第一章 作用量量子

1 平生最難事

柏林

1900年10月

曾有人勸告馬克斯·普朗克，不要在理論物理學(xué)上耗費(fèi)青春了，這個(gè)人就是他在慕尼黑大學(xué)時(shí)的導(dǎo)師。導(dǎo)師忠告他說，隨著熱力學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)作為一門學(xué)科，已經(jīng)基本完結(jié)了。簡單來說，就是已經(jīng)沒什么可發(fā)現(xiàn)的了。

然而，隨著20世紀(jì)的臨近，物理學(xué)中一些對立理論之間卻存在分歧。熱力學(xué)原理強(qiáng)化了人們認(rèn)為自然是一個(gè)和諧流動(dòng)的流體的設(shè)想。能量既不能被創(chuàng)造也不能被毀滅，它在輻射與物質(zhì)實(shí)體之間不間斷地流動(dòng)，本身就是一種不間斷的連續(xù)體。原子論者的觀點(diǎn)則與之對立，立場全然不同。原子論者認(rèn)為物質(zhì)不是連續(xù)的，而是由離散的原子或分子構(gòu)成的。他們認(rèn)為利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，通過計(jì)算構(gòu)成物質(zhì)實(shí)體的原子或分子的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，就能得出該物質(zhì)實(shí)體的熱力學(xué)屬性。

普朗克精通經(jīng)典熱力學(xué)。原子論者的統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型，從某些方面動(dòng)搖了他的世界觀，改變了他一生的研究。雖然普朗克也承認(rèn)物質(zhì)的原子論的確取得了一些顯著成就，但他依然將其視作“進(jìn)步的危險(xiǎn)敵人”，最終“會(huì)因人們傾向于連續(xù)性物質(zhì)的假設(shè)而不得不被擯棄”。

1897年，普朗克選擇了“空腔輻射”理論，即我們熟知的“黑體輻射”，把它作為與原子論者立場對立的理論基礎(chǔ)，也把它視為融合力學(xué)與熱力學(xué)的一方土地。但僅僅三年后，普朗克的發(fā)現(xiàn)就逐漸使他倒向了原子論學(xué)說。與此同時(shí)，他的發(fā)現(xiàn)還靜悄悄地埋下了一顆革命的種子，即將顛覆我們對世界的科學(xué)認(rèn)知，而這幾乎可以說是意外的收獲。這場革命的持續(xù)影響，即便在一個(gè)多世紀(jì)之后，依然余威不減。

上述普朗克在原子論學(xué)說上遇到的問題，是一種簡單敘述。原子論者通過把熱力學(xué)量的計(jì)算還原為對原子或分子運(yùn)動(dòng)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，打開了一扇大門，但門內(nèi)是一些令人不安的結(jié)果。在熱力學(xué)中，某些無疑不可逆轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，以及不容反駁的自然規(guī)律，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度講，則被認(rèn)為只是眾多不同選擇中最具可能性的那一種。

對熱力學(xué)第二定律的詮釋，是矛盾的關(guān)鍵點(diǎn)。這是普朗克1879年的博士論文的主題，也正是對這個(gè)問題的研究讓普朗克成為這一領(lǐng)域世界頂級的專家。熱力學(xué)第二定律表述為：處于封閉系統(tǒng)中的物質(zhì)，比如氣體，與外界阻隔了能量的交換，那么隨著系統(tǒng)內(nèi)的氣體達(dá)到熱平衡，被稱為熵的熱力學(xué)量將不可避免地自發(fā)地增加到最大值。

熵是一個(gè)比較抽象的量，人們習(xí)慣將它解釋為表示一個(gè)系統(tǒng)中的“混亂度”的量。1895年，經(jīng)普朗克同意后，他的研究助理恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在德國科學(xué)雜志《物理年鑒》（Annalen der Physik）上發(fā)表了一篇論文，將論戰(zhàn)的矛頭直接指向了原子論者。

舉個(gè)例子來說，如果我們在一個(gè)密閉的容器中，釋放兩股不同溫度的氣體，那么根據(jù)熱力學(xué)第二定律，氣體將混合，溫度不斷趨向平衡，混合氣體的熵將逐漸增加到最大值。但是，根據(jù)原子論者的觀點(diǎn)，混合氣體的變化是每種氣體中的原子或分子的機(jī)械運(yùn)動(dòng)造成的，混合氣體的平衡狀態(tài)只是其最可能的狀態(tài)。而策梅洛則認(rèn)為，這一點(diǎn)恰恰表明，原則上無法排除一系列能徹底逆轉(zhuǎn)原子或分子運(yùn)動(dòng)的事件存在的可能性。如果這些事件真的發(fā)生了，那混合氣體必然會(huì)分離，回到兩者最初的溫度，混合氣體的熵會(huì)自發(fā)減少，這與熱力學(xué)第二定律又是完全矛盾的。

原子論者的領(lǐng)袖，奧地利物理學(xué)家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）回應(yīng)道：與對熱力學(xué)第二定律普遍認(rèn)同的詮釋相反，熵并不總是增加，只是在絕大多數(shù)情況下增加而已。從統(tǒng)計(jì)的角度看，熵值高的狀態(tài)數(shù)比熵值低的狀態(tài)數(shù)多得多，這導(dǎo)致系統(tǒng)在更多情況下都處于高熵值的狀態(tài)。玻爾茲曼認(rèn)為，實(shí)際上，我們?nèi)绻鹊臅r(shí)間足夠長，最終將會(huì)發(fā)現(xiàn)那些熵在自發(fā)減少的系統(tǒng)。

這個(gè)觀點(diǎn)的神奇之處，就相當(dāng)于聚會(huì)上的雞尾酒杯摔碎了還可以自我復(fù)原，驚掉在場所有嘉賓的下巴。

對普朗克來說，這一點(diǎn)把對熱力學(xué)第二定律的詮釋逼到了崩潰的邊緣。為了找到一個(gè)強(qiáng)有力的反駁，擊碎玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)學(xué)解釋，普朗克把戰(zhàn)場轉(zhuǎn)向了空腔輻射物理學(xué)。

這個(gè)選擇，似乎是絕對安全的選擇。畢竟，空腔輻射的理論物理學(xué)看起來與原子或分子沒有絲毫關(guān)聯(lián)。它關(guān)乎兩個(gè)問題：一個(gè)是麥克斯韋理論中電磁輻射的連續(xù)波的問題；另一個(gè)則是熱力學(xué)的問題，其第二定律使得輻射趨于平衡。普朗克認(rèn)為，如果他能不借助原子論的統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型就闡明平衡的過程，那他就可以摧毀熱平衡力學(xué)描述的基石。

在當(dāng)時(shí)，科學(xué)家對空腔輻射的特性已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)牧私狻＜訜崛魏我粋€(gè)物體到比較高的溫度，它都會(huì)獲取能量并發(fā)出光來。我們把物體加熱后的狀態(tài)稱為“赤熱”或“白熱”。加熱物體的溫度越高，發(fā)出的光就越強(qiáng)烈，頻率也就越高（也就是波長較短）。隨著溫度不斷升高，物體開始呈現(xiàn)出紅色，接著是橘黃，然后是明黃，再然后是亮白。

理論物理學(xué)家通過引進(jìn)“黑體”，將此問題簡單化。黑體是一個(gè)假想的、完全不反射光的（通體黑色）物體，能吸收并發(fā)出光輻射，對任何頻率的輻射都一視同仁，不偏不倚。黑體與周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡時(shí)，它發(fā)出的輻射強(qiáng)度與黑體內(nèi)的能量總量有關(guān)。

理論物理學(xué)家進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)空腔壁吸收效果非常好，且在壁上刺穿一個(gè)小孔（通過這個(gè)小孔，輻射可以進(jìn)出），那么通過研究這個(gè)空腔內(nèi)的輻射，就可以探索黑體的性質(zhì)。早期的空腔輻射實(shí)驗(yàn)，大多使用陶瓷和鉑制的封閉圓柱體，造價(jià)比較高。

1859年到1860年的冬天，德國物理學(xué)家古斯塔夫·基爾霍夫（Gustav Kirchhoff）證明，發(fā)射能量與吸收能量之比，只取決于輻射頻率和空腔內(nèi)部的溫度，與空腔的形狀、空腔壁的形狀，甚至空腔的材質(zhì)，沒有半點(diǎn)關(guān)系。這表明，與輻射本身的物理學(xué)相關(guān)的某些基礎(chǔ)性問題正一步步揭開面紗。基爾霍夫向科學(xué)界發(fā)起了挑戰(zhàn)，看誰能最先發(fā)現(xiàn)這一行為的本質(zhì)。

在此之后，物理學(xué)界取得了諸多進(jìn)展。1896年，德國物理學(xué)家威廉·維恩（Wilhelm Wien）通過研究空腔輻射實(shí)驗(yàn)中發(fā)射出來的紅外輻射（熱輻射），推導(dǎo)出輻射頻率與空腔溫度之間存在一個(gè)相對簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系。維恩定律看起來具有相當(dāng)高的可信度，1897年，漢諾威技術(shù)學(xué)院的弗里德里希·帕邢（Friedrich Paschen）通過實(shí)驗(yàn)，也進(jìn)一步證明了維恩定律。然而在1900年，柏林帝國物理技術(shù)研究所的奧托·盧默（Otto Lummer）和恩斯特·普林斯海姆（Ernst Pringsheim）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻證明，維恩定律在低頻率時(shí)并不適用。很明顯，維恩定律還不是最終的答案。

1889年，普朗克接替基爾霍夫在柏林大學(xué)的職位，并于1892年晉升為正教授。無論怎么看，普朗克都不像一個(gè)科學(xué)革命先鋒。他出身于牧師和教授的家庭，從小受到神學(xué)和法學(xué)的熏陶。在校時(shí)，他學(xué)習(xí)勤勉，英俊優(yōu)雅，但并未顯露出過人的天賦。他自己都覺得自己在物理學(xué)領(lǐng)域沒什么天分，但最終卻在學(xué)術(shù)界脫穎而出，蜚聲國際。此時(shí)，他剛40歲出頭，研究步調(diào)緩慢、沉穩(wěn)而又保守，喜歡科學(xué)的穩(wěn)定性和預(yù)見性，這也反映出包括他在內(nèi)的德國上層階級人士的普遍特點(diǎn)。后來據(jù)他自己說，他是一個(gè)有“和平傾向”的人，拒絕“一切可疑的冒險(xiǎn)”。

普朗克住在柏林郊區(qū)的格呂訥瓦爾德，1900年10月7日，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家海因里希·魯本斯（Heinrich Rubens）拜訪了他，其間跟他談了一些與同事費(fèi)迪南·庫爾鮑姆（Ferdinand Kurlbaum）共同實(shí)驗(yàn)的新成果，他們研究了低頻率的空腔輻射。魯本斯對低頻率輻射特性的描述，讓普朗克陷入了深思。魯本斯離開后，普朗克繼續(xù)埋頭于自己的研究。他對維恩定律做了修正，最后得出的表述適合所有已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而這些修正，大部分都是靠某種靈光一閃的猜測得來的。

普朗克發(fā)現(xiàn)了他的輻射定律。

這一定律需要兩個(gè)基本常數(shù)，第一個(gè)與溫度相關(guān)，第二個(gè)與輻射頻率相關(guān)。第二個(gè)常數(shù)最終用符號h表示，即后人熟知的普朗克常數(shù)。普朗克輻射定律中的這兩個(gè)常數(shù)，當(dāng)與光速和牛頓的引力常數(shù)結(jié)合起來時(shí)，似乎為所有物理量都提供了基礎(chǔ)。關(guān)于這兩個(gè)常數(shù)的作用，普朗克這樣寫道：“物理學(xué)常數(shù)使表述長度、質(zhì)量、時(shí)間和溫度的單位成為可能，它們是獨(dú)立于特定物體或材料的，無論在何時(shí)、何種文化中，甚至對外星人和非人類來說，它們的意義都保持不變，因此可以被稱為是‘基本物理計(jì)量單位’。”

普朗克隨后給魯本斯寄了一張明信片，上面寫了新輻射定律的詳細(xì)內(nèi)容。在1900年10月19日的德國物理學(xué)會(huì)會(huì)議上，普朗克做了報(bào)告，向與會(huì)者介紹了新定律大致的推導(dǎo)過程。他宣稱：“我之所以信心十足地讓大家關(guān)注這個(gè)新方程，是因?yàn)閺碾姶泡椛淅碚摰慕嵌葋碚f，它是除維恩方程之外，最簡單的方程了。”第二天，魯本斯告訴普朗克，他把實(shí)驗(yàn)結(jié)果和新定律做了比較，證明“所有結(jié)果完全與新定律相符”。

似乎普朗克輻射定律就是最終的那個(gè)答案了，至少從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看是如此。此時(shí)，普朗克轉(zhuǎn)移了注意力，他要為該定律找出一個(gè)合適的理論基礎(chǔ)，而這個(gè)任務(wù)讓他經(jīng)歷了“平生最難熬的幾周”。

普朗克把目光放在了電磁場與空腔材料中一組“振子”的相互作用上。這些振子的主要目的是，保證能量通過一個(gè)連續(xù)、動(dòng)態(tài)的吸收與發(fā)射過程，在可能的輻射頻率間保持適當(dāng)?shù)钠胶狻?img alt="最初，普朗克把這些振子稱為“共振器”，但到1909年時(shí)，他接受了共振器并不需要特別屬性的觀點(diǎn)。今天，我們知道這些振子是被高度激發(fā)的電子，存在于組成空腔材料的原子內(nèi)部（大家別忘了，電子的存在被證實(shí)僅僅是在三年之前，即1897年）。" class="qqreader-footnote" src="https://epubservercos.yuewen.com/603E82/16689173104851506/epubprivate/OEBPS/Images/note.png?sign=1756731470-b6FMYaKGZDQ2reF6yVMPF4gp19mPMLqX-0-a8a8f5c8dca51df440eeae6acad53cd8">普朗克精通熵和熱力學(xué)第二定律，他開始用輻射定律，就單個(gè)振子的內(nèi)部能量和振動(dòng)頻率（會(huì)引發(fā)空腔內(nèi)部相同的輻射頻率），推算單個(gè)振子熵的表達(dá)式。就此他得出了振子熵的表達(dá)式，使用這個(gè)表達(dá)方式得出的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致。現(xiàn)在他面臨的問題是從“第一原理”中推算出相似的表達(dá)式，然后比較兩者，得出適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論。

這個(gè)問題正是普朗克所說的“平生最難事”。普朗克估計(jì)試了好幾種不同的方法，但他發(fā)現(xiàn)，他總是不由自主地回到同一個(gè)表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式與他的對手玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)方法很是相像。數(shù)學(xué)正引領(lǐng)他朝著一個(gè)他不想去的方向前進(jìn)。

玻爾茲曼計(jì)算氣體熵的方法是，假定將氣體的總能量看成是一系列的“包”。最低的能量包設(shè)為ε，下一個(gè)為2ε，再下一個(gè)為3ε，以此類推。這樣，能量不同的氣體分子分布在不同的能量包之內(nèi)，能量包中分子可能出現(xiàn)的不同分布方式的數(shù)量也可以計(jì)算出來。在這個(gè)分析中，能量本身保持連續(xù)性的變化。玻爾茲曼的所有工作就是把能量打包起來，然后以此類推從0到ε、從ε到2ε等能量范圍內(nèi)的分子數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出不同的排列組合的數(shù)量。

比如，假設(shè)一種氣體只有3個(gè)分子，3個(gè)分子分別以a、b、c表示。我們假定該氣體的總能量為4ε。把兩個(gè)分子放入最低位的能量包ε，另外一個(gè)放入2ε中，就可以得出這個(gè)結(jié)果。可能會(huì)有幾種排列組合方式呢？只有三種。我們可以把分子a和b放入最低的能量包，把c放入下一個(gè)，用［ab，c］表示。我們也可以把分子a和c放入最低的能量包，把b放入下一個(gè)，用［ac，b］表示。第三種排列組合方式就是［bc，a］。

根據(jù)玻爾茲曼的觀點(diǎn)，氣體最有可能的狀態(tài)，是在可用的能量下，氣體分子排列組合種類最多的那種狀態(tài)，代表了那個(gè)能量下的最大熵值。通過使排列組合可能的最大數(shù)值與能量分布最可能的狀態(tài)相等，就可以相對簡單地計(jì)算出熵本身。

普朗克對抗玻爾茲曼觀點(diǎn)的戰(zhàn)爭至少持續(xù)了三年，且普朗克一直處于失利狀態(tài)。現(xiàn)在，他在這種必然面前繳械投降了。正如他后來解釋的那樣：“從那時(shí)起，也就是從它產(chǎn)生的那一天起，我就埋頭其中，試圖闡明‘新分布律’的真正物理特性，這個(gè)問題讓我不自覺地考慮到熵和概率之間的聯(lián)系，而這正是玻爾茲曼的想法。”

雖然黑體輻射的問題看起來與氣體是否由原子或分子構(gòu)成的問題風(fēng)馬牛不相及，但現(xiàn)在，普朗克向原子論者的統(tǒng)計(jì)方法伸出了手，并將其拿過來用。然而，其中大有玄機(jī)。由于他是先得出結(jié)果，再回頭推算，因此他需要的統(tǒng)計(jì)方法其實(shí)與玻爾茲曼用的方法大相徑庭。

與玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)分布相比，普朗克的統(tǒng)計(jì)分布存在一些細(xì)微的差別。玻爾茲曼檢驗(yàn)的是在多個(gè)能量包中可分辨的分子的排列組合，而普朗克檢驗(yàn)的，卻是空腔構(gòu)成材料的多個(gè)振子中存在的不可分辨的能量（我們繼續(xù)用ε表示）的排列組合。比如，如果我們使用普朗克的方法將能量（4ε）分配到3個(gè)振子上，那么我們會(huì)發(fā)現(xiàn)存在15種排列組合方式。我們可以把所有的能量都放在第一個(gè)振子中，剩余的兩個(gè)都沒有，得出的排列方式為（4ε，0，0）。其他排列方式為（3ε，ε，0），（2ε，ε，ε），（ε，2ε，ε），等等。

此外，普朗克發(fā)現(xiàn)，若要得出他想要的結(jié)果，能量元素必須要與振子頻率直接相關(guān)（由此也與輻射頻率直接相關(guān)），這就是他如今廣為人知的公式ε=hν（能量等于普朗克常數(shù)乘以頻率）。他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，能量元素必須固定為hν的整數(shù)倍。普朗克是循著一條與玻爾茲曼截然不同的路徑，最終得出這些結(jié)論的。

許多年后，普朗克描述了他當(dāng)時(shí)的心中所想：

簡單來說，我當(dāng)時(shí)的做法就是絕地求生。我本性偏好安寧，拒絕一切可疑的冒險(xiǎn)。但那時(shí)候，在輻射與物質(zhì)的平衡問題上，我已經(jīng)斗爭了六年都沒有什么成果（自1894年起），我清楚這個(gè)問題對于物理學(xué)具有最根本的重要性……因此，必須不惜一切代價(jià)，找到一個(gè)理論解釋。

此時(shí)，普朗克心甘情愿且滿懷熱忱地倒向了原子論。1900年12月14日，德國物理學(xué)會(huì)舉行每兩周一次的常規(guī)例會(huì)。下午5點(diǎn)剛過，普朗克就把自己最新推算出來的輻射定律在會(huì)議上做了介紹。他向與會(huì)人員解釋道：“我們由此認(rèn)為，能量是由確定數(shù)量具有相等有限大小的包裹組成的，這點(diǎn)是整個(gè)計(jì)算方法中的最核心之處。”1901年1月，他向《物理年鑒》提交了一篇論文。關(guān)于后來以他名字命名的物理常數(shù)，他是這樣說的：

……由于它的量綱是能量和時(shí)間的乘積，因此我把它稱作基本作用量量子或與能量元素hν相應(yīng)的作用元素。

1900年12月14日是人們公認(rèn)的量子革命開始的日子。實(shí)際上，普朗克此時(shí)還沒有意識到他的公式ε=hν的重要性，但正是這個(gè)公式，動(dòng)搖了經(jīng)典物理學(xué)的結(jié)構(gòu)。

據(jù)說，一次在格呂訥瓦爾德散步時(shí)，普朗克告訴他7歲的兒子埃爾溫，他“覺得自己的發(fā)現(xiàn)可能是第一等的，或許僅次于牛頓的發(fā)現(xiàn)”。但這個(gè)說法的可信度值得懷疑。如果確有此事，那普朗克可能指的是他發(fā)現(xiàn)了輻射定律中第二個(gè)常數(shù)的性質(zhì)——將其稱為玻爾茲曼常數(shù)，用字母k表示——不是指發(fā)現(xiàn)了作用量量子和電磁輻射中的固定能量元素。

普朗克借助統(tǒng)計(jì)過程，將固定的能量元素分配到振子中，并沒有過多考慮這一步會(huì)給物理學(xué)帶來多大改變。如果原子和分子是真實(shí)的實(shí)體——這點(diǎn)普朗克此時(shí)也已準(zhǔn)備接受了，那么在他來，能量本身必定是連續(xù)的，在輻射和物質(zhì)之間不間斷地來回流動(dòng)。但在推導(dǎo)他的輻射定律時(shí)，普朗克不經(jīng)意間引入了能量本身應(yīng)是“量子化”的觀點(diǎn)。這個(gè)觀點(diǎn)貫穿在普朗克的演講、論文中，但表意不清，沒有任何評注，也沒有引起任何關(guān)注。

只有真正的天才才能看到被其他所有人所忽視的內(nèi)容。