1.3 計算機(jī)中數(shù)的表示形式

在現(xiàn)代微型機(jī)中，其內(nèi)部運(yùn)算器通常由一個補(bǔ)碼加法器、n位寄存器/計數(shù)器組和移位控制電路等組成，但它恰能進(jìn)行各種算術(shù)運(yùn)算和邏輯操作。這就是說，補(bǔ)碼加法器既能做加法又能將減法運(yùn)算變?yōu)榧臃▉碜?，從而大大簡化了運(yùn)算器內(nèi)部的電路設(shè)計。這應(yīng)歸功于人們長期以來對計算機(jī)中碼制的研究。

機(jī)器數(shù)是指數(shù)的符號和值均采用二進(jìn)制的表示形式。因此，機(jī)器數(shù)在定點和浮點機(jī)中的表示形式各不相同。為了方便起見，這里的機(jī)器數(shù)均指在定點整數(shù)機(jī)中的表示形式。即最高位是符號位（0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)），其余位為數(shù)值位，小數(shù)點約定在數(shù)值位之后。在計算機(jī)中，機(jī)器數(shù)有原碼、反碼、補(bǔ)碼、變形原碼、變形反碼、變形補(bǔ)碼和移碼等多種形式。

1.3.1 機(jī)器數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼

原碼、反碼和補(bǔ)碼是機(jī)器數(shù)的三種基本形式，它和機(jī)器數(shù)的真值不同。機(jī)器數(shù)的真值定義為采用+和-表示的二進(jìn)制數(shù)符號，并非是真正的機(jī)器數(shù)。例如，+76的機(jī)器數(shù)真值為+1001100B，原碼形式為01001100B（最高位的0表示正數(shù)）；-76的真值為-1001100B，原碼為11001100B（最高位的1表示負(fù)數(shù)）。

1.原碼

原碼表示法是機(jī)器數(shù)的一種簡單的表示法。這種表示法數(shù)的最高位為符號位（用0或1來表示），其余位為數(shù)值位，符號位的0表示該數(shù)為正數(shù)，符號位為1表示它是負(fù)數(shù)。通常，一個數(shù)的原碼可以先把該數(shù)用方括號括起來，并在方括號右下角加個“原”字來標(biāo)記。設(shè)有一數(shù)為x，則原碼表示可記作[x]_原。

【例1-6】 設(shè)X1=+1100B，X2=-1100B，請分別寫出它們在8位微機(jī)中的原碼。

解：其原碼記為

[X1]_原=[00001100]_原

[X2]_原=[10001100]_原

原碼表示數(shù)的范圍與二進(jìn)制位數(shù)有關(guān)。當(dāng)用8位二進(jìn)制來表示小數(shù)原碼時，其表示范圍為

最大值為0.1111111，其真值約為（0.99）D

最小值為1.1111111，其真值約為（-0.99）D

當(dāng)用8位二進(jìn)制來表示整數(shù)原碼時，其表示范圍為

最大值為01111111，其真值為（127）D

最小值為11111111，其真值為（-127）D

在原碼表示法中，對0有兩種表示形式：

[+0]_原=00000000

[-0]_原=10000000

2.反碼

在微型計算機(jī)中，二進(jìn)制數(shù)的反碼可由原碼得到，有正數(shù)的反碼和負(fù)數(shù)的反碼之分：正數(shù)的反碼和原碼相同；負(fù)數(shù)反碼的符號位和負(fù)數(shù)原碼的符號位相同，數(shù)值位是它的數(shù)值位的按位取反。反碼的標(biāo)記方法和原碼類似，只要在被括數(shù)方括號的右下角添加一個“反”字即可。設(shè)有一數(shù)為x，則反碼表示可記作[x]_反。

【例1-7】 設(shè)X1=+1010110，X2=-1001010，請分別寫出它們在8位微機(jī)的原碼和反碼。

解：由于正數(shù)的反碼就是其原碼；負(fù)數(shù)的反碼是符號位不變，數(shù)值位是它的數(shù)值位的按位取反，所以有

[X1]_原=01010110

[X1]_反=[X1]_原=01010110

[X2]_原=11001010

[X2]_反=10110101

反碼通常作為求補(bǔ)過程的中間形式，即在一個負(fù)數(shù)的反碼的末位上加1，就得到了該負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼。

3.補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的概念是在計算機(jī)中經(jīng)常會遇到的，二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼可由反碼得到，如果是正數(shù)，則該機(jī)器數(shù)的補(bǔ)碼與原碼一樣；如果是負(fù)數(shù)，則該機(jī)器數(shù)的補(bǔ)碼是對它的原碼（除符號位外）各位取反，并在末位加1而得到的。補(bǔ)碼的標(biāo)記方法和原碼、反碼類似，只要在被括數(shù)方括號的右下角添加一個“補(bǔ)”字即可。設(shè)有一數(shù)X，則X的補(bǔ)碼表示記作[X]_補(bǔ)。

【例1-8】 設(shè)X1=+1010B，X2=-01010B，試分別寫出它們在8位微機(jī)中的原碼、反碼和補(bǔ)碼形式。

解：由原碼、反碼和補(bǔ)碼的定義得

[X1]_原=00001010B[X2]_原=10001010B

[X1]_反=00001010B[X2]_反=11110101B

[X1]_補(bǔ)=00001010B[X2]_補(bǔ)=11110110B

補(bǔ)碼的優(yōu)點是可以將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算，其符號位可以連同數(shù)值位一起運(yùn)算。這樣非常有利于計算機(jī)的實現(xiàn)。

【例1-9】 45H，-55H，用補(bǔ)碼運(yùn)算的方法求兩數(shù)之和。

解：[45H]_補(bǔ)-[-55H]_補(bǔ)=[-10H]_補(bǔ)

1.3.2 計算機(jī)中二進(jìn)制數(shù)的單位表示

在計算機(jī)中使用的二進(jìn)制數(shù)共有3個單位，從小到大依次為位、字節(jié)和字。

1.位（bit）

這里所說的位是指二進(jìn)制數(shù)的位。位是數(shù)的最小單位，bit是位的英文名稱，讀作“比特”。

在計算機(jī)中位僅有0和1兩個數(shù)值，表示兩種狀態(tài)。

2.字節(jié)（Byte）

8位二進(jìn)制數(shù)稱為一個字節(jié)，其英文名稱是Byte，在使用時常用大寫字母B表示。字節(jié)是最基本的數(shù)據(jù)單位，計算機(jī)中的數(shù)據(jù)、代碼、指令、地址多以字節(jié)為單位。

3.字（Word）

字是一臺計算機(jī)上所能并行處理的二進(jìn)制數(shù)，字的位數(shù)（或長度）稱之為字長。字長必須是字節(jié)的整數(shù)倍。例如，MCS-51單片機(jī)字長為8位，MCS-96單片機(jī)字長為16位，還有32位、64位字長的計算機(jī)。

1.3.3 計算機(jī)使用二進(jìn)制數(shù)的原因

為什么在計算機(jī)中要使用二進(jìn)制數(shù)呢？其原因主要有以下幾點：

1.易于實現(xiàn)

在計算機(jī)中，數(shù)是用不同的物理狀態(tài)來表示的。因為二進(jìn)制數(shù)只有兩個數(shù)字0和1，用兩種物理狀態(tài)就可以表示出來。而兩種相反的物理狀態(tài)在技術(shù)上極易實現(xiàn)。例如，開關(guān)的接通與斷開，晶體管的導(dǎo)通與截止，電平的高低，脈沖的有無等。

對于這樣兩種截然相反的物理狀態(tài)，不但易于實現(xiàn)，而且狀態(tài)穩(wěn)定可靠。而兩種以上的物理狀態(tài)，不但難以實現(xiàn)，而且穩(wěn)定性也差。

2.運(yùn)算簡單

因為二進(jìn)制數(shù)只有兩個數(shù)字，所以對二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算比人們熟悉的十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算要簡單得多，而運(yùn)算簡單將有利于簡化計算機(jī)的電路結(jié)構(gòu)。

3.具有邏輯屬性

由于二進(jìn)制數(shù)的0和1正好與邏輯值的“假（F）”和“真（T）”相對應(yīng)，因此可以使用二進(jìn)制數(shù)實現(xiàn)邏輯運(yùn)算，從而使邏輯代數(shù)運(yùn)算成為可能。

4.可靠性高

由于二進(jìn)制數(shù)用兩種截然相反的物理狀態(tài)表示，十分穩(wěn)定。因此二進(jìn)制數(shù)的處理、存儲和傳送都最為可靠。