第二節 數列極限的定義與計算

［課前導讀］

極限的概念是為求某些實際問題的精確解答而產生的．有許多實際問題的精確解，僅僅通過有限次的算術運算是求不出的，而需要考察一個無限變化過程，由此產生了極限的理論與方法．這一節介紹數列極限的定義，怎樣用定義來證明極限，以及數列極限的計算方法．在正式介紹極限的定義之前，需要回顧一下數列的相關知識．

數列{xn}：x1，x2，x3，…，xn，…，我們把這無窮多個數排成的序列稱為數列，其中x1稱為數列的首項，xn稱為數列的第n項，或稱為數列的一般項（通項）．

等差數列{xn}：公差d=xn-xn-1∈R，通項公式為xn=x1+（n-1）d，

前n項求和公式為．

等比數列{xn}：公比，通項公式為xn=x1·qn-1，

前n項求和公式為．

一、數列極限的概念

1. 數列極限的引入

一尺之棰，日取其半，萬世不竭．

——《莊子·天下篇》

一尺長的木棍，每天截掉一半，每天截取的長度按照天數可排成一個數列：

數列的通項為．當n無限增大（記作n→∞，讀作n趨于無窮大）時，無限接近一個確定的數0.在數學上稱這個確定的數0是數列當n→∞時的極限．

解決實際問題時，經常用到極限方法．極限方法作為高等數學中的一種基本方法，很有必要做進一步詳細的討論．先看下面的4個數列．

（1）；

（2）1，3，32，…，3n-1，…；

（3）1，-1，1，…，（-1）n-1，…；

（4），

它們的一般項依次為

在幾何上，數列{xn}可看作數軸上的一個動點，如圖1-35所示，它依次取數軸上的點x1，x2，x3，…，xn，…．

按函數的定義，數列{xn}可看作自變量為正整數n的函數，即

xn=f（n），

它的定義域是全體正整數．當自變量n依次取1，2，3，…時，對應的函數值就排列成數列{xn}．

現在我們所關心的問題是：

（1）給定一個數列后，該數列的變化趨勢如何？隨著n的無限增大，xn能否無限接近某個常數？

（2）如果能無限接近某個確定的數，則該常數是多少？

可以看出，在前面所列的4個數列中，當n→∞時，數列（1）的一般項將無限接近于常數0.數列（4）的一般項將無限接近于常數1.而數列（2）的一般項xn=3n-1卻在無限增大，它不接近于任何確定的數值．數列（3）的一般項xn=（-1）n-1始終交替地取值為1和-1，不接近于任何確定的數值．據此，我們可以認為，數列（1）和（4）是“有極限”的，而數列（2）和（3）是“無極限”的．

從上述各例觀察可以看到，數列的一般項變化趨勢有兩種情況：無限接近于某個確定的常數和不接近于任何確定的常數．這樣就可以得到數列的描述性定義．

如果當數列{xn}的項數n無限增大時，它的一般項xn無限接近于一個確定的常數a，則稱a為數列{xn}的極限．此時也稱數列{xn}收斂于a，記作，或xn→a（n→∞）．例如，.

如果當數列{xn}的項數n無限增大時，它的一般項xn不接近于任何確定的常數，則稱數列{xn}沒有極限，或稱數列{xn}發散，習慣上記作不存在．例如，不存在．

當數列{xn}的項數n無限增大時，如果｜xn｜也無限增大，則數列{xn}沒有極限．此時，習慣上也稱數列{xn}的極限是無窮大，記作．例如，．

2. 數列極限的定義

在上述極限的描述性定義中，我們都是用“無限增大”和“無限接近”來描述極限概念的．為了給極限一個精確的定義，關鍵是要給予“無限增大”和“無限接近”以定量的刻畫．

一般來說，兩個數a、b的接近程度可用｜b-a｜來度量．

我們以數列{xn}：為例．

考慮，顯然，n越大，xn就越“接近”1.只要n足夠大，|xn-1|就可以小于任何給定的正數．如果要求，即，只要n>100，這時x101，x102，…均能使不等式成立．同樣，如果要求，只要n>10 000，這時x10 001，x10 002，…均能使不等式成立．

一般地，不論給定的正數ε多么小，總存在一個正整數N，使得對于n>N時的一切n，不等式|xn-1|<ε均成立，這就是數列當n→∞時無限“接近”于1的精確刻畫，這個數1就是xn的極限．

定義　設{xn}為一數列，如果存在一個常數a∈R，對于任意給定的正數ε，總存在一個正整數N，使得對于n>N時的一切n，不等式|xn-a|<ε均成立，則稱常數a是數列{xn}的極限，或者稱數列{xn}收斂于a，記作

，或xn→a（n→∞）．

如果這樣的常數a不存在，就稱數列沒有極限，或稱數列發散．

我們用“?”表示“任意的”，用“?”表示“存在”，就可以用更簡潔的語言來描述數列的極限．

如果?ε>0，?N∈Z+，當n>N時，恒有|xn-a|<ε，則．

注　（1）定義中，ε刻畫了xn和a的接近程度，ε的“任意”性極其重要．只有這樣，|xn-a|<ε才能體現xn和a的“無限接近”；

（2）正整數N與任意給定的正數ε有關．對于給定的ε，相應的N不是唯一的，即只要其存在，并沒有要求其達到最小；

（3）由定義也可看出，{xn}的極限是否存在僅與它的發展趨勢有關．只要從某項N開始，|xn-a|<ε即可，與前有限項的變化無關．

下面給出“數列{xn}的極限為a”的幾何解釋．

若在數軸上標出x1，x2，…，xn，…及a，再作a的ε鄰域（a-ε，a+ε）（見圖1-36），就會發現，當n>N時，點xn均落在（a-ε，a+ε）內，至多有有限個（N個）落在（a-ε，a+ε）外．

必須指出，數列的定義可用于驗證a是數列{xn}的極限，但卻無法用于求極限．

例1　已知，證明.

證明　?ε>0，要使

即，取，則當n>N時，恒有|xn-0|<ε，故數列的極限為0，即

例2　已知，證明.

證明　?ε>0，（不妨設ε<1，想想為什么可以這樣假設．）要使

即，等式兩端同時取對數，，從而，取，則當n>N時，恒有|xn-0|<ε，故數列的極限為0，即

由例2的證明可以發現，對于任意的0<|q|<1，都有.請感興趣的讀者自行證明．

二、數列極限的計算

極限的定義只能用來驗證極限，而不能計算數列的極限，所以下面給出數列極限的運算法則．

定理（數列極限的運算法則）　若，則

（1）；（加減法則）

（2）；（乘法法則）

（3）；（交換法則）

（4）．（除法法則）

定理的證明見第一章第四節．

例3　求下列函數的極限：

解（1）將分子、分母同時除以n2，則有

（2）利用等差數列求和公式，可得

（3）利用數列的交換法則，可得

（4）由，可知

（5）先將分子有理化，再利用數列極限的運算法則，可得

（6）利用等比數列求和公式，可得

習題1-2

1. 下列各題中的數列{xn}，哪些收斂？哪些發散？對于收斂數列，通過觀察得出數列的極限：

（1）；

（2）

（3）xn=（-1）nn；

（4）；

2. 計算下列極限：

3. 已知，求k的值．

*4. 下列說法作為a是數列{xn}的極限，哪些是對的？哪些是錯的？如果是對的，試說明理由；如果是錯的，試給出一個反例．

（1）對于無窮多個ε>0，存在N∈Z+，當n>N時，使得不等式|xn-a|<ε成立；

（2）對于任給的ε>0，任給N∈Z+，存在n>N，使得不等式|xn-a|<ε成立；

（3）對于任給的ε>0，存在N∈Z+，當n≥N時，使得不等式|xn-a|<ε成立；

（4）對于任給的ε>0，存在N∈Z+，當n>N時，使得不等式|xn-a|<kε，k∈R+成立；

（5）對于任給的m∈Z+，存在N∈Z+，當n>N時，使得不等式成立．

*5. 下列結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，請舉出反例．

（1）若，則；

（2）若，則；

（3）若不存在，不存在，則必不存在；

（4）若不存在，存在，則必不存在；

（5）若存在，不存在，則必不存在；

（6）若，則.