八 年齡的關系

“你們會猜謎嗎？”馬先生出乎意料地提出這么一個問題，大概是因為問題來得突兀的緣故，大家都默然。

“據說從前有個人出了個謎給人猜，那謎面是一個‘日’字，猜杜詩一句，你們猜是什么句子？”說完，馬先生便呆立著望向大家。

沒有一個人回答。

“無邊落木蕭蕭下。”馬先生說，“怎樣解釋呢？這就說來話長了，中國在晉以后分成南北朝，南朝最初是宋，宋以后是蕭道成所創的齊，齊以后是蕭衍所創的梁，梁以后是陳霸先所創的‘陳’。‘蕭蕭下’就是說，兩朝姓蕭的皇帝之后，當然是‘陳’。‘陳’字去了左邊是‘東’字，‘東’字去了‘木’字便只剩‘日’字了。這樣一解釋，這謎好像真不錯，但是出謎的人可以‘妙手偶得之’，而猜的人卻只好暗中摸索了。”

這雖然是一件有趣的故事，但我，也許不只我，始終不明白馬先生在講算學時突然提到它有什么用意，只得靜靜地等待他的講解了。

“你們覺得我提出這故事有點兒不倫不類嗎？其實，一般教科書上的習題，特別是四則應用問題一類，倘若沒有例題，沒有人講解、指導，對于學習的人，也正和謎面一樣，需要你自己去摸索。摸索本來不是正當辦法，所以處理一個問題，必須有一定步驟。第一，要理解問題中所包含而沒有提出的事實或算理的條件。

“比如這次要講的年齡的關系的題目，大體可分兩種，即每題中或是說到兩個以上的人的年齡，要求它們的或從屬關系成立的時間，或是說到他們的年齡或從屬關系而求得他們的年齡。

“但這類題目包含著兩個事實以上的條件，題目上總歸不會提到的：其一，兩人年齡的差是從他們出生起就一定不變的；其二，每多一年或少一年，兩人便各長一歲或小一歲。不懂得這個事實，這類的題目便難于摸索了。這正如上面所說的謎語，別人難于索解的原因，就在不曾把兩個‘蕭’，看成蕭道成和蕭衍。話雖如此，畢竟算學不是猜謎，只要留意題上沒有明確提出的，而事實上存在的條件，就不至于暗中摸索了。閑言表過，且提正文。”

例一：當前，父年三十五歲，子年九歲，幾年后父年是子年的三倍？

寫好題目，馬先生說：“不管三七二十一，我們先把表示父和子的年歲的兩條線畫出來。在圖上，橫軸表示歲數，縱軸表示年數。父現在年三十五歲，以后每過一年增加一歲，用AB線表示。子現在年九歲，以后也是每過一年增加一歲，用CD線表示。

“過五年，父年幾歲？子年幾歲？”

“父年四十歲，子年十四歲。”這是誰都能回答上來的。

“過十一年呢？”

“父年四十六歲，子年二十歲。”這也是誰都能回答上來的。

“怎樣看出來的？”馬先生問。

“從OY線上記有5的那點橫看到AB線得E點，再往下看，就得四十，這是五年后父的年歲。又看到CD線得F點，再往下看得十四，就是五年后子的年歲。”我回答。

“從OY線上記有11的那點橫看到AB線得G點，再往下看，就得四十六，這是十一年后父的年歲。又看到CD線得H點，再往下看得二十，就是十一年后子的年歲。”周學敏搶著，而且故意學著我的語調回答。

“對了！”馬先生高叫一句，突然愣住。

“5E是5F的3倍嗎？”馬先生問后，大家搖搖頭。

“11G是11H的3倍嗎？”仍是一陣搖頭，不知為什么今天只有周學敏這般高興，扯長了聲音回答：“不——是——”

“現在就是要找在OY上的哪一點到AB的距離是到CD的距離的3倍了。當然我們還是應當用畫圖的方法，不可硬用眼睛看。等分線段的方法，還記得嗎？在講除法的時候講過的。”

王有道說了一段等分線段的方法。

接著，馬先生說：“先隨意畫一條線AK，從A起在上面取A1,12,23相等的三段。連C2，過3作線平行于C2，與OA交于M。過M作線平行于CD，與OY交于4，這就得了。”

四年后，父年三十九歲，子年十三歲，正是父年三倍于子年，而圖上的4P也恰好3倍于4Q，真是奇妙！然而為什么這樣畫就行了，我卻不太明白。

馬先生好像知道我的心事一般：“現在，我們應當考求這個畫法的來源。”他隨手在黑板上畫出上圖，要我們看了回答B1C1, B2C2, B3C3, B4C4，各對于A1B1, A2B2, A3B3, A4B4的倍數是否相等。當然，誰也可以看得出來這倍數都是2。

大家回答了以后，馬先生說：“這就是說，一條線被平行線分成若干段，無論這條線怎樣畫，這些段數的倍數關系都是相同的。所以4P對于4Q，和MA對于MC，也就和3A對于32的倍數關系是一樣的。”

這我就明白了。

“假如，題上問的是6倍，怎么畫？”馬先生問。

“在AK上取相等的6段，連C5，畫6M平行于C5。”王有道回答。這，現在我也明白了，因為OY到AB的距離，無論是OY到CD的距離的多少倍，但OY到CD，總是這距離的一倍，因而總是將AK上的倒數第二點和C相連，而過末一點作線和它平行。

至于這題的算法，馬先生叫我們據圖加以探究，我們看出CA是父子年歲的差，和QP, FE, HG全一樣。而當4P是4Q的3倍時，MA也是MC的3倍，并且在這地方4Q、MC都是所求的若干年后的子年。因此得下面的算法：

討論完畢以后，馬先生一句話不說，將圖37畫了出來，指定周學敏去解釋。

我倒有點兒幸災樂禍的心情，因為他學過我的緣故，但事后一想，這實在無聊。他的算學雖不及王有道，這次卻講得很有條理，而且真是簡單、明白。下面的一段，就是周學敏講的，我一字沒改記在這里以表懺悔！

別解：

“父年三十五歲，子年九歲，他們相差二十六歲，就是這個人二十六歲時生這兒子，所以他二十六歲時，他的兒子是零歲。以后，每過一年，他大一歲，他的兒子也大一歲。依差一定的表示法，得AB線。題上要求的是父年3倍于子年的時間，依倍數一定的表示法得OC線，兩線相交于D。依交叉原理，D點所示的，便是合于題上的條件時，父子各人的年歲：父年三十九，子年十三。從三十五到三十九和從九到十三都是四，就是四年后父年正好是子年的三倍。”

對于周學敏的解說，馬先生也非常滿意，他評價了一句：“不錯！”就寫出例二。

例二：當前，父年三十六歲，子年十八歲，哪一年父年是子年的三倍？

這題看上去自然和例一完全相同。馬先生讓我們各自依樣畫葫蘆，但一動手，便碰了釘子，過M所畫的和CD平行的線與OY卻交在下面9的地方。這是怎么一回事呢？

馬先生始終讓我們自己去做，一聲不吭。后來我從這9的地方橫看到AB，再豎看上去，得父年二十七歲；而看到CD，再豎看上去，得子年九歲，正好父年是子年的三倍。到此我才領悟過來，這在下面的9，表示的是九年以前。而這個例題完全是馬先生有意弄出來的。這么一來，我還知道幾年前或幾年后，算法全是一樣，只是減的時候，被減數和減數不同罷了。本題的計算應當是：

我試用別的解法做，得圖39, AB和OC的交點D，表明父年二十七歲時，子年九歲，正是三倍，而從三十六回到二十七恰好九年，所以本題的解答是九年以前。

例三：當前，父年三十二歲，一子年六歲，一女年四歲，幾年后，父的年歲與子女二人年歲的和相等？

馬先生問我們這個題和前兩題的不同之處，這是略一——我現在也敢說“略一”了，真是十分欣幸！——思索就知道的，父的年歲每過一年只增加一歲，而子女年歲的和每過一年卻增加兩歲。所以從現在起，父的年歲用AB線表示，而子女二人年歲的和用CD表示。

AB和CD的交點E，豎看是五十四，橫看是二十二。從現在起，二十二年后，父年五十四歲，子年二十八歲，女年二十六歲，相加也是五十四歲。

至于本題的算法，圖上顯示得很清楚。CA表示當前父的年歲同子女倆的年歲的差，往后看去，每過一年這差減少一歲，少到了零，便是所求的時間，所以：

這題有沒有別解，馬先生不曾說，我也沒有想過，而是王有道將它補出來的：

AB線表示現在父的年歲同著子女倆的年歲，以后一面逐年增加一歲，而另一面增加二歲，OC表示兩面相等，即一倍的關系。這就容易想出。只有AB線的A不在最末一條橫線上，這是王有道的巧思，我只好佩服了。據王有道說，他第一次也把A點畫在三十二的地方，結果不符。仔細一想，才知道錯得十分可笑。原來那樣畫法，是表示父年三十二歲時，子女倆年歲的和是零。由此他想到子女倆的年歲的和是十，就想到A點應當在第五條橫線上。雖是如此，我依然佩服！

例四：當前，祖父八十五歲，長孫十二歲，次孫三歲，幾年后祖父的年歲是兩孫的三倍？

這例題是馬先生留給我們做的，參照了王有道的補充前題的別解，我也由此得出它的圖來了。因為祖父年八十五歲時，兩孫共年十五歲，所以得A點。以后祖父加一歲，兩孫共加兩歲，所以得AB線。OC是表示定倍數的。兩線的交點D，豎看得九十三，是祖父的年歲；橫看得三十一，是兩孫年歲的和。從八十五到九十三有八年，所以得知八年后祖年是兩孫年的三倍。

本題的算法，是我曾經從一本算學教科書上見到的：

[85-（12+3）×3]÷[2×3-1]=（85-45）÷5=8

它的解釋是這樣：就當前說，兩孫共年（12+3）歲，三倍是（12+3）×3，比祖父的年歲還少[85-（12+3）×3]，這差出來的歲數，就需由兩孫每年比祖父多加的歲數來填足。兩孫每年共加兩歲，就三倍計算，共增加2×3歲，減去祖父增加的一歲，就是每年多加（2×3-1）歲，由此便得上面的計算法。

這算法能否由圖上得出來，以及本題照前幾例的第一種方法是否可解，我們沒有去想，也不好意思去問馬先生，因為這好像應當用點兒心自己回答，只得留待將來了。