1.2　非線性系統(tǒng)理論基礎

在現(xiàn)代控制工程中，任何實際控制系統(tǒng)都是非線性的，線性只是在一定程度上和一定范圍內對系統(tǒng)的近似描述。在實際生活中，最真實的動態(tài)系統(tǒng)也是非線性的，所以設計和控制非線性系統(tǒng)具有很大的發(fā)展前景。但在控制理論發(fā)展的初期，一方面由于對控制系統(tǒng)的精確度和性能要求都不高，所以當控制系統(tǒng)的非線性因素被局部線性化或者被忽略后，在一定范圍內系統(tǒng)仍然可以達到對控制的要求；另一方面也由于非線性動力學的發(fā)展和非線性系統(tǒng)結構的復雜性，對非線性系統(tǒng)的設計和控制也沒有線性系統(tǒng)那么快。因此，非線性系統(tǒng)并沒有像線性系統(tǒng)那樣形成系統(tǒng)的、完善的理論體系。

線性系統(tǒng)有很多種不同形式的標準型，而且相互間可以轉化。與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)的情況就變得很復雜了，對非線性系統(tǒng)有多種描述方法，但是相互間并不都能轉化。

1.2.1　非線性系統(tǒng)的數(shù)學描述

通常一個非線性系統(tǒng)可以描述成如下的微分方程[2]：

式中：x——狀態(tài)向量，x∈Rn；

y——輸出向量，y∈Rq；

值得指出的是系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般指式-中的式

f（·）與h（·）——向量函數(shù)。而式y(tǒng)（t）=h（x, u，t）通常稱為系統(tǒng)的輸出方程。但需要注意的是，這里的輸出y有時并不是僅僅指整個系統(tǒng)的實際輸出信號經(jīng)常還包括了我們所關心的那部分狀態(tài)的測量信號需要指出的是，對式（1-1）中描述的非線性系統(tǒng)S，我們總是假設系統(tǒng)的狀態(tài)向量x（t）可以由初值x0與輸入函數(shù)u（t）唯一的確定。另外，我們設輸入函數(shù)u（t）在任何有限的時間區(qū)間內都是有界的。實際上，在任何控制設計中幾乎都會這么要求。在反饋控制設計中，輸入函數(shù)u（t）可能是狀態(tài)向量x（t）的函數(shù)[3]。

非線性系統(tǒng)有很多種描述方法，有時可以依據(jù)不同的研究利用不同的描述方法來表示。如圖1-2所示，有時我們直接用y=Su這樣的算子描述來簡單的表達這一系統(tǒng)，用來直接討論該系統(tǒng)的輸入輸出特性。但是要注意的是，這時系統(tǒng)內部的初始狀態(tài)x0=x（0）并沒有顯示出來，然而在分析過程中，我們卻往往不能夠忽略這種初始條件。我們都知道，對線性系統(tǒng)來說，除狀態(tài)空間描述外，利用微分方程對輸入輸出進行描述也是一種常用的方法。對于單輸入單輸出（SISO）非線性系統(tǒng)，類似的描述也是值得我們注意的：

其中，

這里（·）i指i階導數(shù)，[·]T表示轉置。

對式（1-2）所表示的系統(tǒng)，一般作如下假設：

（1）函數(shù)?（·）∈C1；

（2）滿足正則條件：

顯然，式（1-2）可以退化為如下線性系統(tǒng)：

通常式（1-2）所示的描述方法稱為微分輸入輸出描述[1]。

我們知道，對線性系統(tǒng)，狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述在一定的條件下可以相互轉換。對于非線性系統(tǒng)，有時也有相類似的轉化。例如對SISO系統(tǒng)（1-2），如果定義：

并在系統(tǒng)的輸入端進一步推廣m個積分器，定義積分器狀態(tài)：

則系統(tǒng)（1-1）可以轉化為：

顯然這就成為了系統(tǒng)（1-1）的特殊形式。

對于常見的非線性系統(tǒng)，其形式通常可以用式（1-1）來表示。如果系統(tǒng)（1-1）表示時不變系統(tǒng)時，那么式（1-1）中的f（·）將不顯示時間t，這時系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

系統(tǒng)（1-3）表示了非常廣泛的一類非線性系統(tǒng)，它包括了下面幾種常見的特殊形式[1]：

（1）仿射非線性系統(tǒng)。

（2）Lurie系統(tǒng)。

（3）靜態(tài)非線性系統(tǒng)。

（4）線性系統(tǒng)。

可以看出，式（1-4）仿射非線性系統(tǒng)中的狀態(tài)方程和輸出方程，關于輸入信號u是線性的，但對狀態(tài)是非線性的。其實線性系統(tǒng)本身就是仿射非線性系統(tǒng)的特殊情況。在式（1-6）靜態(tài)非線性系統(tǒng)中，輸出直接是輸入信號的某個函數(shù)，沒有內部狀態(tài)。Lurie系統(tǒng)（1-5）是一類廣為討論的帶有非線性控制的系統(tǒng)，可以被看成是線性單變量系統(tǒng)和靜態(tài)非線性系統(tǒng)的串連連接[2]。一般地，在實際操作或計算時，非線性系統(tǒng)的模型通常是由非線性差分方程或非線性微分方程來給出，而在對此類模型進行辨別時，常常采用線性化，將它們展開成特殊的函數(shù)等方法。

1.2.2　非線性系統(tǒng)的基本特性

與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有的一個區(qū)別于它的最主要的特征是，疊加原理不再適用于非線性系統(tǒng)，由于這個性質，就導致了非線性系統(tǒng)在學習和研究上的復雜性。也因為非線性系統(tǒng)的復雜性，致使其理論的發(fā)展與線性系統(tǒng)理論相比，顯得稚嫩和零散。非線性系統(tǒng)本身的復雜性及其數(shù)學處理上的一些困難，造成了到現(xiàn)在為止仍然沒有一種普遍的方法可以用來處理所有類型的非線性系統(tǒng)。

由于非線性現(xiàn)象能反映出非線性系統(tǒng)的運動本質，所以非線性現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)所研究的對象。但是用線性系統(tǒng)理論的知識卻是無法來解釋這類現(xiàn)象的，其主要緣故在于非線性系統(tǒng)現(xiàn)象有自激振蕩、跳躍諧振、分諧波振蕩、多值響應、頻率對振幅的依賴、異步抑制、頻率插足、混沌和分岔等。

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比較，其具有了一系列新的特點：

（1）疊加原理在再適用于非線性系統(tǒng)，但是具有疊加性和齊次性卻是線性系統(tǒng)的最大特征。

（2）非線性系統(tǒng)經(jīng)常會產生持續(xù)震蕩，即所謂的自持振蕩；而線性系統(tǒng)運動的狀態(tài)有兩種：收斂和發(fā)散。

（3）從輸入信號的響應來看，輸入信號不會對線性系統(tǒng)的動態(tài)性能產生任何影響，但是輸入信號卻能影響非線性系統(tǒng)的動態(tài)性能。而且對于非線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的輸出可能會產生變形和失真。

（4）從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度來說，輸入信號的種類和大小以及非線性系統(tǒng)的初始狀態(tài)，對非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性都有影響，但是在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的參數(shù)及結構就決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且系統(tǒng)的輸入信號和初始狀態(tài)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有絲毫關系。

（5）當正弦函數(shù)為輸入信號時，非線性系統(tǒng)的輸出是會有高次諧波的函數(shù)，而且函數(shù)的周期是非正弦周期的，就是說系統(tǒng)的輸出會產生倍頻、分頻、頻率侵占等現(xiàn)象，但是對線性系統(tǒng)來說，當輸入信號為正弦函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出是同頻率的正弦函數(shù)，也是一個穩(wěn)態(tài)過程，兩者僅在相位和幅值上不同。

（6）在非線性系統(tǒng)中，互換系統(tǒng)中存在的串聯(lián)環(huán)節(jié)，也許將導致輸出信號發(fā)生徹底的改變，或者將使穩(wěn)定的系統(tǒng)變?yōu)槌梢粋€不穩(wěn)定的，但是對于線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)輸出響應并不會由于互換串聯(lián)環(huán)節(jié)而發(fā)生變化。

（7）非線性系統(tǒng)的運動方式比線性系統(tǒng)要復雜得多，在一定的條件下，非線性系統(tǒng)會有一些特殊的現(xiàn)象，如突變、分岔、混沌。

由于現(xiàn)在還沒有普遍性的系統(tǒng)性的數(shù)學方法，可以用來處理非線性系統(tǒng)的問題，所以對非線性系統(tǒng)的分析要比線性系統(tǒng)復雜很多。從數(shù)學角度來看，非線性系統(tǒng)解的存在性和唯一性都值得研究；從控制方面來看，即使現(xiàn)為止的研究方法有不少，但能通用的方法還是沒有。從工程應用方面來看，很多系統(tǒng)的輸出過程是很難能精確求解出來的，所以一般只考慮下面3種情況：第一，系統(tǒng)是不是穩(wěn)定的；第二，系統(tǒng)是不是會產生自激振蕩以及自激振蕩的頻率和振幅的計算方法；第三，怎么樣來限制系統(tǒng)自激振蕩的幅值以及用什么方法來消除它。例如，一個頻率是ω的自激振蕩可被另一個頻率是ω1的振蕩抑制下去，這種異步抑制現(xiàn)象已被用來抑制某些重型設備的伺服系統(tǒng)中由于齒隙引起的自振蕩。