第一章 作用量量子

1 平生最難事

柏林

1900年10月

曾有人勸告馬克斯·普朗克，不要在理論物理學上耗費青春了，這個人就是他在慕尼黑大學時的導師。導師忠告他說，隨著熱力學原理的發現，物理學作為一門學科，已經基本完結了。簡單來說，就是已經沒什么可發現的了。

然而，隨著20世紀的臨近，物理學中一些對立理論之間卻存在分歧。熱力學原理強化了人們認為自然是一個和諧流動的流體的設想。能量既不能被創造也不能被毀滅，它在輻射與物質實體之間不間斷地流動，本身就是一種不間斷的連續體。原子論者的觀點則與之對立，立場全然不同。原子論者認為物質不是連續的，而是由離散的原子或分子構成的。他們認為利用統計學方法，通過計算構成物質實體的原子或分子的機械運動，就能得出該物質實體的熱力學屬性。

普朗克精通經典熱力學。原子論者的統計力學模型，從某些方面動搖了他的世界觀，改變了他一生的研究。雖然普朗克也承認物質的原子論的確取得了一些顯著成就，但他依然將其視作“進步的危險敵人”，最終“會因人們傾向于連續性物質的假設而不得不被擯棄”。

1897年，普朗克選擇了“空腔輻射”理論，即我們熟知的“黑體輻射”，把它作為與原子論者立場對立的理論基礎，也把它視為融合力學與熱力學的一方土地。但僅僅三年后，普朗克的發現就逐漸使他倒向了原子論學說。與此同時，他的發現還靜悄悄地埋下了一顆革命的種子，即將顛覆我們對世界的科學認知，而這幾乎可以說是意外的收獲。這場革命的持續影響，即便在一個多世紀之后，依然余威不減。

上述普朗克在原子論學說上遇到的問題，是一種簡單敘述。原子論者通過把熱力學量的計算還原為對原子或分子運動的數據統計，打開了一扇大門，但門內是一些令人不安的結果。在熱力學中，某些無疑不可逆轉的現象，以及不容反駁的自然規律，從統計學角度講，則被認為只是眾多不同選擇中最具可能性的那一種。

對熱力學第二定律的詮釋，是矛盾的關鍵點。這是普朗克1879年的博士論文的主題，也正是對這個問題的研究讓普朗克成為這一領域世界頂級的專家。熱力學第二定律表述為：處于封閉系統中的物質，比如氣體，與外界阻隔了能量的交換，那么隨著系統內的氣體達到熱平衡，被稱為熵的熱力學量將不可避免地自發地增加到最大值。

熵是一個比較抽象的量，人們習慣將它解釋為表示一個系統中的“混亂度”的量。1895年，經普朗克同意后，他的研究助理恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在德國科學雜志《物理年鑒》（Annalen der Physik）上發表了一篇論文，將論戰的矛頭直接指向了原子論者。

舉個例子來說，如果我們在一個密閉的容器中，釋放兩股不同溫度的氣體，那么根據熱力學第二定律，氣體將混合，溫度不斷趨向平衡，混合氣體的熵將逐漸增加到最大值。但是，根據原子論者的觀點，混合氣體的變化是每種氣體中的原子或分子的機械運動造成的，混合氣體的平衡狀態只是其最可能的狀態。而策梅洛則認為，這一點恰恰表明，原則上無法排除一系列能徹底逆轉原子或分子運動的事件存在的可能性。如果這些事件真的發生了，那混合氣體必然會分離，回到兩者最初的溫度，混合氣體的熵會自發減少，這與熱力學第二定律又是完全矛盾的。

原子論者的領袖，奧地利物理學家路德維?！げ柶澛↙udwig Boltzmann）回應道：與對熱力學第二定律普遍認同的詮釋相反，熵并不總是增加，只是在絕大多數情況下增加而已。從統計的角度看，熵值高的狀態數比熵值低的狀態數多得多，這導致系統在更多情況下都處于高熵值的狀態。玻爾茲曼認為，實際上，我們如果等的時間足夠長，最終將會發現那些熵在自發減少的系統。

這個觀點的神奇之處，就相當于聚會上的雞尾酒杯摔碎了還可以自我復原，驚掉在場所有嘉賓的下巴。

對普朗克來說，這一點把對熱力學第二定律的詮釋逼到了崩潰的邊緣。為了找到一個強有力的反駁，擊碎玻爾茲曼的統計學解釋，普朗克把戰場轉向了空腔輻射物理學。

這個選擇，似乎是絕對安全的選擇。畢竟，空腔輻射的理論物理學看起來與原子或分子沒有絲毫關聯。它關乎兩個問題：一個是麥克斯韋理論中電磁輻射的連續波的問題；另一個則是熱力學的問題，其第二定律使得輻射趨于平衡。普朗克認為，如果他能不借助原子論的統計力學模型就闡明平衡的過程，那他就可以摧毀熱平衡力學描述的基石。

在當時，科學家對空腔輻射的特性已經有了相當的了解。加熱任何一個物體到比較高的溫度，它都會獲取能量并發出光來。我們把物體加熱后的狀態稱為“赤熱”或“白熱”。加熱物體的溫度越高，發出的光就越強烈，頻率也就越高（也就是波長較短）。隨著溫度不斷升高，物體開始呈現出紅色，接著是橘黃，然后是明黃，再然后是亮白。

理論物理學家通過引進“黑體”，將此問題簡單化。黑體是一個假想的、完全不反射光的（通體黑色）物體，能吸收并發出光輻射，對任何頻率的輻射都一視同仁，不偏不倚。黑體與周圍環境達到熱平衡時，它發出的輻射強度與黑體內的能量總量有關。

理論物理學家進一步發現，如果一個空腔壁吸收效果非常好，且在壁上刺穿一個小孔（通過這個小孔，輻射可以進出），那么通過研究這個空腔內的輻射，就可以探索黑體的性質。早期的空腔輻射實驗，大多使用陶瓷和鉑制的封閉圓柱體，造價比較高。

1859年到1860年的冬天，德國物理學家古斯塔夫·基爾霍夫（Gustav Kirchhoff）證明，發射能量與吸收能量之比，只取決于輻射頻率和空腔內部的溫度，與空腔的形狀、空腔壁的形狀，甚至空腔的材質，沒有半點關系。這表明，與輻射本身的物理學相關的某些基礎性問題正一步步揭開面紗?；鶢柣舴蛳蚩茖W界發起了挑戰，看誰能最先發現這一行為的本質。

在此之后，物理學界取得了諸多進展。1896年，德國物理學家威廉·維恩（Wilhelm Wien）通過研究空腔輻射實驗中發射出來的紅外輻射（熱輻射），推導出輻射頻率與空腔溫度之間存在一個相對簡單的數學關系。維恩定律看起來具有相當高的可信度，1897年，漢諾威技術學院的弗里德里希·帕邢（Friedrich Paschen）通過實驗，也進一步證明了維恩定律。然而在1900年，柏林帝國物理技術研究所的奧托·盧默（Otto Lummer）和恩斯特·普林斯海姆（Ernst Pringsheim）的實驗結果卻證明，維恩定律在低頻率時并不適用。很明顯，維恩定律還不是最終的答案。

1889年，普朗克接替基爾霍夫在柏林大學的職位，并于1892年晉升為正教授。無論怎么看，普朗克都不像一個科學革命先鋒。他出身于牧師和教授的家庭，從小受到神學和法學的熏陶。在校時，他學習勤勉，英俊優雅，但并未顯露出過人的天賦。他自己都覺得自己在物理學領域沒什么天分，但最終卻在學術界脫穎而出，蜚聲國際。此時，他剛40歲出頭，研究步調緩慢、沉穩而又保守，喜歡科學的穩定性和預見性，這也反映出包括他在內的德國上層階級人士的普遍特點。后來據他自己說，他是一個有“和平傾向”的人，拒絕“一切可疑的冒險”。

普朗克住在柏林郊區的格呂訥瓦爾德，1900年10月7日，實驗物理學家海因里?！敱舅梗℉einrich Rubens）拜訪了他，其間跟他談了一些與同事費迪南·庫爾鮑姆（Ferdinand Kurlbaum）共同實驗的新成果，他們研究了低頻率的空腔輻射。魯本斯對低頻率輻射特性的描述，讓普朗克陷入了深思。魯本斯離開后，普朗克繼續埋頭于自己的研究。他對維恩定律做了修正，最后得出的表述適合所有已知的實驗數據，而這些修正，大部分都是靠某種靈光一閃的猜測得來的。

普朗克發現了他的輻射定律。

這一定律需要兩個基本常數，第一個與溫度相關，第二個與輻射頻率相關。第二個常數最終用符號h表示，即后人熟知的普朗克常數。普朗克輻射定律中的這兩個常數，當與光速和牛頓的引力常數結合起來時，似乎為所有物理量都提供了基礎。關于這兩個常數的作用，普朗克這樣寫道：“物理學常數使表述長度、質量、時間和溫度的單位成為可能，它們是獨立于特定物體或材料的，無論在何時、何種文化中，甚至對外星人和非人類來說，它們的意義都保持不變，因此可以被稱為是‘基本物理計量單位’?！?img alt="Max Planck,Physikalische Abhandlungen und Vortr?e,Volume 1,Vieweg,Braunschweig,1958,p.666.Quoted in Hermann,p.11." class="qqreader-footnote" src="https://epubservercos.yuewen.com/603E82/16689173104851506/epubprivate/OEBPS/Images/note.png?sign=1756734253-jzlQKttjM9HPZbwam8nCySE8C851SaaJ-0-81643af0b6edb29f703e652e8762009a">

普朗克隨后給魯本斯寄了一張明信片，上面寫了新輻射定律的詳細內容。在1900年10月19日的德國物理學會會議上，普朗克做了報告，向與會者介紹了新定律大致的推導過程。他宣稱：“我之所以信心十足地讓大家關注這個新方程，是因為從電磁輻射理論的角度來說，它是除維恩方程之外，最簡單的方程了?！?img alt="Max Planck,Verhandl.Der Deutsche Physikalische Gesellschaft,2,1900,p.202.Quoted in Kuhn,p.97." class="qqreader-footnote" src="https://epubservercos.yuewen.com/603E82/16689173104851506/epubprivate/OEBPS/Images/note.png?sign=1756734253-jzlQKttjM9HPZbwam8nCySE8C851SaaJ-0-81643af0b6edb29f703e652e8762009a">第二天，魯本斯告訴普朗克，他把實驗結果和新定律做了比較，證明“所有結果完全與新定律相符”。

似乎普朗克輻射定律就是最終的那個答案了，至少從實驗結果看是如此。此時，普朗克轉移了注意力，他要為該定律找出一個合適的理論基礎，而這個任務讓他經歷了“平生最難熬的幾周”。

普朗克把目光放在了電磁場與空腔材料中一組“振子”的相互作用上。這些振子的主要目的是，保證能量通過一個連續、動態的吸收與發射過程，在可能的輻射頻率間保持適當的平衡。普朗克精通熵和熱力學第二定律，他開始用輻射定律，就單個振子的內部能量和振動頻率（會引發空腔內部相同的輻射頻率），推算單個振子熵的表達式。就此他得出了振子熵的表達式，使用這個表達方式得出的計算結果與實驗結果完全一致?，F在他面臨的問題是從“第一原理”中推算出相似的表達式，然后比較兩者，得出適當的結論。

這個問題正是普朗克所說的“平生最難事”。普朗克估計試了好幾種不同的方法，但他發現，他總是不由自主地回到同一個表達式，這個表達式與他的對手玻爾茲曼的統計方法很是相像。數學正引領他朝著一個他不想去的方向前進。

玻爾茲曼計算氣體熵的方法是，假定將氣體的總能量看成是一系列的“包”。最低的能量包設為ε，下一個為2ε，再下一個為3ε，以此類推。這樣，能量不同的氣體分子分布在不同的能量包之內，能量包中分子可能出現的不同分布方式的數量也可以計算出來。在這個分析中，能量本身保持連續性的變化。玻爾茲曼的所有工作就是把能量打包起來，然后以此類推從0到ε、從ε到2ε等能量范圍內的分子數，進而計算出不同的排列組合的數量。

比如，假設一種氣體只有3個分子，3個分子分別以a、b、c表示。我們假定該氣體的總能量為4ε。把兩個分子放入最低位的能量包ε，另外一個放入2ε中，就可以得出這個結果。可能會有幾種排列組合方式呢？只有三種。我們可以把分子a和b放入最低的能量包，把c放入下一個，用［ab，c］表示。我們也可以把分子a和c放入最低的能量包，把b放入下一個，用［ac，b］表示。第三種排列組合方式就是［bc，a］。

根據玻爾茲曼的觀點，氣體最有可能的狀態，是在可用的能量下，氣體分子排列組合種類最多的那種狀態，代表了那個能量下的最大熵值。通過使排列組合可能的最大數值與能量分布最可能的狀態相等，就可以相對簡單地計算出熵本身。

普朗克對抗玻爾茲曼觀點的戰爭至少持續了三年，且普朗克一直處于失利狀態。現在，他在這種必然面前繳械投降了。正如他后來解釋的那樣：“從那時起，也就是從它產生的那一天起，我就埋頭其中，試圖闡明‘新分布律’的真正物理特性，這個問題讓我不自覺地考慮到熵和概率之間的聯系，而這正是玻爾茲曼的想法。”

雖然黑體輻射的問題看起來與氣體是否由原子或分子構成的問題風馬牛不相及，但現在，普朗克向原子論者的統計方法伸出了手，并將其拿過來用。然而，其中大有玄機。由于他是先得出結果，再回頭推算，因此他需要的統計方法其實與玻爾茲曼用的方法大相徑庭。

與玻爾茲曼的統計分布相比，普朗克的統計分布存在一些細微的差別。玻爾茲曼檢驗的是在多個能量包中可分辨的分子的排列組合，而普朗克檢驗的，卻是空腔構成材料的多個振子中存在的不可分辨的能量（我們繼續用ε表示）的排列組合。比如，如果我們使用普朗克的方法將能量（4ε）分配到3個振子上，那么我們會發現存在15種排列組合方式。我們可以把所有的能量都放在第一個振子中，剩余的兩個都沒有，得出的排列方式為（4ε，0，0）。其他排列方式為（3ε，ε，0），（2ε，ε，ε），（ε，2ε，ε），等等。

此外，普朗克發現，若要得出他想要的結果，能量元素必須要與振子頻率直接相關（由此也與輻射頻率直接相關），這就是他如今廣為人知的公式ε=hν（能量等于普朗克常數乘以頻率）。他還進一步發現，能量元素必須固定為hν的整數倍。普朗克是循著一條與玻爾茲曼截然不同的路徑，最終得出這些結論的。

許多年后，普朗克描述了他當時的心中所想：

簡單來說，我當時的做法就是絕地求生。我本性偏好安寧，拒絕一切可疑的冒險。但那時候，在輻射與物質的平衡問題上，我已經斗爭了六年都沒有什么成果（自1894年起），我清楚這個問題對于物理學具有最根本的重要性……因此，必須不惜一切代價，找到一個理論解釋。

此時，普朗克心甘情愿且滿懷熱忱地倒向了原子論。1900年12月14日，德國物理學會舉行每兩周一次的常規例會。下午5點剛過，普朗克就把自己最新推算出來的輻射定律在會議上做了介紹。他向與會人員解釋道：“我們由此認為，能量是由確定數量具有相等有限大小的包裹組成的，這點是整個計算方法中的最核心之處。”1901年1月，他向《物理年鑒》提交了一篇論文。關于后來以他名字命名的物理常數，他是這樣說的：

……由于它的量綱是能量和時間的乘積，因此我把它稱作基本作用量量子或與能量元素hν相應的作用元素。

1900年12月14日是人們公認的量子革命開始的日子。實際上，普朗克此時還沒有意識到他的公式ε=hν的重要性，但正是這個公式，動搖了經典物理學的結構。

據說，一次在格呂訥瓦爾德散步時，普朗克告訴他7歲的兒子埃爾溫，他“覺得自己的發現可能是第一等的，或許僅次于牛頓的發現”。但這個說法的可信度值得懷疑。如果確有此事，那普朗克可能指的是他發現了輻射定律中第二個常數的性質——將其稱為玻爾茲曼常數，用字母k表示——不是指發現了作用量量子和電磁輻射中的固定能量元素。

普朗克借助統計過程，將固定的能量元素分配到振子中，并沒有過多考慮這一步會給物理學帶來多大改變。如果原子和分子是真實的實體——這點普朗克此時也已準備接受了，那么在他來，能量本身必定是連續的，在輻射和物質之間不間斷地來回流動。但在推導他的輻射定律時，普朗克不經意間引入了能量本身應是“量子化”的觀點。這個觀點貫穿在普朗克的演講、論文中，但表意不清，沒有任何評注，也沒有引起任何關注。

只有真正的天才才能看到被其他所有人所忽視的內容。