六 時(shí)鐘的兩只針

“這次講一個(gè)許多人碰到都有點(diǎn)兒莫名其妙的題目。”說(shuō)完，馬先生在黑板上寫(xiě)出：

例一：時(shí)鐘的長(zhǎng)針和短針，在二時(shí)、三時(shí)間，什么時(shí)候碰在一起？

我知道，這個(gè)題，王有道確實(shí)是會(huì)算的，但是很奇怪，馬先生寫(xiě)完題目以后，他卻一聲不吭。后來(lái)下了課，我問(wèn)他，他的回答是：“會(huì)算是會(huì)算，但聽(tīng)聽(tīng)馬先生有什么別的講法，不是更有益處嗎？”我聽(tīng)了他的這番話，不免有些慚愧，對(duì)于我已經(jīng)懂得的東西，往往不喜歡再聽(tīng)先生講，這著實(shí)是缺點(diǎn)。

“這題的難點(diǎn)在哪里？”馬先生問(wèn)。

“兩只針都是在鐘面上轉(zhuǎn)，長(zhǎng)針轉(zhuǎn)得快，短針轉(zhuǎn)得慢。”我大膽地回答。

“不錯(cuò)！不過(guò)，仔細(xì)想一想，便沒(méi)有什么困難了。”馬先生這樣回答，并且接著說(shuō)：

“無(wú)論是跑圓圈，還是跑直路，總是在一定的時(shí)間內(nèi)，走過(guò)了一定的距離。而且，時(shí)鐘的這兩只針，好像受過(guò)嚴(yán)格訓(xùn)練一樣，在相同的時(shí)間內(nèi)，各自所走的距離總是一定的。——在物理學(xué)上，這叫作等速運(yùn)動(dòng)。一切的運(yùn)動(dòng)法則都可用速度、時(shí)間和距離這三項(xiàng)的關(guān)系表示出來(lái)。在等速運(yùn)動(dòng)中，它們的關(guān)系是：

“距離=速度×?xí)r間。

“現(xiàn)在根據(jù)這一點(diǎn)，將本題探究一番。”

“李大成，你說(shuō)長(zhǎng)針轉(zhuǎn)得快，短針轉(zhuǎn)得慢，怎么知道的？”馬先生向我提出這樣的問(wèn)題，惹得大家都笑了起來(lái)。當(dāng)然，這是看見(jiàn)過(guò)時(shí)鐘走動(dòng)的人都知道的，還成什么問(wèn)題。不過(guò)馬先生特地提出來(lái)，我倒不免有點(diǎn)兒發(fā)呆了。怎樣回答好呢？最終我大膽地答道：

“看出來(lái)的！”

“當(dāng)然，不是摸出來(lái)的，而是看出來(lái)的了！不過(guò)我的意思，單說(shuō)快慢，未免太籠統(tǒng)些，我要問(wèn)你，這快慢，怎樣比較出來(lái)的？”

“長(zhǎng)針一小時(shí)轉(zhuǎn)六十分鐘的位置，短針只轉(zhuǎn)五分鐘的位置，長(zhǎng)針不是比短針轉(zhuǎn)得快嗎？”

“這就對(duì)了！但我們現(xiàn)在知道的是長(zhǎng)針和短針在六十分鐘內(nèi)所走的距離，它們的速度是怎樣呢？”馬先生望著周學(xué)敏。

“用時(shí)間去除距離，就得速度。長(zhǎng)針每分鐘轉(zhuǎn)一分鐘的位置，短針每分鐘只轉(zhuǎn)十二分之一分鐘的位置。”周學(xué)敏。

“現(xiàn)在，兩只針的速度都已知道了，暫且放下。再來(lái)看題上的另一個(gè)條件，正午兩點(diǎn)鐘的時(shí)候，長(zhǎng)針距短針多遠(yuǎn)？”

“十分鐘的位置。”四五人一同回答。

“那么，這題目和趙阿毛在趙小毛的前面十里，趙小毛從后面追他，趙小毛每小時(shí)走一里，趙阿毛每小時(shí)走十二分之一里，幾時(shí)可以趕上？——有什么區(qū)別？”

“一樣！”真正的是眾口一詞。

這樣推究的結(jié)果，我們不但能夠?qū)D畫(huà)出來(lái)，而且算法也非常明晰了：

馬先生說(shuō)，這類(lèi)題的變化并不多，要我們各自作一張圖，表出：從零時(shí)起，到十二時(shí)止，兩只針每次相重的時(shí)間。自然，這只要將前圖擴(kuò)充一下就行了。但在我將圖畫(huà)完，仔細(xì)玩賞一番后，覺(jué)得算學(xué)真是有趣味的科目。

馬先生提出的第二例是：

例二：時(shí)鐘的兩針在二時(shí)、三時(shí)間，什么時(shí)候成一個(gè)直角？

馬先生叫我們大家將這題和前一題比較，提出要點(diǎn)來(lái)，我們都只知道一個(gè)要點(diǎn)：

——兩針成一直角的時(shí)候，它們的距離是十五分鐘的位置。

后來(lái)經(jīng)過(guò)馬先生的各種提示，又得出第二個(gè)要點(diǎn)：

——在二時(shí)和三時(shí)間，兩針要成直角，長(zhǎng)針得趕上短針同它相重——這是前一題——再超過(guò)它十五分鐘。

這一來(lái)，不用說(shuō)，我們都明白了。作圖的方法，只是在例一的圖上增加一條和AB平行的線FG，和CD交于H，便指示出我們所要的答案了。這理由也很清晰明了，FG和AB平行，AF相隔十五分鐘的位置，所以FG上的各點(diǎn)垂直畫(huà)線下來(lái)和AB相交，則FG和AB間的各線段都是一樣長(zhǎng)，表示十五分鐘的位置，所以FG便表示距長(zhǎng)針十五分鐘的位置的線。

至于這題的算法，那更是容易明白了。長(zhǎng)針先趕上短針十分鐘，再超過(guò)十五分鐘，一共自然是長(zhǎng)針需比短針多走10+15分鐘，所以，

便是答案。

這些，在馬先生問(wèn)我們的時(shí)候，我們都回答出來(lái)了。雖然是這樣，但對(duì)于我——至少我得承認(rèn)——實(shí)在是一個(gè)謎。為什么我們平時(shí)遇到一個(gè)題目不能這樣去思索呢？這幾天，我心里都懷著這個(gè)疑問(wèn)，得不到答案，不是嗎？倘若我們這樣尋根究底地推想，還有什么題目做不出來(lái)呢？我也曾問(wèn)過(guò)王有道這個(gè)問(wèn)題，但他的回答，使我很不滿意。不，簡(jiǎn)直使我生氣。他只是輕描淡寫(xiě)地說(shuō)：“這叫作：‘難者不會(huì)，會(huì)者不難。’”

老實(shí)說(shuō)，要不是我平時(shí)和王有道關(guān)系很好，知道他并不會(huì)“恃才傲物”，我真會(huì)生氣，說(shuō)不定要翻臉罵他一頓。——王有道看到這里，伸伸舌頭說(shuō)，喂！謝謝你！嘴下留情！我沒(méi)有自居會(huì)者，只是羨慕會(huì)者的不難罷了！——他的回答，不是等于不回答嗎？難道世界上的人生來(lái)就有兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)于算學(xué)題目，簡(jiǎn)直不會(huì)思索的“難者”；一類(lèi)是對(duì)于算學(xué)題目，不用費(fèi)心思索就解答出來(lái)的“會(huì)者”嗎？真是這樣，學(xué)校里設(shè)算學(xué)這一科目，對(duì)于前者，便是白費(fèi)力氣；對(duì)于后者，便是多此一舉！這和馬先生的議論也未免矛盾了！懷著這疑問(wèn)，有好幾天了！從前，我也是用性質(zhì)相近、不相近來(lái)解釋的，而我自己，當(dāng)然自居于性質(zhì)不相近之列。但馬先生對(duì)于這種說(shuō)法持否定態(tài)度，自從聽(tīng)了馬先生這幾次的講解以后，我雖不敢成為否定論者，至少也是懷疑論者了。懷疑！懷疑！懷疑只是過(guò)程！最后總應(yīng)當(dāng)有個(gè)不容懷疑的結(jié)論呀！這結(jié)論是什么？

被我們尊稱為“馬浪蕩”的馬先生，我想他一定可以給我們一個(gè)確切的回答。我懷著這樣的期望，屢次想將這個(gè)問(wèn)題提出來(lái)，靜候他的回答，但最終因?yàn)槿狈τ職猓桓姨岢觥＝裉欤搅诉@個(gè)時(shí)候，我真忍無(wú)可忍了。題目的解答法，一經(jīng)道破，真是“會(huì)者不難”，為什么別人會(huì)這樣想，我們不能呢？

我斗膽地問(wèn)馬先生：“為什么別人會(huì)這樣想，我們卻不能呢？”

馬先生笑容滿面地說(shuō)：“好！你這個(gè)問(wèn)題很有意思！現(xiàn)在我來(lái)跑一次野馬。”

馬先生跑野馬！真是使得大家哄堂大笑！

“你們知道小孩子走路嗎？”這話問(wèn)得太不著邊際了，大家只好沉默不語(yǔ)。他接著說(shuō)：

“小孩子不是一生下來(lái)就會(huì)走路的，他先是自己不能移動(dòng)，隨后再練習(xí)站起來(lái)走路。只要不是過(guò)分嬌養(yǎng)或殘疾的小孩子，兩歲總會(huì)無(wú)所倚傍地直立步行了。但是，你們要知道，直立步行是人類(lèi)的一大特點(diǎn)，現(xiàn)在的小孩子只要兩歲就能夠做到，我們的祖先卻費(fèi)了不少力氣才能夠呀！自然，我們可以這樣解釋?zhuān)湃瞬蝗缃袢耍@并不能使人佩服。現(xiàn)在的小孩子能夠走得這么早，一半是遺傳的因素，而一半?yún)s是因?yàn)橛幸粋€(gè)學(xué)習(xí)的環(huán)境，一切他所見(jiàn)到的比他大的人的動(dòng)作，都是他模仿的樣品。

“一切文化的進(jìn)展，正和小孩子學(xué)步一樣。明白了這個(gè)道理，那么這疑問(wèn)就可以解答了。一種題目的解決，就是一個(gè)發(fā)明。發(fā)明這件事，說(shuō)它難，它真難，一定要發(fā)明點(diǎn)兒什么，這是誰(shuí)也沒(méi)有把握能夠做到的。但，說(shuō)它不難，真也不難！有一定的學(xué)力和一定的環(huán)境，繼續(xù)不斷地努力，總不至于一無(wú)所成。

“學(xué)算學(xué)，以及學(xué)別的功課都是一樣，一面先弄清楚別人已經(jīng)發(fā)明的，并且注意他們研究的經(jīng)過(guò)和方法；一面應(yīng)用這種態(tài)度和方法去解決自己所遇到的新問(wèn)題。廣泛地說(shuō)，你們學(xué)了一些題目的解法，自然也就學(xué)會(huì)了解別的問(wèn)題，這也是一種發(fā)明，不過(guò)這種發(fā)明是別人早就得出來(lái)的罷了。

“總之，學(xué)別人的算法是一件事，學(xué)思索這種算法的方法，又是一件事，而后一種更重要。”

對(duì)于馬先生的議論，我還是持懷疑態(tài)度，總有些人比較會(huì)思索些。但是，馬先生卻說(shuō)，不可以忘記一切的發(fā)展都是歷史的產(chǎn)物，都是許多人的勞力的結(jié)晶。他的意思是說(shuō)“會(huì)想”并不是憑空會(huì)的，要我們?nèi)ヅW(xué)習(xí)。這話，雖然我還不免懷疑，但努力學(xué)習(xí)總是應(yīng)當(dāng)?shù)模业囊蓡?wèn)只好暫時(shí)放下了。

馬先生發(fā)表完議論，就轉(zhuǎn)到本題上：“現(xiàn)在你們自己去研究在各小時(shí)以后兩針成直角的時(shí)間，你們要注意，有幾小時(shí)內(nèi)是可以有兩次成直角的時(shí)間的。”

課后，我們聚集在一起研究，便畫(huà)成了圖29。我們將一只表從正午十二點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到正午十二點(diǎn)來(lái)觀察，簡(jiǎn)直是不差分毫。我感到愉快，同時(shí)也覺(jué)得算學(xué)真是一個(gè)活生生的科目。

關(guān)于時(shí)鐘兩針的問(wèn)題，一般的書(shū)上，還有“兩針成一直線”的，馬先生說(shuō)，這再也沒(méi)有什么難處，要我們自己去“發(fā)明”，其實(shí)參照前兩個(gè)例題，真的一點(diǎn)兒也不難啊！