10 劉徽為什么要設計“牟合方蓋”？

“牟合方蓋”是魏晉時期的數學家劉徽設計的一個形狀奇特的幾何體。方法是在一個立方體內分別作縱橫兩個內接圓柱體，二者相交的部分即為牟合方蓋。這里的“牟”表示相等，“蓋”表示傘，這個幾何體的外形好像是把兩個方口圓頂的傘上下拼合在一起，故取此名。劉徽設計牟合方蓋的目的，是想通過它計算出球的體積。

如今我們知道，球體積的計算公式為V=4/3πr³，這個公式的推導是古代數學的難點之一。西漢時期的《九章算術》認為，球體積為球直徑立方的9/16。這個計算方法可能來源于實物測量或幾何估算。這樣算出來的值要比實際值大1/6左右，誤差相當大。此后東漢的張衡將其修正為球直徑立方的5/8，可是它比《九章算術》的值差得更多。

牟合方蓋

劉徽在為《九章算術》作注的時候，發現以上兩個計算公式都不準確。一個原因可能是二者所用的π值都不精確，《九章算術》中取π值為3，張衡則取，而劉徽運用割圓術得出π值約為3.14。

為此，劉徽設計了牟合方蓋，并計算出球與牟合方蓋的體積比為π：4，這樣，只要算出牟合方蓋的體積，便可得到正確的球積公式。實際上牟合方蓋又可以分為八個形狀相同的小幾何體，所以問題的關鍵便是如何計算這八個小幾何體的體積。

遺憾的是，牟合方蓋的形狀太過奇特，劉徽最終沒能推導出其體積的計算公式。他在為《九章算術》所寫的注釋中坦率地承認了這一點，并表示這個問題只能留待后人去解決了。