6 自旋的電子

萊頓

1925年11月

新量子力學并沒有受到所有人的追捧，畢竟它太抽象，有無限維度的數字表格，以及晦澀難懂的乘法法則。玻爾對此滿懷激情，愛因斯坦則不然。

在計算氫的發射光譜時，物理學界開始運用新方法，但問題是“反常”塞曼效應依然擺在新量子物理學家的面前，時不時地戲弄新的量子物理學家的理解力。通過引進第三個（磁）量子數m，“正常”塞曼效應很好地與舊量子理論相容，但反常效應依然頑固，毫不讓步。一天，年輕的奧地利物理學家沃爾夫岡·泡利在街上走著，有人攔住他，問他為何不開心，他答道：“一個人在思考反常塞曼效應時，怎么可能開心呢？”

1920年，為了解決多電子原子光譜線分布的性質和亮度的分類問題，索末菲引入了第四個量子數，他稱作“內量子數”，即j，以及一條新的選擇定則。如果說前三個量子數是參考原子內部運行機制的經典概念模型而來，那么這第四個量子數完全是為了達到這個目的特意設定的。索末菲認為多電子的原子，其運動是復雜的，有種“隱旋轉”的特征。1921年，圖賓根大學的德國光譜學家阿爾弗雷德·朗德（Alfred Lande）提出一種觀點，認為量子數m和j可以取半整數值。兩年后他提出，具有多個電子的“內核”和單個外層，即“價”電子的原子，其隱旋轉應該與內層核電子相關。

相對來說，朗德的方法是成功的，但依然充滿困惑，讓人費解。雪上加霜的是，1922年德國物理學家奧托·斯特恩（Otto Stern）和瓦爾特·蓋拉赫（Walther Gerlach）研究了磁場對一束銀原子的影響（銀原子束是通過加熱的爐子發射產生的）。斯特恩一直在尋找玻爾—索末菲理論預言的空間量子化的證據，當他發現銀原子束的確被磁場分成兩個部分時，就以為已經找到了證據。但其他人，包括愛因斯坦在內，確信他們并沒有找到，但也對這些結果迷惑不解。

解釋到來的那天，便是舊量子理論最后的歡呼。

1918年秋，泡利來到慕尼黑。這位被物理學界譽為愛因斯坦的相對論研究方面的神童，以區區18歲的年齡，加入了索末菲的研究團隊。針對廣義相對論，他寫了一篇評論文章，并在幾年后發表，愛因斯坦如是評價：“任何研究過這一成熟而重要的作品的人，都會覺得難以相信，其作者只是一個21歲的年輕人。”著名物理學家、哲學家恩斯特·馬赫（Ernst Mach）是泡利的教父。

在慕尼黑，索末菲推薦泡利研究錯綜復雜的原子理論，以及舊量子理論的“數字游戲”和選擇定則。1921年，泡利拿到了博士學位，前往哥廷根大學與玻恩一起工作，不久后就去了漢堡大學。與海森伯一樣，泡利也是在1922年節假日期間在哥廷根首次認識玻爾的，并深深地被玻爾的品格、智慧和眼光折服。玻爾邀請他來哥本哈根，他在那兒待了一年后，于1923年返回漢堡。

也是在哥本哈根期間，泡利開始埋頭努力解決反常塞曼效應的難題。困難可想而知，每隔一段時間，他就會感覺非常痛苦和絕望。雖然他有能力對索末菲和朗德的提議做出一些改進，但對理論上所包含的“特設”的性質很不喜歡。他要尋找某種更根本性的東西。

1924年底，泡利回到漢堡，把精力放在了劍橋物理學家埃德蒙·斯通納（Edmund Stoner）的研究上。在他的著作《原子結構及其光譜》（Atombau und Spektrallinien）第四版的序言中，索末菲對斯通納的研究有相關描述。斯通納論文的第一稿發表在1924年10月的英國期刊《哲學雜志》（Philosophical Magazine）上，論文中他提出了描述量子數與電子“殼層”概念之間關系的方案，電子“殼層”是指以原子核為中心，一層一層嵌套的“殼”，類似于俄羅斯套娃。每層“殼”的能量取決于主量子數n。每一層殼可能的狀態或“軌道”數，取決于給定值n時量子數k和m可以取的值。

按照規則，k必須為大于零且小于或等于n的整數，m則可以取-（k-1），-（k-2）……，0，……，（k-2），（k-1），一共有2k-1種選擇。因此，當n=1時，k和m唯一可能的值分別為k=1和m=0。這就表明，只存在一個狀態或軌道。按照規則，當n=2時，會對應4個不同的軌道；當n=3時，軌道數為9。也就是說，可能的軌道數為n²。

但體現在元素周期表中，情況又稍有不同。德國物理學家瓦爾特·柯塞爾（Walther Kossel）早前曾提出，如果假設惰性氣體（如氦、氖、氬、氪）的原子具有填滿的或“封閉的”殼層，那么根據玻爾的原子理論，惰性氣體具有驚人的穩定性和惰性就可以理解了。繼而，元素周期表可以理解為電子殼層占有率不斷遞增的表格。也就是說，首先是兩個電子（氫、氦），其次是8個電子（從鋰到氖），接著還是8個電子（從鈉到氬），然后是18個電子（從鉀到氪），電子數按殼層序列遞增，直至每一個殼層都被填滿或封閉。

斯通納的研究更進一步。每一個軌道上，他不是安排一個電子，而是兩個：“在采用的分類中，其顯著特征是，每一個被填滿的能級的電子數等于分配的內部量子數之和的兩倍……”斯通納認為，在n²個軌道中，應該具有2n²個電子。當n=1時，只有一個軌道，也就意味著總共有兩個電子占據該軌道；n=2時，存在4個軌道，也就意味著具有8個電子；n=3時，軌道為9個，電子數為18個。

泡利根據事實進行了推斷。他認為朗德的模型把“隱旋轉”歸因于多電子原子的內層電子是錯誤的，盡管這個模型看起來相當成功。斯通納提出，把每個軌道（每個殼層）上的電子數增加一倍。根據泡利的推斷，這需要把第四個量子數歸到每一個單個的電子上，而非內層電子上。由此他得出了一個啟發性的結論：電子必須有一個古怪的、非經典的“雙值性”，其特點是擁有半整數的量子數。此外還有一點，原子的殼層結構和元素周期表表明，每個軌道能夠且僅能容納兩個電子。泡利寫道：

原子不可能具有兩個或兩個以上相同的電子，也就是說，不存在兩個在強場中的電子，所有量子數的值……都相同。如果一個原子中存在一個電子，其量子數（在外場中）具有確定的值，那么這個狀態就被“占據”了。

這就是泡利的不相容原理（exclusion principle）。根據不相容原理，原子的每一個電子，都具有不同的4個量子數組合。舉例來說，一個處于n=1，k=1，m=0，j=+1/2狀態的電子，只能進入j=-1/2的電子（n、k和m均相同）的軌道。j的其他取值都不可以，所以一個軌道僅能容納兩個電子。

對于這個規則，泡利提不出任何正式的解釋，而且也沒有可替代的選擇，只能表述說，它好像“自然而然地就顯示出了這種性質”。1924年12月，他給在哥本哈根的玻爾和海森伯寄了一份論文手稿復本，海森伯給他的回復雖熱情洋溢，卻也尖酸刻薄：

看到你的論文，我應該是最開心的一個，不僅因為你把這個騙局推到了一個難以想象、令人眼花繚亂的高度（引入具有4個自由度的單個電子的概念），對我的侮辱也由此打破了新紀錄，而且我還要慶賀一下，最終你也（布魯圖斯，連你也！）在形式主義空談者的面前低下了頭顱……

雖然在迄今仍不明確的原子的量子力學中，它的起源仍然模糊不清，但泡利的不相容原理解釋了多電子原子的一個重要性質，即多電子原子畢竟是真實存在的。之前的原子理論，對于多電子原子的所有電子為何最后沒有坍縮到能量值最低的軌道上，一直給不出什么解釋。

對于電中性的原子，電子數的增加意味著原子核正電荷總量也在增加。核的電荷數越大，電子受到原子核的吸引力也就越大，因此最內軌道的半徑就越小。現在我們也許會認為，不斷擁擠的電子之間產生的排斥力會阻止原子坍縮形成更小的軌道，因此也就不會坍縮到更小的體積。然而很容易發現，隨著中心核電荷的增加，電子間的排斥力無法阻止重原子體積的急劇縮小，因為相鄰電子之間的排斥力不足以抗衡原子核對電子的吸引力。從原子質量和元素密度可以計算出原子體積，原子體積會因原子電荷的變化產生復雜的變化，但不會隨著電荷增加而產生系統性的縮小。

通過防止電子坍縮或凝聚進最低能量的軌道，不相容原理允許復雜的多電子原子以周期表描述的模式存在。不相容原理允許世界上存在數不清的元素種類，多種多樣的化學組合，乃至所有的物質實體，包括生物和非生物。這是非常了不起的成就。

但是，問題依然存在，為什么每個軌道僅能容納兩個電子呢？

年輕的美國物理學家拉爾夫·克勒尼希（Ralph de Laer Kronig）認為，這是因為電子的“雙值性”與自旋有關。1904年，克勒尼希出生于德國德累斯頓，父母都是美國人。1925年1月，他在美國紐約的哥倫比亞大學完成博士學位并回到了德國。他回德國后開始與朗德共事。

1924年12月底，泡利給朗德寄了張明信片，表達了希望在1月9日訪問圖賓根的想法。他很想跟朗德探討不相容原理，并試圖從朗德收集到的大量數據中尋找一些光譜學數據，或許能夠反駁不相容原理。

朗德把泡利關于不相容原理的信給他的美國新助理看了。第四個量子數在單個電子上的應用讓克勒尼希感到震驚，他立即就想到了一種可能的解釋。索末菲已經把第四個量子數歸為“隱旋轉”，假如這個旋轉實際上就是單個電子的自旋會怎樣呢？如果電子繞自己的軸自旋（就像地球在繞太陽公轉的軌道上自轉一樣），那么就會產生一個小的局部磁場。一個原子中電子的性能就像一個微小的條形磁鐵，它將會具有一個磁矩，與所在的外磁場產生的力線一致或相反，并產生兩種不同的能量狀態，以分裂的光譜線的形式表現出來。

如果不存在兩種能量狀態，那么電子就只有一種狀態，光譜中就只應該有一條線。根據克勒尼希的計算結果，電子自旋的角動量需要具有固定值1/2?，其中?是普朗克常數h除以2π的簡寫。此外，他還證明了磁矩和角動量之比取決于與自旋相關的一個特征因子，即大家熟知的電子的朗德“g因子”，它的值必須為2。這就相當奇怪了，因為經典力學預言，電子軌道磁矩與軌道角動量的比為1。

此外還存在一個問題。從克勒尼希快速推導出的表達式中，他計算出的光譜線的分離程度是實驗觀察到的兩倍。這與假設的g=2無關，因為這個假設是用來解釋另外的實驗觀察結果的。電子自旋能解決朗德核心模型三個問題中的兩個，但卻無法解決所有問題。

第二天，克勒尼希去火車站接泡利：

也不知為什么，我之前想象中的他（泡利）年紀比較大，還留著胡子。他長得跟我想的非常不一樣，但隨即我就感受到了從他身上散發出來的氣場，令人著迷又有些局促不安。在朗德的研究所，討論很快就開始了，我也有機會發表我的觀點。泡利評價說：“Das ist ja einganz witziger Einfall（你的觀點確實很睿智）。”但他不認為這與實際情況有什么關系。

作為理論物理學家，泡利天賦異稟，但同樣也以尖酸刻薄著稱。對于克勒尼希提出的觀點，他完全予以否定。后來克勒尼希又與玻爾、克喇末和海森伯交流，他們也同樣否定了他的觀點。不管怎樣，預測結果和實驗觀察結果之間存在的兩個不一致，讓克勒尼希深感困擾，而且一個旋轉的帶電球體，其赤道的運轉速度需要快過光速的十倍，這一點與愛因斯坦的狹義相對論是不相容的。因為這些原因，后來克勒尼希就放棄了他的觀點。

在物理學領域，十個月算很長了。在荷蘭萊頓，兩位年輕的荷蘭物理學家塞繆爾·古德斯米特（Samuel Goudsmit）和喬治·烏倫貝克（George Uhlenbeck）獨立得出了與克勒尼希相同的結論，物理學界對他們觀點的態度倒是比較溫和。他們在論文中的總結支持了電子圍繞自身旋轉的學說，這篇論文投給了德國期刊《自然科學》（Naturwissenschaften）。論文提交后，他們與令人敬重的物理學家亨德里克·洛倫茲進行了交流。洛倫茲告訴古德斯米特和烏倫貝克，在經典電子理論中，他們的觀點幾乎是不可行的。二人擔心自己犯了大錯，急急忙忙地要在發表之前把論文撤回，但已經為時太晚了。

1925年11月，論文發表了。剛開始，論文引起了類似當初對克勒尼希觀點的擔心。1925年12月，泡利和斯特恩去火車站接玻爾，并詢問他對兩位荷蘭物理學家的觀點作何評價。雖然玻爾說了類似觀點很有趣的話，但話中有話，暗示他覺得觀點可能不對。抵達萊頓后，玻爾見到了愛因斯坦和奧地利物理學家保羅·埃倫費斯特，他們也問了相同的問題。當聽到愛因斯坦解釋說，自己提出的某些反對觀點是可以解決時，玻爾的態度開始有所改變了。

玻爾隨后從萊頓前往哥廷根，海森伯和約爾旦又問了他同樣的問題。這次玻爾熱情滿滿，而海森伯隱約想起，似乎之前聽說過類似的觀點。在回哥本哈根的路上，玻爾乘坐的火車經停柏林，他在那兒碰到了剛從漢堡回來的泡利。泡利又專門提到電子圍繞自身的旋轉，問玻爾是怎么想的。此時，玻爾說這是一個重大的進展。在原子物理學的領域中，一個帶電物體自旋的經典圖景是沒有意義的，對于這一點，泡利仍然無法接受，將它稱為“又一個哥本哈根邪說”。

但玻爾已然成為電子圍繞自身旋轉學說強有力的支持者，而且他或許是第一個使用“電子自旋”這一術語的人。這個術語被沿用了下來，盡管在量子理論中的含義與在經典詮釋中的含義已相去甚遠。隨著它越來越為人接受，有一點也就越來越清楚：泡利（以及玻爾、克喇末和海森伯）當時讓克勒尼希打消進一步研究自己提出的觀點的念頭，也就讓他失去了成為電子自旋“發現者”的機會。雖然克勒尼希一般情況下總是淡然地對待這件事兒，但也禁不住會感到些許苦澀，他后來在給玻爾的信中寫道：“有的物理學家嘴上說著歡迎多樣性，但對自己的觀點總是那么固執地肯定，內心膨脹。要不是想批評一下這種現象，我就不會跟他（克喇末）提這件事兒了。”

不出玻爾所料，導致光譜線分裂的預測和觀察之間不一致的神秘影響因素，得到了令人滿意的解決。英國物理學家盧埃林·希樂斯·托馬斯（Llewellyn Hilleth Thomas）隨后證明，把問題重置于恰當的電子靜止參照系中，將改變譜線分裂的表達式，原表達式中g的取值不再是g=1，取g=2將使預測的分裂值減半。

保羅·狄拉克隨后提出，如果電子能被看作擁有兩個可能的“自旋”方向，那么，這或許就能解釋為什么每個電子軌道僅能容納兩個電子的問題。兩個電子的自旋方向必須要剛好相反，才能在一個軌道中“安身”。一個軌道最多能夠容納兩個自旋方向配對的電子。

這是個相當大的進展，但依然存在相當多的謎團。原則上說，一個經典的自旋物體，不會被限制在與磁矩方向一致或相反的兩個位置。這種限制是以某種方式由電子的量子性質決定的，這樣解釋才算合理。

尚不清楚的只是，這種限制是如何實現的。