1.9　引來殺身之禍的無理數

公元前585年到公元前400年，是古希臘畢達哥拉斯學派的鼎盛時期。在數學發展史上，畢達哥拉斯學派功不可沒，是他們在歐洲最先發現了勾股定理，是他們最早接觸了黃金分割點……

無理數的發現者希帕索斯是一個深受畢達哥拉斯器重的學派成員。由于勾股定理的發現使畢達哥拉斯學派聲名遠揚，畢達哥拉斯決定弄清楚勾、股、弦數到底是什么樣的。于是他交給希帕索斯一個篩選滿足條件的勾、股、弦數三元數組的任務。就是這個任務，使希帕索斯在數學史上名垂千古，同時也使他惹上殺身之禍……

畢達哥拉斯學派一向主張“萬物皆數”，意思就是說“宇宙中的一切都可以表示成整數與整數之比，除此之外，沒有別的東西”。這種認識在現在看來近乎荒誕，可是在各方面知識都不發達的當時，科學界都認同這個觀點。希帕索斯開始也并不懷疑這一點。

可是，隨著確定三元數組工作的深入，希帕索斯碰到了求正方形對角線的問題：假設一個正方形邊長為1，那么它的對角線長為多少？根據畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的主張，這條對角線也一定可以用整數與整數之比來表示。如果設這個數為d，根據勾股定理有d²=1²+1²=2，那么d=，又能表示成哪兩個整數之比呢？

愛尋根究底的希帕索斯花了很多時間來尋找這兩個整數。結果，整數沒有找著，反而讓希帕索斯利用畢達哥拉斯學派常用的一種方法——歸謬法，證明了無法表示成兩個整數之比。那么到底是什么東西呢？難道除了整數與整數之外還會有別的數嗎？希帕索斯絲毫沒有意識到自己的發現在數學史上的偉大，他帶著自己的證明過程登門向畢達哥拉斯請教。他將自己在求對角線時碰到的這件怪事原原本本地告訴了畢達哥拉斯，并詢問該如何解決。

畢達哥拉斯聽了這事也很吃驚。于是希帕索斯將自己的證明恭敬地遞了上去：設一個正方形邊長為1，對角線長為。如果是兩個整數之比，則不妨設=α∶β=α/β，其中α、β是兩個互素的整數。根據直角三角形勾股定理得=1²+1²，即（α/β）²=2，化簡得α²=2β²；可見α²是偶數，因此α一定是偶數；從假設知α、β互素，所以β一定是奇數；又因為α是偶數，故可設α=2γ，則α²=4γ²；由于α²=2β²，則2β²=4γ²，β²=2γ²，所以β也是偶數，這與“β是奇數”矛盾，故不能表示成兩個整數之比。

看完證明過程，畢達哥拉斯恐慌了。如果不承認這個證明正確，他看不出證明中有什么不正確的地方；可是如果承認這個證明正確，那就等于承認了畢達哥拉斯以前宣稱的“萬物皆數”觀點的錯誤，這不是自己拆自己的臺嗎？況且如果事情傳開，也會動搖畢達哥拉斯學派的根基，自己多少年的心血就白費了。思忖了半天，畢達哥拉斯決定維護畢達哥拉斯學派的信條，他采取了不承認的態度，并命令希帕索斯保密，不要把事情說出去，他還在學派內部宣布，誰泄密就活埋誰！

希帕索斯是一個很有思想、敢于堅持真理的人，他并沒有放棄對的探求，而且一有機會他就宣傳的客觀存在性。這種違背命令的做法，使得畢達哥拉斯學派欲殺之而后快。希帕索斯知道自己要被處死的消息后，連忙跳上一艘剛起航的海船準備逃走。不過在畢達哥拉斯學派的忠誠護衛者的嚴密追捕下，他被扔進了大海，最終沒有逃脫死亡的命運。

這就是無理數充滿著血與淚的發現過程。但是無理數畢竟是存在的，為此人們采取了兩種方法來確認它的存在：一種是不認為是數，僅僅能用一條線段來表示它，這可以說是一種幾何的觀點；另一種是把它當作通常的數來處理，也就是承認它與整數和整數之比有著相同的地位，這也可以說是一種代數的觀點。

古希臘人選擇了第一種方法，中國人和印度人則采取了后一種方法。中國人和印度人在對待無理數時，沒有希臘人那樣拘謹，他們把主要興趣放在了計算上，從而忽視了各個概念之間的本質區別。實際上，在古巴比倫泥板關于的記載上，無理數不僅是不盡根，而且揭示無理數的本質對建立實數理論有著重要的意義。

西方數學史上最早接受無理數的代數學者是英國的哈里奧特，他認為只要能參與計算的就是數，而不必管它到底該怎樣表示。19世紀人們才真正解決了無理數的邏輯結構。1886年，施圖爾茨認為，每一個無理數都可以表示成無限不循環小數，這也就是我們現在通用的無理數的定義。后來又經過了19世紀的許多數學家的努力，人們終于為無理數打下了堅實的邏輯基礎，使無理數在數學上得到了應有的地位。

“人固有一死，或重于泰山，或輕于鴻毛?！毕Ｅ了魉沟乃谰椭赜谔┥?。他為獻出了年輕的生命，數學因此又前進了一大步。人們將永遠懷念這位無理數的發現者。

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