5.6　硬幣轉了多少圈

題目：

圖45中畫著8個大小相同的圓形，其中7個畫有粗黑線，都固定不動，第8個（細線的那個圓）緊貼另外7個無滑動地滾動，它繞這些固定不動的圓形一周，本身要轉多少轉呢？

我們當然可以馬上用實踐的方法得出這個題目的正確答案：把8個一模一樣的硬幣按照圖中位置擺好，使7個“固定不動”的硬幣在桌面上，讓第8個繞著它們旋轉。為了確定這個硬幣的轉數(shù)，你仔細留意硬幣上數(shù)字的位置。每當這個數(shù)字轉回到原來的位置，就表示它已經(jīng)轉了一轉。你只要把這個實驗切實做出來，就會知道這枚硬幣一共轉了4轉。現(xiàn)在，我們開始用計算的方法來得出相同的答案。我們來看看，這個旋轉著的圓形在每個固定不動的圓形上一共走了多長的弧線。為了達到這個目的，我們假設活動的圓形正由“頂點”向鄰近兩個固定圓形之間的“小凹地”間移動（如圖45的虛線所示）。從圖中可以看到，圓沿著滾動的弧線AB包含60°角。每一個固定的圓上有兩個這樣的弧線，兩兩相加就等于120°的弧線，或等于圓周的。因此，滾動圓形在環(huán)繞了每個固定圓形的圓周時，也轉了轉。一共有6個固定圓形，可是活動圓形一共只繞了轉。

這個答案和實驗結果竟不一樣，但是，我們要相信實驗的結果。假如計算的結果和事實不一致，那就是計算中有錯誤。

請你把這個錯誤找出來。

回答：

當你把動圓沿著圓周長的直線滾動時，這個動圓果然轉了轉。但是，假如這個動圓是沿著某種曲線的弧線滾動，那么剛才的說法就不正確了，與事實不相符。在這個題目中，那個動圓繞著相當于它的圓周長的弧線旋轉時，一共走過的是轉，而不是轉，因此，當它繞過六個這種弧形的時候，就將轉了轉了！

這一點，你可以從以下的敘述得到證實。

圖45的虛線表示動圓繞完定圓上的AB一段弧線（60°），就是等于全圓周長度六分之一的弧線時的位置。這個圓在它的新位置上，最高點已經(jīng)不在A點，而在C點了，這就等于圓周上各點移動了120°，或移動了全轉的。定圓上120°的“路程”，將相當于動圓全轉的因此，如果這個圓形沿著曲線（或折線）繞轉，那么它就要轉出和沿同樣長度的直線繞轉時不同的轉數(shù)。

我們還得再花一點時間在這個幾何問題上，關于這一類問題的說明，常常令人難以置信。

假定一個以r作半徑的圓形，正沿一段直線向前滾動，它在和它的圓周同長（2π r）的直線AB上剛好轉了1轉。現(xiàn)在我們把這段直線AB在它的中心點C處曲折（圖），并把CD段折成和原來方向成α角。

于是，這個圓形在轉了半轉之后，就到達了頂點C，而且為了要轉到CB線上去，它與它的圓心一起轉了一個和角相等的角度。

在這個旋轉的過程中，圓形并不沿線段轉動。正是在這里產(chǎn)生了比沿直線滾動多出來的轉數(shù)。

是相同。圓形在CB上又轉了半轉，因此，這個圓形在整個折線這個多出來的旋轉和全圓旋轉相比，恰好跟角和2的比，就ACB上，一共轉了轉。我們現(xiàn)在就能清楚知道，一個繞著正六邊形外邊旋轉的圓形，繞完六邊形各邊后（圖47），需要轉多少轉了。它的轉數(shù)應該等于它在大邊總長度的直線上所轉的轉數(shù)加上六個外角的和除以2的商數(shù)。任何凸角多邊形的外角總和總是等于2，而。

因此，圓形在六邊形或任何多邊形的外邊滾動時，滾動一周的轉數(shù)，必然要比它在這多邊形各邊總長相同的直線上滾動轉數(shù)多一轉。

一個凸角正多邊形，當它的邊數(shù)無窮增加時，就將和一個圓形接近，因此，我們剛才所講的也適用于圓形。例如，假如把一個圓形放在另一個同樣大小的圓形外面沿著一段120°的弧線上滾動，那么，這個滾動圓形要滾轉而不是轉。