五 “追趕上前”的話

“講第三段的時候，我曾經說過，倘若你有了一張圖，坐在屋里，看看表，又看看圖，隨時就可知道你出了門的弟弟離開你已有多遠。這次我就來講關于走路這一類的問題。”馬先生今天這樣開場。

例一：趙阿毛上午八點由家中動身到城里去，每小時走三里。上午十一點，他的兒子趙小毛發現他忘了帶應當帶到城里去的東西，拿著從后面追去，每小時走五里，什么時候可以追上？

這題只需用第二段講演中的最后一個作基礎便可得出來。用橫線表示路程，每一小段一里；用縱線表示時間，每兩小段一小時。——縱橫線用作單位1的長度，無妨各異，只要表示得明白。

因為趙阿毛是上午八點由家中動身的，所以時間就用上午八點作起點，趙阿毛每小時走三里，他走的行程和時間是“定倍數”的關系，畫出來就是AB線。

趙小毛是上午十一點動身的，他走的行程和時間對于交在C點的縱橫線來說，也只是“定倍數”的關系，畫出來就是CD線。

AB和CD交于E，就是趙阿毛和趙小毛父子倆在這兒碰上了。

從E點橫看，得下午三點半，這就是解答。

“你們仔細看這個，比上次的有趣味。”趣味！今天馬先生從走進課堂直到現在，都是板著面孔的，我還以為他有什么不高興的事，或是身體不適呢！聽到這兩個字，知道他將要說什么趣話了，精神不禁為之一振。但是仔細看一看圖，依然和上次的各個例題一樣，只有兩條直線和一個交點，真不知道馬先生說的趣味在哪里。別人大概也和我一樣，沒有看出什么特別的趣味，所以整個課堂上，只有靜默。打破這靜默的，自然只有馬先生：

“看不出嗎？嗐！不是真正的趣味‘橫’生嗎？”

“橫”字說得特別響，同時右手拿著粉筆朝著黑板上的圖橫著一畫。雖是這樣，但我們還是猜不透這個謎。

“大家橫著看！看兩條直線間的距離！”因為馬先生這么一提示，果然，大家都看那兩條線間的距離。

“看出了什么？”馬先生靜了一下問。

“越來越短，最后變成了零?！敝軐W敏回答。

“不錯！但這表示什么意思？”

“兩人越走越近，到后來便碰在一起了?！蓖跤械阑卮稹?/p>

“對的，那么，趙小毛動身的時候，兩人相隔幾里？”

“九里。”

“走了一小時呢？”

“七里。”

“再走一小時呢？”

“五里?！?/p>

“每走一小時，趙小毛趕上趙阿毛幾里？”

“二里。”這幾次差不多都是齊聲回答，課堂里顯得格外熱鬧。

“這二里從哪里來的？”

“趙小毛每小時走五里，趙阿毛每小時只走三里，五里減去三里，便是二里?！蔽覔屩卮?。

“好！兩人先隔開九里，趙小毛每小時能夠追上二里，那么幾小時可以追上？用什么算法計算？”馬先生這次向著我問。

“用二去除九得四點五。”我答。

馬先生又問：“最初相隔的九里怎樣來的呢？”

“趙阿毛每小時走三里，上午八點動身，走到上午十一點，一共走了三小時，三三得九?！绷硪粋€同學這么回答。

在這以后，馬先生就寫出了下面的算式：

3里×3÷（5里-3里）=9里÷2里=4.5小時——趙小毛走的時間

11時+4.5時-12時=3.5時——即下午三點半

“從這次起，公式不寫了，讓你們去如法炮制吧。從圖上還可以看出來，趙阿毛和趙小毛碰到的地方，距家是二十二里半。若是將AE、CE延長，兩線間的距離又越來越長，但AE翻到了CE的上面。這就表示，若他們父子碰到以后，仍繼續各自前進，趙小毛便走在了趙阿毛前面，越離越遠。”

試將這個題改成“甲每時行三里，乙每時行五里，甲動身后三小時，乙去追他，幾時能追上？”這就更一般了，畫出圖來，當然和前面的一樣。不過表示時間的數字需換成0,1,2,3……

例二：甲每小時行三里，動身后三小時，乙去追他，四小時半追上，乙每小時行幾里？

對于這個題，表示甲走的行程和時間的線，自然誰都會畫了。就是表示乙走的行程和時間的線，經過了馬先生的指示，以及共同的討論，知道：因為乙是在甲動身后三小時才動身，而得C點。又因為乙追了四小時半趕上甲，這時甲正走到E，而得E點，聯結CE，就得所求的線。再看每過一小時，橫線對應增加5，所以知道乙每小時行五里。這真是馬先生說的趣味橫生了。

不但如此，圖上明明白白地指示出來：甲七小時半走的路程是二十二里半，乙四小時半走的也正是這么多，所以很容易使我們想出了這題的算法。

3里×（3+4.5）÷4.5=22.5里÷4.5=5里——乙每小時走的

但是馬先生的主要目的不在討論這題的算法上，當我們得到了答案和算法后，他又寫出下面的例題。

例三：甲每小時行三里，動身后三小時，乙去追他，追到二十二里半的地方追上，求乙的速度。

跟著例二來解這個問題，真是十分輕松，不必費心思索，就知道應當這樣算：

22.5÷3=7.5

22.5里÷（7.5-3）=22.5里÷4.5=5里——乙每小時走的

原來，圖是大家都懂得畫了，而且一連這三個例題的圖，簡直就是一個，只是畫的方法或說明不同。甲走了七小時半而比乙多走三小時，乙走了四小時半，而路程是二十二里半，上面的計算法，由圖上看來，真是“了如指掌”呵！我今天才深深地感到對算學有這么濃厚的興趣！

馬先生在大家算完這題以后發表他的議論：

“由這三個例子來看，一個圖可以表示幾個不同的題，只是著眼點和說明不同。這不是活鮮鮮地，很有趣味嗎？原來例二、例三都是從例一轉化來的，雖然面孔不同，根源的關系卻沒有兩樣。這類問題的骨干只是距離、時間、速度的關系，你們當然已經明白：

“速度×時間=距離。

“由此演化出來，便得：

“速度=距離÷時間，

“時間=距離÷速度?！?/p>

我們說：

“趙阿毛的兒子是趙小毛；老婆是趙大嫂子。

“趙大嫂子的老公是趙阿毛；兒子是趙小毛。

“趙小毛的媽媽是趙大嫂子；爸爸是趙阿毛?！?/p>

這三句話，表面上看起來自然不一樣，立足點也不同，從文學上說，所給我們的意味、語感也不同，但表出的根本關系卻只有一個，畫個圖便是：

照這種情形，將例一先分析一下，我們可以得出下面各元素以及元素間的關系：

1．甲每小時行三里。

2．甲先走三小時。

3．甲共走七小時半。

4．甲、乙都共走二十二里半。

5．乙每小時行五里。

6．乙共走四小時半。

7．甲每小時所行的里數（速度）乘以所走的時間，得甲走的距離。

8．乙每小時所行的里數（速度）乘以所走的時間，得乙走的距離。

9．甲、乙所走的總距離相等。

10．甲、乙每小時所行的里數相差二。

11．甲、乙所走的小時數相差三。

1到6是這題所含的六個元素。一般地說，只要知道其中三個，便可將其余的三個求出來。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6當然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。

不過也有例外，如1、3、4，因為4可以由1、3得出來，所以不能成為一個題。2、3、6只有時間，而且由2、3就可得6，也不能成題。再看4、5、6，由4、5可得6，一樣不能成題。

從六個元素中取出三個來做題目，照理可成二十個。除了上面所說的不能成題的三個，以及前面已舉出的三個，還有十四個。這十四個的算法，當然很容易推知，畫出圖來和前三例子完全一樣。為了便于比較、研究，逐一寫在后面。

例四：甲每小時行三里1，走了三小時乙才動身2，他共走了七小時半3被乙趕上，求乙的速度。

3里×7.5÷（7.5-3）=5里——乙每小時所行的里數

例五：甲每小時行三里1，先動身，乙每小時行五里5，從后追他，只知甲共走了七小時半3，被乙追上，求甲先動身幾小時？

7.5-3里×7.5÷5里=3小時——甲先動身三小時

例六：甲每小時行三里1，先動身，乙從后面追他，四小時半6追上，而甲共走了七小時半，求乙的速度。

3里×7.5÷4.5=5里——乙每小時所行的里數

例七：甲每小時行三里1，先動身，乙每小時行五里5，從后面追他，走了二十二里半4追上，求甲先走的時間。

22.5里÷3里-22.5里÷5里=7.5-4.5=3小時——甲先走三小時

例八：甲每小時行三里1，先動身，乙追四小時半6，共走二十二里半4追上，求甲先走的時間。

22.5里÷3-4.5=7.5-4.5=3小時——甲先走三小時

例九：甲每小時行三里1，先動身，乙從后面追他，每小時行五里5，四小時半6追上，甲共走了幾小時？

5里×4.5÷3里=22.5里÷3里=7.5小時——甲共走七小時半

例十：甲先走三小時2，乙從后面追他，在距出發地二十二里半4的地方追上，而甲共走了七小時半3，求乙的速度。

22.5里÷（7.5-3）=22.5里÷4.5=5里——乙每小時所行的里數

例十一：甲先走三小時2，乙從后面追他，每小時行五里5，到甲共走七小時半3時追上，求甲的速度。

5里×（7.5-3）÷7.5=22.5里÷7.5=3里——甲每小時所行的里數

例十二：乙每小時行五里5，在甲走了三小時的時候2動身追甲，乙共走二十二里半4追上，求甲的速度。

22.5里÷（22.5里÷5里+3）=22.5里÷7.5=3里——甲每小時所行的里數

例十三：甲先動身三小時2，乙用四小時半6，走二十二里半路4，追上甲，求甲的速度。

22.5里÷（3+4.5）=22.5里÷7.5=3里——甲每小時所行的里數

例十四：甲先動身三小時2，乙每小時行五里5，從后面追他，走四小時半6追上，求甲的速度。

5里×4.5÷（3+4.5）=22.5里÷7.5=3里——甲每小時所行的里數

例十五：甲七小時半3走二十二里半4，乙每小時行五里5，在甲動身后若干小時后動身，正追上甲，求甲先走的時間。

7.5-22.5里÷5=7.5-4.5=3小時——甲先走三小時

例十六：甲動身后若干時，乙動身追甲，甲共走七小時半3，乙共走四小時半6，所走的距離為二十二里半4，求各人的速度。

22.5里÷7.5=3里——甲每小時所行的

22.5里÷4.5=5里——乙每小時所行的

例十七：乙每小時行五里5，在甲動身若干時后追他，到追上時，甲共走了七小時半3，乙只走四小時半6，求甲的速度。

5里×4.5÷7.5=22.5里÷7.5=3里——甲每小時所行的

在這十七個題中，第十六題只是應有的文章，嚴格地說，已不成一個題了。將這些題對照圖來看，比較它們的算法，可以知道：將一個題中的已知元素和所求元素對調而組成一個新題，這兩題的計算法的更改，正有一定法則。大體說來，總是這樣，新題的算法，對于被調的元素來說，正是原題算法的還原，加減互變，乘除也互變。

前面每一題都只求一個元素，若將各未知的三元素作一題，實際就成了四十八個。還有，甲每時行三里，先走三小時，就是先走九里，這也可用來代替第二元素，而和其他二元素組成若干題，這樣地推究多么活潑、有趣！而且對于研究學問實在是一種很好的訓練。

本來無論什么題，都可以下這么一番功夫探究的，但前幾次的例子比較簡單，變化也就少一些，所以不曾說到。而舉一反三，正好是一個練習的機會，所以以后也不再這么不怕麻煩地講了。

把題目這樣推究，學會了一個題的計算法，便可悟到許多關系相同、形式各樣的題的算法，實不只“舉一反三”，簡直要“聞一以知十”，使我覺得無比快樂！我現在才感到算學不是枯燥的。

馬先生花費許多精力，教給我們探索題目的方法，時間已過去不少，但他還不辭辛苦地繼續講下去。

例十八：甲、乙兩人在東西相隔十四里的兩地，同時相向動身，甲每小時行二里，乙每小時行一里半，兩人幾時在途中相遇？

這差不多算是我們自己做出來的，馬先生只告訴了我們，應當注意兩點：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲從C向D，乙就從A向B, AC相隔十四里；第二，因為題上所給的數都不大，圖上的單位應取大一些——都用二小段當一——圖才好看，做算學也需兼顧好看！

由E點橫看得4，自然就是4小時兩人在途中相遇了。

“趣味橫生”，橫向看去，甲、乙兩人每走一小時將近三里半，就是甲、乙速度的和，所以算法也就得出來了：

14里÷（2里+1.5里）=14里÷3.5里=4小時——所求的小時數

這算法，沒有一個人不對，算學真是人人能領受的啊！

馬先生高興地提出下面的問題，要我們回答算法，當然，這更不是什么難事！

1．兩人相遇的地方，距東西各幾里？

2里×4=8里——距東的

1.5里×4=6里——距西的

2．甲到了西地，乙還距東地幾里？

14里-1.5里×（14÷2里）=14里-10.5里=3.5里——乙距東的

下面的推究，是我和王有道、周學敏依照馬先生的前例做的。

例十九：甲、乙兩人在東西相隔十四里的兩地，同時相向動身，甲每小時行二里，走了四小時，兩人在途中相遇，求乙的速度。

（14里-2里×4）÷4=6里÷4=1.5里——乙每小時行的

例二十：甲、乙兩人在東西相隔十四里的兩地，同時相向動身，乙每小時行一里半，走了四小時，兩人在途中相遇，求甲的速度。

（14里-1.5里×4）÷4=8里÷4=2里——甲每小時行的

例二十一：甲、乙兩人在東西兩地，同時相向動身，甲每小時行二里，乙每小時行一里半，走了四小時，兩人在途中相遇，兩地相隔幾里？

（2里+1.5里）×4=3.5里×4=14里——兩地相隔的

這個例題所含的元素只有四個，所以只能組成四個形式不同的題，自然比馬先生所講的前一個例子簡單得多。不過，我們能夠這樣窮追不舍，心中確實感到無比愉快！

下面又是馬先生所提示的例子。

例二十二：從宋莊到毛鎮有二十里，何畏四小時走到，蘇紹武五小時走到，兩人同時從宋莊動身，走了三時半，相隔幾里？走了多長時間，相隔三里？

馬先生說，這個題目的要點，在于正確地指明解法所在。他將表示甲和乙所走的行程、時間的關系的線畫出以后，這樣問：

“走了三時半，相隔的里數，怎樣表示出來？”

“從三時半的那一點畫條橫線和兩直線相交于FH, FH間的距離，三里半，就是所求的?！?/p>

“那么，幾時相隔三里呢？”

由圖上，很清晰地可以看出來：走了三小時，就相隔三里。但怎樣由畫法求出來，卻倒使我們呆住了。

馬先生見沒人回答，便說：“你們難道沒有留意過斜方形嗎？”隨即在黑板上畫了一個ABCD斜方形，接著說：

“你們看圖上（圖22）AD、BC是平行的，而AB、DC以及AD、BC間的橫線都是平行的，不但平行而且還一樣長。應用這個道理，（圖21）過距O三里的一點，畫一條線和OB平行，它與OA交于E。在E這點兩線間的距離正好指示三里，而橫向看去，卻是三小時，這便是解答?！?/p>

至于這題的算法，不用說，很簡單，馬先生大概因此不曾提起，我補在下面：

（20里÷4-20里÷5）×3.5=3.5里——走了三時半相隔的

3里÷（20里÷4-20里÷5）=3小時——相隔三里所需走的時間

跟著，馬先生所提出的例題更曲折、有趣了。

例二十三：甲每十分鐘走一里，乙每十分鐘走一里半。甲動身五十分鐘時，乙從甲出發的地點動身去追甲。乙走到六里的地方，想起忘帶東西了，馬上回到出發處尋找。乙花費五十分鐘找到了東西，加快了速度，每十分鐘走二里去追甲。若甲在乙動身轉回時，休息過三十分鐘，乙在什么地方追上甲？

“先來討論表示乙所走的行程和時間的線的畫法。”馬先生說，“這有五點：1．出發的時間比甲遲五十分鐘；2．出發后每十分鐘行一里半；3．走到六里便回頭，速度沒有變；4．在出發地停了五十分鐘才第二次動身；5．第二次的速度，每十分鐘行二里?！?/p>

依第一點，就時間說，應從五十分鐘的地方畫起，因而得A。從A起依照第二點，每一單位時間——十分——一里半的定倍數，畫直線到6里的地方，得AB。

依第三點，從B折回，照同樣的定倍數畫線，正好到一百三十分鐘的C，得BC。

依第四點，雖然時間一分一分地過去，乙卻沒有離開一步，即五十分鐘都停著不動，所以得CD。

依第五點，從D起，每單位時間，以二里的定倍數，畫直線DF。

至于表示甲所走的行程和時間的線，卻比較簡單，始終是一定的速度前進，只有在乙達到6里B——正是九十分鐘——甲達到九里時，他休息了——停著不動——三十分鐘，然后繼續前進，因而這條線是GH、IJ。

兩線相交于E點，從E點往下看得三十里，就是乙在距出發點三十里的地點追上甲。

“從圖上觀察能夠得出算法來嗎？”馬先生問。

“當然可以的。”沒有人回答，他自己說，接著就講題的計算法。

老實說，這個題從圖上看去，就和乙在D所指的時間，用每十分鐘二里的速度，從后去追甲一樣。但甲這時已走到K，所以乙需追上的里數，就是DK所指示的。

倘若知道了GD所表示的時間，那么除掉甲在HI休息的三十分鐘，便是甲從G到K所走的時間，用它去乘甲的速度，得出來的即是DK所表示的距離。

圖上GA是甲先走的時間，五十分鐘。

AM、MC都是乙以每十分鐘行一里半的速度，走了六里所花費的時間，所以都是（6÷1.5）個十分鐘。

CD是乙尋找東西花費的時間——五十分鐘。

因此，GD所表示的時間，也就是乙第二次動身追甲時，甲已經在路上花費的時間，應當是：

GD=GA+AM×2+CD=50分+10分×（6÷1.5）×2+50分=180分

但甲在這段時間內，休息過三十分鐘，所以，在路上走的時間只是：

180分-30分=150分

而甲的速度是每十分鐘一里，因而，DK所表示的距離是：

1里×（150÷10）=15里

乙追上甲從第二次動身所用的時間是：

15里÷（2里-1里）=15——個10分鐘

乙所走的距離是：

2里×15=30里

這題真是曲折，要不是有圖對著看，這個算法，我是很難聽懂的。

馬先生說：“我再用一個例題來作這一課的收場?！?/p>

例二十四：甲、乙兩地相隔一萬公尺，每隔五分鐘同時對開一部電車，電車的速度為每分鐘五百公尺。馮立人從甲地乘電車到乙地，在電車中和對面開來的車兩次相遇，中間隔幾分鐘？又從開車至到乙地之間，和對面開來的車相遇幾次？

題目寫出后，馬先生讓我們作下面的問答。

“兩地相隔一萬公尺，電車每分鐘行五百公尺，幾分鐘可走一趟？”

“二十分鐘?！?/p>

“倘若馮立人所乘的電車是對面剛開到的，那么這部車是幾時從乙地開過來的？”

“前二十分鐘?！?/p>

“這部車從乙地開出，再回到乙地共需多長時間？”

“四十分鐘。”

“乙地每五分鐘開來一部電車，四十分鐘共開來幾部？”

“八部?！?/p>

自然經過這樣一番討論，馬先生將圖畫了出來，還有什么難懂的呢？

由圖，一眼就可得出，馮立人在電車中，和對面開來的電車相遇兩次，中間相隔的是兩分半鐘。

而從開車至乙地，中間和對面開來的車相遇七次。

算法是這樣：

10000公尺÷500公尺=20分——走一趟的時間

20分×2=40分——來回一趟的時間

40分÷5分=8——一部車自己來回一趟，中間乙所開的車數

20分÷8=2.5分——和對面開來的車相遇兩次，中間相隔的時間

8次-1次=7次——和對面開來的車相遇的次數

“這課到此為止，但我還得拖個尾巴，留個題給你們自己去做?！闭f完，馬先生寫出下面的題，匆匆地退出課堂，他額上的汗珠已滾到頰上了。

今天足足在課堂上坐了兩個半小時，回到寢室里，覺得很疲倦，但對于馬先生出的題，不知為什么，還想繼續探究一番，于是決心獨自試做?？偹恪坝兄菊呤戮钩伞?，費了二十分鐘，居然成功了。但愿經過這次暑假，對于算學能夠找到得心應手的方法！

例二十五：甲、乙兩地相隔三英里，電車每時行十八英里，從上午五時起，每十五分鐘，兩地各開車一部。阿土上午5:01從甲地電車站，順著電車軌道步行，于6:05到乙地車站。阿土在路上碰到往來的電車共幾次？第一次是在什么時間和什么地點？

答案：

阿土共碰到往來電車八次。

第一次約在上午五時八分半多。

第一次離甲地百分之三十六英里。