1.4　用鏡子來測量樹木的高度

問題：

你知道如何利用鏡子來測量樹木的高度嗎？請看圖8，將一面鏡子放在點C，這與需要測量高度的大樹之間有一定的距離。然后測量者不斷往后退，直到剛好可以在鏡子中看到大樹頂端A的位置，我們將測量者此時站立的位置稱為點D。此時，樹高AB是測量者身高ED的多少倍？從樹的位置B到鏡子的距離BC是鏡子到測量者距離CD的多少倍？通過計算，你可以發現，它們是相等的。為什么呢？

回答：

如圖9所示，由光的反射定律得知，樹頂端A在鏡子中的成像是點A′，AB=A′B。又因為三角形BCA′和DCE是相似三角形，所以我們可知：

A′B：ED=BC：DC

因為AB=A′B，所以我們就能得到比值的答案。

這種利用鏡子測量樹木高度的方法不像前文介紹的方法那樣受到天氣條件的局限，它可以在任何天氣情況下應用，但是同樣的，它只能測量一株一株的樹木，而不能測量森林中的樹木。

我們繼續探討利用鏡子來測量樹木高度的問題。

問題：

我們是否可以利用鏡子來測量無法靠近的樹木的高度？

回答：

這個問題在六百多年前就已經有人提出了，現在依然很經典。1400年，數學家安東尼·德·克雷蒙氏曾經在他的著作中詳細探討過這個問題。

我們可以通過兩次使用鏡子來解決這個問題。如圖9所示，先把鏡子分別放在兩個地方進行測量，根據相似三角形的比例關系可以推算出，所要測量的樹的高度等于測量者眼高乘以兩個距離的比，這兩個距離一個是兩次放置鏡子間的距離，另一個是兩次測量時測量者與鏡子間的距離的差。

到目前為止，我們已經討論了不少如何測量樹木高度的問題，我們將繼續在森林中尋找有關數學的樂趣。