第2章　神秘莫測的數學

2.1　形形色色的進位制

20世紀50年代初，一位蘇聯飛行員應邀出席少先隊聯歡會。會上，他出了這么一道題目：一架飛機整整用了1小時又20分鐘才從甲地飛到乙地，可是返航時只用了80分鐘就到了，請解釋其中的原因。

少先隊員們七嘴八舌地議論開了。有的說來回航線不詳，有的說去時逆風回來時順風……眾說紛紜。然而，飛行員叔叔卻哈哈大笑，把大家的回答全部否定了。他說：“你們都沒有想到，1小時20分就是80分鐘，時間是六十進位的！”

前蘇聯數學家別萊利曼認為這是一個提醒人們注意進位制的生動例子，把它收錄在自己的著作《活的數學》之中。他認為，考察一種記數方法得看三個方面：第一，采用什么符號。第二，是不是用位值制，也就是一個符號表示多少，是僅僅取決于符號的本身，還是同時取決于它在記數符號中的位置。比如在阿拉伯數字中，符號1寫在個位上表示1，寫在百位上卻表示100。采用位值制能用很少的幾個符號表示任何一個數，是數學史上的一項重大成就。第三，用什么數作為基數，也就是“逢幾進一”。

最常用的基數是10。據美國數學家易勒斯調查，在807種原始民族記數方法中，有140種是十進制的。古時候的人數東西時，總是一邊用嘴念著一、二、三……一邊扳手指。當十個手指都扳到了，就在地上放一塊小石頭或其他什么東西代表“十”，再一、二、三……地數，數滿了，再放一塊小石頭……到積滿十塊小石頭時，再換成一個別的什么東西。這就是逢十進位的來源。

另外一些人愛用一只手的五個指頭來數數，就只能“逢五進一”了。“逢五進一”比“逢十進一”出現得更早，許多民族的記數方法中都留下了它的痕跡。比如我國的算盤，下檔一顆珠代表1，上檔一顆珠代表5，就是如此。

有些民族不但用兩只手數，而且雙腳的十趾也一齊幫忙，于是他們就是“逢二十進一”了。在法國至今仍有采用二十進制的場合，他們稱220人一隊的憲兵是“11個20”；巴黎有個建于700年前的盲人醫院，可容納300個病人，這個醫院叫“15·20醫院”。

英國歷代使用十二進制，1英尺等于12英寸，1打等于12只，等等。許多人認為十二進制比十進制優越，因為它能被2、3、4、6四個數整除，不像10只有2、5兩個約數。瑞典國王查理十二臨終前還念念不忘在他統轄的地區，把十進制改為十二進制，然而未能如愿以償。

十二進制雖然有它的優點，但是古代民族未必會認識到這一點，那它的起源是怎樣的呢？有人認為某些古代民族記數時不是以手指為單位，而是以手指關節為單位。在一只手中，除大拇指外，還有4個手指，各有8個關節，合計12個關節。利用這些關節數物品，當數滿12時，就進到高一位的計數單位——大拇指。

在我國，曾經使用過十六進制，有句成語“半斤八兩”，意思就是兩者（半斤和八兩）是一回事。因為使用不便，已不再使用。但是近年來隨著計算機的飛速發展，科學家認為十六進制和與它類似的八進制，是人類與機器最理想的“共同語言”。

六十進制是古巴比倫人（居住于現今的伊拉克）留給我們的遺產，至少已有4000年歷史了。

上面談了五進制、十進制、十二進制、十六進制、六十進制，卻沒提到二進制這個當今計算機時代的寵兒。二進制到底是怎么回事呢？下面就給同學們說說二進制的起源與發展。

二進制最早出現在我國。公元前1000多年，商紂王暴虐無道，為了排除異己，他將周族領袖姬昌（即周文王）無辜拘禁。姬昌忍辱負重，潛心推演出著名的《易經》一書，書中有這樣的語句：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”意思是說：一分為二，二分為四，四分為八。用現在的數學式子表示，就是2⁰=1，2¹=2，2²=4，2³=8。2⁰=1可理解為2尚未“分”時是1，2¹=2可理解為2分一次后為2，依此類推，可解釋剩余的式子。八卦是大家都很熟悉的名詞了，而八卦實際上就是整個《易經》一書的符號系統的基礎。八卦由兩種基本的卦畫——陽卜“——”（肯定）與陰卜“— —”（否定）的不同排列組合而成，恰與二進制數碼相對應。

因此，《易經》中的符號系統，實際上就是一個二進制的符號系統。很可惜這一點不是中國人最早看出來的，而是由計算機二進制的發明人萊布尼茲首先看出來的。據說，1701年末，萊布尼茲已經54歲了，他為了研制乘法計算機而苦苦思索。當他正處于“山重水復疑無路”時，他的好友法國傳教士傅威特將其收集到的中國的《參同契》中的兩張“易圖”——“伏羲六十四卦次序圖” “伏羲六十四卦方位圖”寄給了他。從這兩張圖中，萊布尼茲得到了啟示，他進入了“柳暗花明又一村”的佳境，終于發明了二進制。萊布尼茲對《易經》的評價極高，當他發現幾千年前的《易經》中的符號系統與二進制不謀而合的時候，心情很激動，甚至表示愿意加入中國籍。他說：“易圖是流傳于宇宙間所有科學的最古老的紀念物。”迄今為止，《易經》中的很多道理并未被人們所完全掌握，可見中國古代人的智慧有多么了不起。

《易經》中的符號系統是二進制的符號系統，而現在，二進制更是計算機的寵兒。由于二進制只需“0”和“1”兩個數字就可以表示一切數字，這對于機器來說最為有利。因為二進制只要找到一個具有兩種穩定狀態的元件就可以實現，這種元件還是很多的，比如電鍵的打開與閉合等。而其他的進位制需要具有多種穩定狀態的元件才能實現，這在技術上是較難實現的。另外，二進制的運算很簡單，可以大大提高運算速度，對一位數而言，二進制的加、乘運算分別只有4種情況，而十進制則有100種情形。二進制不但可以進行數字運算，還可以表示“是”和“否”，所以，二進制便成了計算機的寵兒，在現今的科技發展中起著舉足輕重的作用。

各種進位制差不多介紹完了，相信大家對于進位制有了一個初步的了解。其實，正是有了這些進位制，才構成了簡單方便的表示數的數值以及數值計算的方法，使得數學成為一種無國界的科學。