11 什么是“祖暅原理”？

“祖暅原理”即截面原理，在西方被稱為“卡瓦列利原理”，其內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

祖暅是南北朝時期的數學家，是祖沖之的兒子。在祖暅之前，劉徽已經在各種體積公式的證明中反復使用過截面原理，但并未給出明確的表述，而祖暅是第一個用精確的文字表述此原理的人，因此它便被后人稱作“祖暅原理”。

內棋與外棋

祖暅運用祖暅原理的一大成就是解決了劉徽所遺留的球積公式推導問題。對于劉徽沒能算出的牟合方蓋體積，祖暅巧妙地改用了另一種方法：并不直接計算牟合方蓋的體積，而是計算從立方體中去掉牟合方蓋后剩余部分的體積。

祖暅將立方體分為八份，去掉牟合方蓋后的剩余部分被兩個圓柱體切割為三塊，其中方蓋的部分取名“內棋”，其余三部分取名“外棋”。再以這個小立方體的頂面為底，作一個頂點在小立方體底面上的倒立四棱錐（陽馬）。用平行于底面的平面在任意高度橫截三個外棋和這個四棱錐，應用勾股定理，祖暅計算出三個外棋的截面面積之和與四棱錐的截面面積總是相等的。于是，根據祖暅原理可知這個四棱錐的體積即為三個外棋體積之和，這樣就可以依次算出三個外棋、牟合方蓋和球的體積了。