5 瑰麗的內(nèi)部

黑爾戈蘭

1925年6月

雖然玻爾—索末菲規(guī)則取得了成功，但隨著無法解釋的實驗結果越來越多，“舊”的量子理論（人們?nèi)绱朔Q呼它）逐漸開始瓦解。盡管運用這些“臨時”的規(guī)則，人們對最簡單的原子，即氫原子的光譜，“解釋”起來還稍有信心，但對于第二簡單的原子——氦原子，就難以解釋了。當被置于磁場中時，其他某些特殊的原子，如鈉和稀土元素的原子，會呈現(xiàn)出“反常”的光譜。舊量子理論是通過把量子規(guī)則硬塞進經(jīng)典力學框架中而創(chuàng)建的，顯然無法解釋這種效應。

理論出現(xiàn)了問題，并演變成了一種對抗。玻爾不愿意接受愛因斯坦的光量子理論，因此選擇了另一種替代方法，無須使用點狀粒子的概念就能解釋諸如光電效應這樣的現(xiàn)象。然而，他的不情愿也讓他付出了高昂的代價。1924年初，玻爾與荷蘭物理學家亨德里克·克喇末（Hendrik Kramers）和美國物理學家約翰·C.斯萊特（John C.Slater）合作提出了一個理論，放棄了單個原子事件中的動量守恒和能量守恒原則，并提出守恒是統(tǒng)計的平均結果。愛因斯坦勃然大怒。

1925年初至1925年中進行的一些實驗逐漸推翻了玻爾—克喇末—斯萊特（BKS）理論。玻爾曾用他的個人魅力和說服力說服年輕的同行放棄他們更準確的判斷，轉而接受BKS理論。如今他同意宣布這份成果“死得光榮”。現(xiàn)在已別無選擇，唯有接受光量子。

BKS理論的提出表明，物理學界急于找到一種新理論。情況越來越明顯，科學家需要創(chuàng)建一種新的量子理論，需要推翻舊的理論，并“自下而上”地重建一套新的規(guī)則。這個新規(guī)則要不依賴于自身就隱藏著矛盾的經(jīng)典物理學圖景，也就是說不能依賴于帶電的物質(zhì)粒子沿類似行星軌道的軌道繞中心的原子核運動這樣的觀點。

物理學的革命即將到來。

1917年，哥本哈根大學的工作環(huán)境非常局促，無法滿足玻爾對丹麥物理學發(fā)展的期待。他開始了漫長而曲折的努力，最終建立了一所新的理論物理研究所。研究所于1920年建成，1921年揭牌，玻爾直接參與了籌建計劃。20世紀20年代初期，他又從嘉士伯基金會和國際教育委員會（1923年由約翰·D.洛克菲勒創(chuàng)立）籌得了更多的資金，使用這些資金購買科學設備，為學生和訪問學者提供助學金和研究基金，并為研究所的進一步蓬勃發(fā)展創(chuàng)造機會。

一大批懷揣遠大志向的年輕物理學家紛至沓來，叩響了玻爾理論物理研究所新古典風格的大門，與這位大師一道研究原子理論。1924年復活節(jié)期間，一位年輕的德國物理學家來到了丹麥。他不懂丹麥習俗，也不會講丹麥語，但他意識到，自己只需要報出玻爾的大名即可：

……當人們明白我是要去玻爾教授的研究所之后，一切困難都掃清了，所有大門都向我敞開。這個國家國土不大，但人民親切友好，能與玻爾這樣一位偉大人物一起工作，從一開始我就有一種被保護的安全感。

1922年6月，在哥廷根以玻爾的名義舉辦的科學盛宴上，維爾納·海森伯第一次遇到了玻爾。當時他剛20歲，在慕尼黑大學攻讀博士學位，導師是索末菲。玻爾的第三場演講臨近結束之際，海森伯魯莽地站了起來，對玻爾的演講提出批評意見。玻爾略帶遲疑地回應了他。演講結束后，玻爾邀請海森伯一起到附近的海恩山上走一走。玻爾對海森伯說，他完全理解海森伯的疑惑，并邀請這位年輕的物理學家到哥本哈根，做一個學期的研究。

1923年7月，海森伯在慕尼黑完成了博士學業(yè)。當時他年輕氣盛，并且瞧不上實驗物理學，這讓他在答辯的時候吃了虧。由于他推導不出計算顯微鏡分辨本領的公式，因此德高望重的維恩很是失望。最后海森伯雖然通過了答辯，但分數(shù)很低。維恩覺得他太過自負，因此給了低分，不過對于我們這位年輕的博士來說，這是一次有益的經(jīng)歷。

畢業(yè)之后，海森伯離開慕尼黑前往哥廷根，與馬克斯·玻恩共事，希望能獲得大學講師的資格。后來玻恩回憶道：“他就像個單純樸實的鄉(xiāng)下男孩，金色短發(fā)，眼睛干凈明亮，神采奕奕。”在哥廷根，海森伯開始研究一些有關原子的量子理論的問題，這些問題一直困擾著這個領域的物理學家。在這期間，海森伯對研究面臨的困難第一次有了體會。1924年1月，玻爾再次邀請海森伯來哥本哈根，海森伯接受了邀請，并安排在復活節(jié)期間前往丹麥。

海森伯在玻爾理論物理研究所受到了熱情款待，但在那兒的所見所聞讓他有點手足無措，并心生敬畏。作為原子物理學的中心，這里一片熱鬧繁忙的景象，他目睹了“很多聰明的年輕人從世界各地趕來，會聚到這里。每個人都比我厲害得多，不光是在語言能力和待人處事上勝過我，掌握的物理學知識也比我多。”

在哥本哈根待的前幾天里，海森伯都沒怎么見到玻爾。但后來玻爾還是抽出時間，約海森伯去散散長步。他們穿過西蘭島，一直走到克龍堡宮。克龍堡宮歷史悠久，因丹麥最著名（或許純屬虛構）的哈姆雷特王子而聞名遐邇。

來到哥本哈根讓海森伯至少在短期內(nèi)避開了德國的社會和政治動蕩，不用直面生活的波折。1924年2月，阿道夫·希特勒因參與前一年11月份的“啤酒館暴動”而被判處五年監(jiān)禁，但這次宣判卻讓國社黨（納粹黨）取得了宣傳上的勝利。玻爾特別想聽聽這位德國年輕人怎樣看待德國發(fā)生的事件。

“這幾天，我們的報紙總是在告訴我們，德國境內(nèi)發(fā)生了不詳?shù)恼最^，掀起了反猶浪潮，很明顯有煽動者在煽風點火。你有沒有遇到過此類情況？”他問海森伯。玻爾有一半猶太血統(tǒng)。

他的確遇到過，海森伯向玻爾講述了自己的經(jīng)歷。那是在1922年夏，當時愛因斯坦正在萊比錫做廣義相對論的演講。海森伯一直認為科學應該高于政治，但政治變動引發(fā)了慕尼黑的內(nèi)亂。他目睹了學生游行抵制愛因斯坦的“猶太物理學”，而這場游行竟是菲利普·萊納德鼓動的，這一切讓他極為痛心。

海森伯的首次哥本哈根之旅雖然很短暫，卻掀開了日后頻頻來訪并在這里長住的篇章。1924年9月，他重回玻爾理論物理研究所，獲得了嘉士伯基金會和國際教育委員會的資金支持。這次來到這里，他與荷蘭理論物理學家亨德里克·克喇末緊密合作，此時的克喇末已是玻爾的得力助手。

與克喇末的合作讓海森伯確信，如果想推動原子理論的發(fā)展，就必須放棄一些試圖“理解”原子內(nèi)部運作機制的想法。他逐漸發(fā)現(xiàn)，行星模型，即物質(zhì)粒子沿著一系列穩(wěn)定軌道繞中心的原子核旋轉，雖然看起來豐富有料，但無法用數(shù)學分析。作為一種經(jīng)典力學模型，行星模型在加入一些相當任意的量子原則后，其有效期雖然得以延長，但最終將難逃失敗的命運。

而在哥廷根，玻恩在著力發(fā)展一種新的“量子力學”，用以取代經(jīng)典理論對原子內(nèi)部結構的解釋。海森伯已經(jīng)選擇將注意力集中于已有的實驗觀測結果，而非僅僅是猜測。原子光譜中原子秘密的揭開，依賴于單個譜系的頻率和強度（或“亮度”）的精確樣式。海森伯此刻認識到，新的原子量子理論應該只研究這類可觀測到的數(shù)據(jù)，而非無法觀測的、符合隨隨便便的量子原則的力學“軌道”。

在海恩山上，玻爾提到了他們面臨的難題。他說：“這些模型是從實驗中推導得出的，也可以說是猜出來的，而不是依據(jù)理論計算得出的。我希望他們描述電子模型時，應盡可能用，且只用經(jīng)典物理學的描述語言。有一點我們必須清楚，一提到原子，就只能用一種詩意的語言。詩人的關注點也不在描述事實，而是創(chuàng)造意象，建立情感上的聯(lián)系。”

海森伯確信，是時候使用一種新語言了。

1925年4月，海森伯再次回到哥廷根。5月底，他得了嚴重的花粉癥，沒法繼續(xù)工作，因此跟玻恩請了14天假以便休養(yǎng)恢復。6月7日，他來到德國北部海岸的黑爾戈蘭小島，希望北海干凈的空氣能夠讓他盡快痊愈。他的臉部浮腫得厲害，以至于女房東認為他跟別人打架了。

這一段時間海森伯沒有受到任何干擾，因此研究取得了飛速的進展。他一直在致力于研究一種原子理論的方法，在這種方法中，不可觀測的內(nèi)部力學的參數(shù)被可觀測的原子事件的術語所取代——軌道之間的躍遷，被以光譜線的形式呈現(xiàn)出來。他構建一個相當抽象的模型，包括一組諧振子的無窮級數(shù)（稱為傅立葉級數(shù)），每一個諧振子有自己的振幅和頻率。海森伯確定，每一個振子（傅立葉級數(shù)中的每一項）就是一個量子躍遷，從一個量子數(shù)為n的穩(wěn)定軌道躍遷到一個量子數(shù)為m的軌道。得出的結果是一個由符號，或者說傅立葉級數(shù)的項組成的無限大的表。這些項以行和列的形式排列，每一項代表一個量子從初始軌道到終了軌道的躍遷。

接下來，海森伯假設他能夠計算出光譜線的強度（亮度），正是表中項的振幅的平方。比如，量子從狀態(tài)n躍遷到n-2，他發(fā)現(xiàn)，必須把n躍遷到n-1對應項的振幅和從n-1到n-2對應項的振幅兩者相乘。概括說就是，他計算量子躍遷產(chǎn)生的光譜線的強度，是把所有可能的中間躍遷的振幅乘起來并相加。

雖然這個乘法法則看起來簡單易懂，且令人滿意，但是海森伯察覺出里面存在矛盾之處。如果用這一法則來計算兩個不同物理量的乘積（比如x和y），很可能出現(xiàn)這樣的情況：x乘以y的乘積與y乘以x的乘積不相等。海森伯對這類結果毫無經(jīng)驗 ，并深感不安。

到達黑爾戈蘭的時候，海森伯一點都不清楚這一切會帶來什么。他已經(jīng)開始意識到，這個算法可能存在矛盾，尤其關鍵的是，可能無法滿足能量守恒定律。無論提出何種新的原子力學，都必須遵循能量守恒——BKS理論失敗的教訓依然歷歷在目。此刻海森伯要做的就是計算出能量，確定一切都符合能量守恒定律。他一直研究到深夜：

算出第一組項符合能量守恒定律時，我興奮得不得了，竟然開始出現(xiàn)大量的計算錯誤了。終于，當整個計算的最終結果擺在我面前時，已經(jīng)是凌晨三點鐘了。所有的項都符合能量守恒定律，對于我的計算所指向的這種量子力學，其數(shù)學上的一致性和連貫性，我可以不用再懷疑了。起初，我相當震驚。我的感覺就像是正在透過原子現(xiàn)象的表面，窺探一個瑰麗的原子內(nèi)部，但想到此刻，有一大堆數(shù)學結構的性質(zhì)擺在面前必須要去探索，我就感覺頭暈目眩。

海森伯興奮得無法入睡。他悄悄起身，離開住處，在黑夜里走著，攀上小島南端突出的一塊礁石上，等待著觀看日出。

海森伯迫不及待地把計算結果寫下來，給玻恩寄去了一份手稿復本。雖然在黑爾戈蘭時感覺非常興奮，但他依然不確定這個靠直覺得來的方法到底有沒有意義。玻恩在回憶到海森伯向他介紹自己的發(fā)現(xiàn)時說：“他寫了一篇驚世駭俗的論文，但不敢寄出去發(fā)表。我應該先讀一遍，如果我喜歡論文的內(nèi)容，就寄給《物理學雜志》（Zeitschrift für Physik）。”玻恩對海森伯的論文大加贊賞，但對于他在論文中用的乘法法則卻迷惑不解。它看起來挺眼熟。1925年7月10日，玻恩終于想起來了。在學生時代，他曾學過這個乘法法則，這就是矩陣的乘法法則。

矩陣是縱橫排列的數(shù)字組合，呈正方形或長方形。跟普通數(shù)字一樣，矩陣也可以進行加、減、乘、除。在做矩陣乘法時，矩陣中的每個元素必須要按照矩陣乘法的具體規(guī)則相結合，得出最后的積矩陣中對應的各個元素。與普通數(shù)字不同的是，矩陣乘法不遵從乘法的交換律，以x和y為例，x乘以y不等于y乘以x。

玻恩和他的學生帕斯夸爾·約爾旦（Pascual Jordan）一起，把海森伯的計算用矩陣乘法表達出來。他們發(fā)現(xiàn)，這個系統(tǒng)中的能量矩陣是對角化的——矩陣中，除了對角線上的元素，其他均為零這些矩陣與時間無關，代表了系統(tǒng)中穩(wěn)定的量子態(tài)（或軌道）。

他們還發(fā)現(xiàn)海森伯的擔憂不無道理。經(jīng)典物理量的矩陣對應值，如位置和動量是不可交換的。用字母q表示位置矩陣，p表示動量矩陣，他們發(fā)現(xiàn)pq與qp的差（物理學中稱為對易關系）等于-ih/2π，其中i是-1的平方根，h為普朗克常數(shù)。人們再次把經(jīng)典力學（位置的值和動量的值由普通數(shù)字表示，符合交換律）看成是量子力學的極限近似表達，其中假定普朗克常數(shù)h為零。

海森伯聽到回復后非常高興，舒了口氣。“很久之后我才從玻恩那里了解到，這只是矩陣乘法的一種常見情況，在這之前我對這個數(shù)學分支一無所知。”他找到與之相關的基本教材，很快就搞懂了。不久之后，他就與玻恩和約爾旦合作完成了新量子力學的論文，于1925年11月發(fā)表。

海森伯的論文校樣稿傳到了德高望重的英國物理學家拉爾夫·福勒（Ralph Fowler）手里。福勒在劍橋大學任教，他對這篇論文不感興趣，便順手給了自己年輕的學生，23歲的保羅·狄拉克。

狄拉克拿到校樣稿后仔細閱讀了論文，差不多一周后，他完全搞明白了海森伯的研究。此時他開始全力研究這個問題，仔細研究了海森伯的乘法法則和法國理論物理學家西米恩·泊松于1809年發(fā)明的數(shù)學運算之間的類似關系。最終，他獨自完成了位置―動量的對易關系，證明了能量守恒原理，并推導出了穩(wěn)定軌道和輻射頻率之間的關系（最初玻爾所推論存在的關系）。

狄拉克把描述這些結果的論文手稿寄給了海森伯，讓他很沮喪的是，原來玻恩和約爾旦已經(jīng)預測出了他的這個結論。不過海森伯對他贊不絕口：“……一方面，你的結果，尤其考慮到了微商的一般定義，以及量子條件與泊松括號的關系，比玻恩和約爾旦的研究要深入得多；另一方面，比起我們這邊，你的論文也寫得非常好，公式也更精確。”

此時此刻，新的量子革命已經(jīng)勢不可當。一個真正的量子力學開始建立了，但也伴隨著前所未有的數(shù)學上的抽象概念。海森伯的方法，經(jīng)過玻恩和約爾旦的進一步細化，逐漸為人熟知，被稱作矩陣力學（海森伯不喜歡這個名字，因為聽起來特別像數(shù)學研究）。

但是，新理論并不投合所有人的胃口。要想取代“舊”量子理論，新量子力學必須展現(xiàn)出它的力量：但凡舊理論能做的，它也能做，至少，它必須預測出氫原子的發(fā)射光譜。它要面臨的挑戰(zhàn)將會層出不窮。