉行的圭臬，他們試圖基于音樂的比例或者簡單而典雅的幾何形態(tài)來解釋整個宇宙。例如，行星應(yīng)該在完美的圓形軌道上繞地球運動；認為除了完美對稱的圓形之外，還存在其他幾何形狀可以在宇宙中占據(jù)統(tǒng)治地位的想法簡直匪夷所思。就這樣，在接下來的2,000年中，自然法則屈從于理想化的美、和諧與對稱，畢達哥拉斯主義者實質(zhì)上阻礙了科學(xué)的進步。

著名的德國天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒被視為現(xiàn)代天文學(xué)之父，同時，他也是最后的畢達哥拉斯主義者之一。開普勒一度是一位虔誠的神秘主義者，也是哥白尼日心說的狂熱信徒。在大半生的時光中，開普勒都致力于通過音樂和聲的理論推導(dǎo)出行星的軌道。

他相信，每一顆行星在環(huán)繞太陽運行時，都奏響了一首曲子，只不過因其頻率低于我們的聽力辨識范圍而無法被聽到（也就是說，在真空狀態(tài)的外太空中生成了音樂，但此處我們就不提聲音在真空中不能傳播的事實了）。實際上，開普勒為當(dāng)時已知的五顆行星（圖2.5）中的每一顆，都譜寫了一首用音樂符號記錄下來的天體旋律，即著名的《宇宙音樂》。開普勒在這條道路上迷失了方向，直到數(shù)十年之后，他才最終拋棄了古希臘推崇的圓形軌道，轉(zhuǎn)而采用橢圓形軌道；一代人之后，牛頓又在此基礎(chǔ)上添加了拋物線和雙曲線。

注釋

［1］這個公式可以改寫成方程式3^m=2^k，其中k=m+n。公式的左邊是3的冪，因此是一個奇數(shù)；而公式的右邊是2的冪，所以是一個偶數(shù)。

［2］“四術(shù)”的概念由波伊提烏（Boethius，6世紀(jì)）提出，但其中所列舉的功課在柏拉圖的《理想國》(Republic)中就已經(jīng)出現(xiàn)。再加上“三藝”（trivium，包括語法、邏輯和修辭），就組成了中世紀(jì)大學(xué)人文教育的七門功課。

①即“畢達哥拉斯定理”或“勾股定理”。——譯者注