第一章 函數、極限與連續

第一節 集合與函數

［課前導讀］

在中學數學中，我們學習了集合和函數的概念．本節在此基礎上進一步介紹函數的定義域、表達式、分類及其性質，同時給出初等函數的概念．

集合：具有某種確定性質的對象的全體稱為集合（簡稱集），組成集合的個別對象稱為集合的元素．習慣上，用大寫英文字母A，B，C，…表示集合，用小寫英文字母a，b，c，…表示集合的元素．a∈A表示a是集A的元素（讀作a屬于A），a?A表示a不是集A的元素（讀作a不屬于A）．集合按照元素的個數分為有限集和無限集，不含任何元素的集合稱為空集，記為?．

函數：設x和y是兩個變量，D是一個非空數集．如果按照某個法則f，對每個數x∈D，變量y總有唯一確定的值與之對應，則稱此對應法則f為定義在D上的函數，與x對應的值y稱為f在x處的函數值，記作f（x），即y=f（x）．變量x稱為自變量，y稱為因變量．數集D稱為定義域，W={y|y=f（x），x∈D}稱為函數的值域．

一、集合的概念

設A，B是兩個集合，若A的每個元素都是B的元素（見圖1-1），則稱A是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）；若A?B且B?A，則稱A與B相等，記作A=B；對于任何集合A，規定??A．

在本書中，我們把自然數的全體組成的集合稱為自然數集，記作N．由整數的全體構成的集合稱為整數集，記為Z．用Q表示全體有理數構成的有理數集，R表示全體實數構成的實數集．顯然有N?Z?Q?R．

一般地，如果是正整數集，則記為Z+，負整數集記為Z-，以此類推．

注　在本書中所討論的數集除特別說明外均為實數集．

1. 集合及其運算

集合的基本運算有四種：交、并、差、補．

設A，B是兩個集合．

由同時包含于A與B的元素構成的集合（見圖1-2），稱為A與B的交集（簡稱交），記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}；

由包含于A或包含于B的所有元素構成的集合（見圖1-3），稱為A與B的并集（簡稱并），記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}；

由包含于A但不包含于B的元素構成的集合（見圖1-4），稱為A與B的差集（簡稱差），記作A＼B，即A＼B={x|x∈A且x?B}；

特別地，若我們所討論的問題在某個集合（稱為基本集或全集，一般記為U）中進行，集合A是U的子集（見圖1-5），此時稱U＼A為A的余集（或補集），記作CUA或AC．

關于集合的余集，我們有如下性質．

性質1（對偶性質）　設U是一個基本集，A，B是它的兩個子集，則

（1）（A∪B）C=AC∩BC；

（2）（A∩B）C=AC∪BC．

除了集合的四種基本運算，我們還可以定義兩個集合的乘積．

設A，B是兩個非空的集合，則由有序數對（x，y）組成的集合

A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}

稱為A與B的直積．

例如，設A={x｜0≤x≤1}，B={y｜0≤y≤2}，則A×B={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}，如圖1-6所示．

R×R={（x，y）|x，y∈R}即為xOy面上全體點的集合，R×R常記作R2

2. 區間

區間是高等數學課程中用得較多的一類數集．設a和b都是實數，且a<b，數集{x|a<x<b}稱為開區間，記作（a，b）（見圖1-7），即

（a，b）={x|a<x<b}．

a和b稱為開區間（a，b）的端點，其中a為左端點，b為右端點，且a?（a，b），b?（a，b）．

類似地，數集{x|a≤x≤b}稱為閉區間，記作［a，b］（見圖1-8），即

［a，b］={x|a≤x≤b}．

a和b也稱為閉區間［a，b］的端點，且a∈［a，b］，b∈［a，b］．

數集{x|a≤x<b}及{x|a<x≤b}稱為半開區間，分別記作［a，b）和（a，b］（見圖1-9和圖1-10）．

以上這些區間都稱為有限區間，數b-a稱為這些區間的長度．從數軸上看，這些區間是長度為有限的線段．

此外，對于這樣的集合：{x|x≥a}，{x|x>a}，{x|x≤b}，{x|x<b}，我們引進記號+∞（讀作正無窮大）及-∞（讀作負無窮大），則可用類似于有限區間的記號來表示無限的半開區間或開區間：

［a，+∞）={x|x≥a}，

（a，+∞）={x|x>a}，

（-∞，b］={x|x≤b}，

（-∞，b）={x|x<b}．

這些區間在數軸上表示長度無限的半直線，如圖1-11～圖1-14所示．

全體實數的集合R也記作（-∞，+∞），它也是無限的開區間．

以后如果不需要辯明所討論的區間是開區間還是閉區間，是有限區間還是無限區間，我們就簡單地稱其為區間，用 “I”代表各種類型的區間．

3. 鄰域

設a與δ為兩個實數，且δ>0，數集{x｜|x-a|<δ}稱為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），即

U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}，

其中a稱作U（a，δ）的中心，δ稱作U（a，δ）的半徑．

在數軸上，|x-a|表示點x與點a的距離，因此點a的δ鄰域U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}在數軸上就表示與點a的距離小于δ的點x的全體．由于|x-a|<δ等價于-δ<x-a<δ，即a-δ<x<a+δ，所以

U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}．

因此，U（a，δ）也就是開區間（a-δ，a+δ）（見圖1-15）．顯然，這個開區間以點a為中心，長度為2δ．

有時用到的鄰域需要將鄰域中心去掉（見圖1-16），點a的δ鄰域去掉中心a后，稱為點a的去心δ鄰域，記作，即

這里，0<|x-a|就表示x≠a．

為了方便，有時將開區間（a-δ，a）稱為a的左鄰域，而將開區間（a，a+δ）稱為a的右鄰域．

如果不強調半徑，以點a為中心的任何開區間稱為點a的鄰域，記作U（a）．

二、常用函數

1. 基本初等函數

中學時我們已經學過的許多函數，比如冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數等，統稱為基本初等函數．這些函數在高等數學課程中也將大量出現，我們在這里復習一下中學學過的相關知識，便于我們開始高等數學的學習．

（1）冪函數：y=xα（α是常數）

當α∈Z+時，y=xα的定義域是R；當α∈Z-時，y=xα的定義域是R＼{0}（見圖1-17）．

當的定義域是［0，+∞）；當的定義域是（0，+∞）．冪函數的最小定義域是（0，+∞）．

（2）指數函數：y=ax（a>0，a≠1）

如圖1-18、圖1-19所示，由于對任意x，ax>0，且a0=1，故指數函數的圖像在x軸的上方，且通過點（0，1）．

當a>1時，y=ax是單調增加函數；當0<a<1時，y=ax是單調減少函數．

以e=2.718 281 8…為底的指數函數記為y=ex，在工程技術上經常用到這個指數函數．

（3）對數函數：y=logax（a>0，a≠1）

對數函數y=logax（a>0，a≠1）的定義域是（0，+∞），其圖像位于y軸的右方且通過點（1，0）．當a>1時，y=logax是單調增加函數（見圖1-20）；當0<a<1時，y=logax是單調減少函數（見圖1-21）．當a=e時的對數函數記為y=lnx，稱為自然對數函數．

對數具有以下運算性質：對任意的x，y∈R+，a>0，a≠1，b∈R，

（ⅰ）logax+logay=logaxy；

（ⅱ）；

（ⅲ）logaxb=blogax．

y=logax和y=ax互為反函數，它們的圖像關于直線y=x對稱，且有．進一步，我們在以后的計算中經常會用到

（4）三角函數

正弦函數y=sinx，余弦函數y=cosx，正切函數y=tanx，余切函數y=cotx，正割函數y=secx和余割函數y=cscx統稱為三角函數．

y=sinx的定義域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是奇函數（見圖1-22）；

y=cosx的定義域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是偶函數（見圖1-23）；

y=tanx的定義域是，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，在定義域上是奇函數（見圖1-24）；

y=cotx的定義域是{x|x≠kπ，k=0，±1，±2，…}，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，它是奇函數（見圖1-25）；

正割、余割函數與余弦、正弦函數的關系式為

（5）反三角函數

定義1　在區間上的正弦函數y=sinx的反函數記作y=arcsinx，定義域為［-1，1］，值域為，稱為反正弦函數（見圖1-26）；

定義2　在區間［0，π］上的余弦函數y=cosx的反函數記作y=arccosx，定義域為［-1，1］，值域為［0，π］，稱為反余弦函數（見圖1-27）；

定義3　在區間上的正切函數y=tanx的反函數記作y=arctanx，定義域是（-∞，+∞），值域為，稱為反正切函數，在整個定義域上是單調遞增函數（見圖1-28）；定義在區間（0，π）上的余切函數y=cotx的反函數為y=arccotx，定義域是（-∞，+∞），值域為（0，π），稱為反余切函數，在整個定義域上是單調遞減函數（見圖1-29）．

三角函數的反函數統稱為反三角函數．

2. 幾類特殊的函數

除五類基本函數以外，我們還需要了解下列函數．

例1　函數y=C，其中C為某確定的常數．它的定義域為D=（-∞，+∞），值域為W={C}，它的圖形是一條平行于x軸的直線（見圖1-30），這個函數稱為常數函數．

例2　函數的定義域為D=（-∞，+∞），值域W=［0，+∞），它的圖形如圖1-31所示，這個函數稱為絕對值函數．

例3　函數的定義域為D=（-∞，+∞），值域W={-1，0，1}，它的圖形如圖1-32所示，這個函數稱為符號函數．

對于任何實數x，關系式x=sgnx·|x|恒成立．

例4　設x為任一實數，不超過x的最大整數稱為x的整數部分，記作［x］．函數y=［x］的定義域為D=（-∞，+∞），值域為整數集Z，它的圖形如圖1-33所示．可以看出，它的圖形在x的整數值處出現跳躍，而躍度為1，這個函數稱為取整函數．

比如，［0.5］=0，，［-0.5］=-1，一般地，有

［x］=n，當x∈［n，n+1），n=0，±1，±2，…．

在例2、例3等例子中看到，有時一個函數要用幾個式子表示，這種自變量在不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數稱為分段函數．分段函數在實際問題中經常出現，我們應重視對它的研究．

例5　函數是一個分段函數，它的定義域D=（-∞，+∞）．當x∈（-∞，1）時，對應的函數值f（x）=x-1；當x∈［1，+∞）時，對應的函數值f（x）=x3它的圖形如圖1-34所示．

例如，-1∈（-∞，1），則f（-1）=-1-1=-2；1∈［1，+∞），則f（1）=13=1.

3. 初等函數

我們把由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次函數復合所構成的，并可以用一個算式表示的函數統稱為初等函數．例如，都是初等函數，本書中討論的函數基本上都是初等函數．對于初等函數，我們來研究一下它們的表達式和定義域．

例6　設f（x）=2x，，x≠0，x≠1，求f［g（x）］，g［f（x）］和f［f（x）］．

解

例7　求函數的定義域．

解　所給函數由，u=lnv，v=x2-3復合而成．的定義域是［0，+∞），即lnv≥0，從而v=x2-3≥1.解這個關于x的不等式，得|x|≥2.因此，函數的定義域為（-∞，-2］∪［2，+∞）．

例8　設f（x）的定義域是（0，1），求f（sinx）的定義域．

解　函數f（sinx）由f（u），u=sinx復合而成．因為f（u）的定義域為（0，1），故必有u=sinx的值域是（0，1），即sinx∈（0，1）．因此，開區間（2nπ，（2n+1）π）（n∈Z）的并即為f（sinx）的定義域．

習題1-1

1. 設A，B分別為下列兩個給定的集合：

（1）A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8}；

（2）A=Z+，B=N；

（3）A={x|3<x<5}，B={x|x>4}；

（4）A={x|x2+x-6<0}，B={x|x2-2x-3≤0}；

試求A∪B，A∩B，A＼B，B＼A．

2. 設U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，6，7}，求AC，BC，AC∩BC，（A∪B）C．

3. 設A，B都是集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且AC∩BC={1，3，7，9}，試求A∪B．

4. 用區間表示適合下列不等式的變量x的變化范圍：

（1）2<x≤6；

（2）|x|<3；

（3）

（4）|x|>100；

（5）0<|x-1|<0.01；

（6）0<|x-2|≤5.

5. 設x∈U（1，δ）時，|2x-2|<ε，當ε分別等于0.1和0.01時，求鄰域半徑δ各等于多少．

6. 求下列函數的定義域：

（7）y=f（x2+1），其中f（x）的定義域是［1，2］；

（8）y=f（sinx）+f（lnx），其中f（x）的定義域是［0，1）．

7. 設求f（1），，f（-3）．

8. 設，求．

9. ，求f［g（x）］，g［f（x）］．

10. 設，求f［f（x）］和f{f［f（x）］}．

11. 設，求f（x）．

12. 設f（x）=3x2+4x，φ（t）=lg（1+t），求f［φ（t）］，φ［f（x）］及其定義域．

13. 已知函數

（1）寫出f（x）的定義域，并畫出函數f（x）的圖形；

（2）求f（0），f（1.2），f（3），f（4）．

14. 設求復合函數f［f（x）］．

15. 試將函數f（x）=2|x-2|+|x-1|表示成分段函數，并畫出它的圖像．