1.3　非線性控制研究發展現狀

傳統的非線性研究是以死區、飽和、間隙、摩擦和繼電特性等基本的、特殊的非線性因素為研究對象的，主要方法是相平面法和描述函數法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一種求解常微分方程的圖解方法。通過在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。它是時域分析法在相空間的推廣應用，但僅適用于一、二階系統。描述函數法是P.J.Daniel于1940年提出的非線性近似分析方法。其主要思想是在一定的假設條件下，將非線性環節在正弦信號作用下的輸出用一次諧波分量來近似，并導出非線性環節的等效近似頻率特性（描述函數），非線性系統就等效為一個線性系統。描述函數法不受系統階次的限制，但它是一種近似方法，難以精確分析復雜的非線性系統。

非線性系統的穩定性分析理論主要有絕對穩定性理論、李亞普諾夫穩定性理論和輸入輸出穩定性理論。絕對穩定性的概念是由蘇聯學者魯里葉與波斯特尼考夫提出的，其中最有影響的是波波夫判據和圓判據，但難以推廣到多變量非線性系統。李亞普諾夫穩定性理論是俄國天才的數學家李亞普諾夫院士于1892年在他的博士論文里提出的，現在仍被廣泛應用。但它只是判斷系統穩定性的充分條件，并且沒有一個構造李亞普諾夫函數的通用的方法。輸入輸出穩定理論是由I.W.Sanberg和G.Zames提出的。其基本思想是將泛函分析的方法應用于一般動態系統的分析中，而且分析方法比較簡便，但得出的穩定性結論是比較籠統的概念。

20世紀60年代之后，非線性控制有了較大發展，如自適應控制、模型參考控制、變結構控制等，這些方法大多與Lyapunov方法相關。可以認為是Lyapunov方法在控制領域的豐富成果。20世紀80年代以后，非線性控制的研究進入了一個興盛時期。這一時期非線性控制理論研究的基本問題、方法和現狀主要表現為以下幾個方面：

1.3.1　變結構控制方法

蘇聯學者鄔特金和我國的高為炳教授比較系統地介紹了變結構控制的基本理論。變結構控制方法通過控制作用首先使系統的狀態軌跡運動到適當選取的切換流形，然后使此流形漸近運動到平衡點，系統一旦進入滑動模態運動，在一定條件下，就對外界干擾及參數擾動具有不變性。系統的綜合問題被分解為兩個低維子系統的綜合問題，即設計變結構控制規律，使得系統在有限時間內到達指定的切換流形和選取適當的切換函數確保系統進入滑動模態運動以后具有良好的動態特性。由系統不確定因素及參數擾動的變化范圍可以直接確定出適當的變結構反饋控制律解決前一問題。而后一低階系統綜合問題可以用常規的反饋設計方法予以解決。由于變結構控制不需要精確的模型和參數估計的特點，因此這一控制方法具有算法簡單、抗干擾性能好、容易在線實現等優點，適用于不確定非線性多變量控制對象。

以滑動模態為基礎的變結構控制，早期的工作主要由蘇聯學者完成，這一階段主要以誤差及其導數為狀態變量，研究SISO線性對象的變結構控制和二階線性系統。研究的主要方法是相平面分析法。20世紀60年代，研究對象擴展到MIMO系統和非線性系統，切換流形也不限于超平面，但由于當時硬件技術的滯后，這一階段的主要研究工作，僅限于基本理論的研究。到了20世紀80年代，隨著計算機和大功率電子器件等技術的發展，變結構控制的研究進入了一個新的時代。以微分幾何為主要工具發展起來的非線性控制思想極大地推動了變結構控制理論的發展，如基于精確輸入/狀態和輸入/輸出線性化及高階滑模變結構控制律等都是近十余年來取得的成果。所研究的控制對象也已涉及到離散系統、分布參數系統、廣義系統、滯后系統、非線性大系統等眾多復雜系統。變結構控制研究的主要問題有以下幾點：

（1）受限系統變結構控制。

許多實際控制系統需要考慮與外部環境的接觸因素。描述這類系統的動態往往帶有一定的約束或限制條件，故稱為受限系統。約束條件分為完整和非完整約束兩大類。完整約束上只與受控對象的幾何位置有關，且由代數方程描述，經過積分運算可使約束得到簡化，從而可以分解出若干個狀態變量，將原始系統轉化為一低階無約束系統，故其控制問題與無約束系統相比沒有太大困難。而非完整約束本質上為動態約束，由于不能通過積分等運算將其轉化為簡單的代數運算方程，使其控制及運動規劃等問題變的相當困難。此外還有一些新的特點：如不能采用光滑或連續的純狀態反饋實現狀態的整體精確線性化，但通過適當的輸出映射選取，可以實現輸入/輸出的精確線性化；在光滑的純狀態反饋下不能實現平衡點的漸近穩定，但采用非光滑或時變狀態反饋卻可以實現。

（2）模型跟蹤問題。

采用最優控制理論設計多變量控制系統遇到兩個問題：第一，很難用性能指標指定設計目的。第二，對象參數往往有大范圍擾動。克服第一個困難的有效方法之一是采用“線性模型跟蹤控制”、基本思想是將一刻化設計目標的參考模型作為系統的一部分，使受控對象與參考模型狀態問的誤差達到最小化。但不能克服第二個困難，為使系統在參數變化情況下，保持優良品質，一種有效的方法是“自適應模型跟蹤控制”，其主要設計方法：Lyapunov直接法和超穩定法。

雖然變結構控制理論40年來取得了很大的進展，而且具有良好的控制特性，但是仍有許多問題沒解決，其振顫問題給實際應用帶來了不利的影響。為了克服這種缺陷，許多學者致力于改善振顫問題的研究，特別是變結構控制與智能控制方法，如模糊控制、神經網絡等先進控制技術的綜合應用尚處在初步階段，絕大多數研究還僅限于數值仿真階段。在應用研究方面，大多限于電機、機器人的控制等方法。目前的主要研究內容大都集中在受限系統變結構控制、模型跟蹤問題的變結構控制、離散時間系統的變結構控制、模糊變結構控制等方面。

1.3.2　反饋線性化方法

反饋線性化方法是近20年來非線性控制理論中發展比較成熟的主法，特別是以微分幾何為工具發展起來的精確線性化受到了普遍的重視。其主要思想是：通過適當的非線性狀態和反饋變換，使非線性系統在一定條件下可以實現狀態或輸入/輸出的精確線性化，從而將非線性系統的綜合問題轉化為線性系統的綜合問題。它與傳統的利用泰勒展開進行局部線性化近似方法不同，在線性化過程中沒有忽略掉任何非線性項，因此這種方法不僅是精確的，而且是整體的，即線性化對變換有定義的整個區域都適用。

（1）微分幾何方法。

該方法是通過微分同胚映射實現坐標變換，根據變換后的系統引入非線性反饋，實現非線性系統的精確線性化，從而將非線性問題轉化為線性系統的綜合問題。該方法適合于仿射非線性系統。

（2）逆系統方法。

該方法的基本思想是：通過求取被控過程的逆過程，將之串聯在被控過程前面，得到解耦的被控對象，然后再用線性系統理論進行設計。由于系統可逆性概念是不局限于系統方程的特點形式，而具有一定的普遍性，概念和方法容易理解，也避免了微分幾何或其他抽象的專門性數學理論的引入，從而形成了一種簡明的非線性控制理論分支。逆系統方法研究的基本問題是：一個系統是否可逆，如何獲得一個系統的逆系統，逆系統結構的物理可實現等問題。

（3）直接反饋線性化（DFL）方法。

該方法的基本思想是：選擇虛擬控制量，從而抵消原系統中的非線性因素，使系統實現線性化。這種方法不需要進行復雜的非線性坐標變換，物理概念清楚，數學過程簡明，便于工程界掌握。該方法不僅適用于仿射非線性系統，而且對于非仿射形非線性系統以及一類非光滑非線性系統均可適用。研究的基本問題有：如何應用DFL理論使系統線性化，線性化以后能否由虛擬輸入量的表達式中求得非線性反饋控制律，線性化以后系統的性質（如可接性、可觀性）如何。反饋線性化方法為解決一類非線性系統的分析與綜合問題提供了強有力的手段，但是這些方法都要求有苛刻的條件，且結構復雜，有時很難獲得所需的非線性變換；另一方面許多實際系統具有非完整約束的力學系統，不再滿足精確線性化方法中的條件要求，因而非線性系統的近似處理方法具有相當的理論與應用意義。

非線性控制理論發展至今已取得了豐碩的研究成果，并得到了廣泛的應用，但由于非線性系統的復雜性，非線性系統的分析是十分復雜與困難的，在許多問題面前，非線性理論顯得無能為力，面臨著一系列嚴峻的挑戰。例如，當被控對象相對復雜時，用以上方法控制系統時會出現計算繁瑣且計算量巨大等問題，這導致設計控制器比較困難。另一個難題就是被控對象的建模存在不確定性，如果想用以上固有的方法，就必須先獲得精確的數學模型。但在真實的控制系統中，由于不可測擾動和外界干擾的存在，通常得不到精確模型。為了解決這些非線性系統控制中出現的難題，很多學者仍在研究更好的解決方案。

1.3.3　基于算子理論的魯棒控制方法

本書所介紹的是基于演算子理論的魯棒右互質分解方法。此方法起源于線性系統的互質分解理論。20世紀70年代初，Rosenbrock將互質分解理論引入到多變量系統，此后，線性互質分解理論被廣泛運用到系統鎮定和魯棒穩定性研究中。Youla參數化公式是將控制器和對象分別左右互質分解，從而得到鎮定被控對象控制器的表達式[4]。之后，Nett等人將對象進行左分解和右分解，并得出被控對象的Bezout恒等式因子的狀態空間表達式，這些研究成果為H∞頻率法的研究做好了理論基礎[5-6]。線性互質分解方法現已基本完善。非線性系統的互質分解方法是從線性互質分解理論中進入改進得到的。由于非線性系統與線性系統有很多不同，線性系統的一些理論運用到非線性系統中并不合適。如果想在非線性系統上運用線性系統理論，需要理論和實驗論證成立。在線性系統中，左互質分解和右互質分解的研究是一致的，其都與Bezout恒等式一致，而在非線性系統中卻不同，其中右互質分解與Bzout等式對應，但左互質分解就沒有這種對應關系了。現今，對非線性互質分解的研究逐漸被學者重視，他們的研究主要有兩大類，一類是輸入—輸出方法研究，另一類是用狀態空間的方法研究。雖然這對非線性右互質分解的研究尚不完善，但其應用的演算子是定義在擴展的Banach空間上更一般的Lipschitz演算子，能夠更好地處理演算子的逆、因果性、穩定性問題；所用的演算子可以是線性的也可以是非線性的，可以是有限維的也可以是無限維的，可以是頻域也可是時域的，應用范圍廣，其優勢使很多學者投身對它研究。

DeFigueiredo最先給出了非線性算子的準確概念[7]；之后Chen提出了魯棒右互質分解性的概念，建立了系統的魯棒右互質分解性與魯棒穩定性之間的關系，而且證明了在滿足Bezout等式的條件下才能進行右互質分解[8]。Chen利用Lypschitz算子，得出了一類非線性系統具有魯棒右互質分解性的充分必要條件。Deng對此又進行了更深層的研究，討論了非線性系統魯棒右互質分解的可實現性。Deng在2008年提出了基于算子理論的魯棒右互質分解方法，并討論解決非線性控制跟蹤及故障檢測等問題，得到了較好的結果[9]。之后，畢淑慧、溫盛軍等在此基礎上又做了進一步研究[10]。基于算子理論的控制系統設計優點在于：應用的演算子是比定義在擴展的Banach空間上更一般的Lipschitz算子，能夠更好地處理演算子的逆、因果性、穩定性問題；所用的演算子可以是線性的也可以是非線性的，可以是有限維的，也可以是無限維的，可以是頻域，也可是時域的，應用范圍廣；對于不確定性的控制用一個范數不等式來限定，對設計反饋控制系統保持魯棒穩定性提出了新概念；對于系統優化設計問題，所采用的控制器能夠同時保持魯棒穩定性與跟蹤性能[11-12]。目前，此方法已經被逐步拓展到復雜系統的研究。因此，本書主要在于講述基于算子理論的非線性控制系統設計，及其在一些過程控制系統中的應用。