4　從畢達哥拉斯到微積分

數學王子高斯有一句名言“數學是科學的皇后”，17世紀英國哲學家弗朗西斯·培根也說過“數學是打開科學大門的鑰匙”。可見數學對科學的重要性。下面我們就來探求一下，數學與科學的淵源到底有多深，數學是如何當上“皇后”的。

畢達哥拉斯之打鐵聲啟發靈感

古希臘科學家們尋求萬物的本源，泰勒斯認為本源是水，他的門徒們中，有人認為是“無形”，有人認為是氣。赫拉克利特則說是火，畢達哥拉斯的觀點最為奇特，他認為萬物之本源是“數”。

畢達哥拉斯生于現屬希臘的薩摩斯島，離現屬土耳其的米利都很近。據說畢達哥拉斯是米利都學派阿那克西曼德的學生，也曾直接受到泰勒斯的影響。這位古希臘的哲學老祖宗建議他前往埃及。后來，畢達哥拉斯不但旅居埃及，還去各地漫游，傳說也曾到過印度，受到各方文化的影響，最終形成了他的“萬物皆數”的觀點，他對數字的喜愛和崇拜幾乎到了走火入魔的地步，他創立的畢達哥拉斯學派把數的作用發揮到了極致，堪稱“拜數字教”。

畢達哥拉斯發現了“畢達哥拉斯定理”，即“勾股定理”。古代巴比倫人和中國人都在更早的年代知道了勾股數，例如，公元前18世紀的巴比倫石板上，就已經記錄了各種勾股數組，最大的是“18 541，12 709，13 500”，即：18 541²-12 709²=182 250 000=13 500²。之后中國的算經、印度與阿拉伯的數學書中，也均有所記載。但發現了勾股數，還不等于發現了勾股定理。作為普遍定理的發現，人們認為應當歸功于畢達哥拉斯，而勾股定理的證明，則始于畢達哥拉斯，再由后來的歐幾里得給出了清晰完整的證明。畢達哥拉斯學派還研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割比例（1∶0.618）。

畢達哥拉斯本人不僅是杰出的哲學家和數學家，對音樂也造詣頗深。

傳說畢達哥拉斯有一天走在街上，被鐵匠鋪此起彼落、悅耳而和諧的打鐵聲所吸引，駐足聆聽數日，由此而啟發了靈感并進行研究。畢達哥拉斯光顧鐵匠鋪，對大小（質量）不同的鐵錘發出的不同頻率的聲音進行觀察和實驗，發現了鐵匠打鐵的節奏遵循簡單的比例規律，也就是如今音樂中稱之為“和聲”的規律。畢達哥拉斯繼而萌生了宇宙中萬物都遵循某種簡單規律而互相“和諧”的概念，他認為，我們周圍物體，包括地球、太陽及其他天體，一切運動和變化都是由一定的、永恒的數學規律控制的。所以，畢達哥拉斯學派認為，世間萬物來源于“數”，數字的組合造就了物體運動的秩序，神圣而完美的幾何圖形（例如圓形和球形）是構成天體形狀的最佳選擇。將這個概念應用到我們腳下的土地上，畢達哥拉斯第一次提出大地是球體這一概念。

從鐵匠鋪得到靈感之后，畢達哥拉斯又迷上了琴弦振動規律的研究，很快地發現了琴弦定律，即“在給定張力作用下，一根給定弦的頻率與其長度成反比”：

式中，f為頻率，L為長度。

你可能看不上琴弦定律給出的這個簡單公式，但如果你想想，畢達哥拉斯比我們早了2500多年，與你所具有的知識之豐富當然不能同日而語。如果將畢達哥拉斯的工作與他的前輩泰勒斯等米利都人比較，已經前進了一大步。畢達哥拉斯學派不僅僅滿足于尋求萬物的本源，而是將自然界運行的規律作為探求的目標。更為難能可貴的是，上述琴弦定律，將物理現象之規律用數學公式表達出來，開創了物理與數學結合的先例。

由此可見，畢達哥拉斯的琴弦定律，堪稱一個里程碑式的公式，難怪俄裔美籍物理學家喬治·伽莫夫贊揚畢達哥拉斯這個定律，是理論物理學發展的第一步！因為它首次把物理規律用數學公式描述了出來，或者說，是物理系統的第一個數學模型。

畢達哥拉斯的思想深深地影響了柏拉圖，以及一大批后來的古希臘哲學家和科學家。畢達哥拉斯為古希臘科學的種子注入了數學的基因，是促使科學和數學聯姻的第一人。

無理數在悲劇中誕生

畢達哥拉斯當時認為是世界本源的“數”，指的是整數和分數。畢達哥拉斯認為“1是所有數的生成元”，但是，1只能生成整數，顯然還存在不是整數的數，這是很容易理解的。比如說，當你對木棍長度進行測量時，無論你以什么樣的“尺子”作為“1”（單位），總會有木棍的長度無法用整數表示出來。于是，畢達哥拉斯說：那沒有問題，不能用整數表示，那就用分數表示呀。分數不就是兩個整數的比值嗎？產生了兩個整數，就能產生分數，就能產生任何比例。總而言之，這位古希臘的數學教皇認為：“宇宙的一切都歸結于整數和整數之比”，整數和分數能解釋一切自然現象，充分體現了自然規律的數學之美。畢達哥拉斯學派認為，兩條幾何線段長度之間的比值，其結果必然是整數之比。他們說，如果兩根木棍的長度互相不是倍數的話，那么就會存在第三根木棍，用它做尺子，就能同時測量這兩根木棍而得到兩個整數m和n。畢達哥拉斯學派稱這個性質為兩個長度的“可通約性”。實際上就是說，兩木棍的長度之比a=m/n，是一個整數或分數（有理數）。出于他們對宇宙萬物和諧美的崇拜，他們認為任何兩條線段都是可通約的。

上文中我們曾經說到，畢達哥拉斯發現了以其命名的畢達哥拉斯定理的一般形式。如果應用此定理到兩個直角邊為1的等腰直角三角形（圖1-4-1），其斜邊的長度是多少呢？根據畢達哥拉斯定理，這個長度的平方等于2。顯然，我們不可能找到一個滿足條件的整數，但是，是否能夠找到一個分數適合該條件呢？這個課題引起了畢達哥拉斯一個學生希帕索斯的興趣并進行了深入研究。

假設2的平方根為a，那么，它可以寫成一個分數a=m/n嗎？根據畢達哥拉斯的理論，答案是肯定的，因為除了整數分數，沒有其他的數。因此，希帕索斯開始時信心滿滿，下定決心一定要把結果找出來。他折騰了很長時間，用不同的整數對（m, n）試來試去，最終卻一無所獲。試驗失敗令希帕索斯對a這個數的性質產生了懷疑，2的平方根好像不可能表示成一個分數！

于是，希帕索斯想到了使用反證法，也就是說，首先假設a是一個分數，然后看看是否會得到不合理的結果。例如，假設a=m/n中的m、n是化為最簡分數比后的整數，即m、n互質，根據勾股定理，1²+1²=a²=（m/n）²=2，化簡后為m²=2n²，從這個算式可以看出，m²是偶數，那么m也是偶數，因為m、n互質，所以我們得到第一個結論：n應該是奇數。

然后，因為m是偶數，所以可以表示為m=2b（b是自然數），代入m²=2n²中，得4b²=2n²，或n²=2b²。那么便可得到，n²是偶數，n也一定是偶數。這個結果與第一個結論“n應該是奇數”矛盾！

所以，希帕索斯用畢達哥拉斯學派經常使用的反證法，證明了不能表示成兩個整數之比。2的平方根既不是整數，也不是分數，那它是一個什么數呢？希帕索斯為發現了一種新類型的數而興奮，卻使老師驚慌不已，因為這個發現讓畢達哥拉斯感覺自己原來宣揚的“萬物皆數”的理論似乎失去了根基而岌岌可危，于是，他便將希帕索斯囚禁起來，最終甚至下令將這個“叛逆學生”丟進大海淹死了。（注：歷史上對希帕索斯的死因有不同的說法。）

盡管這是個數學史上的悲劇，但結果導致了無理數的發現，并且引發了所謂的“第一次數學危機”。后來（公元前370年左右），仍然是畢達哥拉斯學派的一個弟子——歐多克索斯，將“可通約”的概念擴展到“不可通約”，為無理數找到了存在的基礎，暫時解決了這個矛盾。

無理數的發現過程，使古希臘科學家明白經驗的局限性，只有嚴密的推理和證明，才能確保理論的可靠。不過，與此同時，無理數讓希臘數學家“心生畏懼”，認為這種數只有幾何才能描述，并因此限制了古希臘代數學的發展，幾何學的地位被提升，此后的歐幾里得的幾何公理體系便是建立在這些思想認識的基礎上，也使古希臘科學家走向了邏輯論證之路，成為科學之先驅者。

也可以說，發現無理數的“悲劇”，對科學的發展有著不可磨滅的貢獻。體現了數學對科學極其重要的作用，沒有數學的發展，現代科學的進步是不可能的。

數字的概念原本是從人類的生活和生產活動開始的。人類為了更好地生存，發展了農耕文化，他們需要記錄日期和季節，計算谷物數和家禽數，還需要度量長度、面積、體積等。隨著文明的發達，整數和分數的概念都毫無困難、順理成章地發展起來。例如在上文例子中所說的，為了測量兩根木棍的長度，人們可以建立起整數及分數的概念。但是，僅僅憑著這種物理測量的實踐活動，無論你的測量技術達到多么的精確，也不可能產生出類似的這種“無理數”的概念來。“無理數”概念的建立，完全不同于有理數，它需要數學的抽象、思維的升華，包含著“無窮”“極限”等概念。數學家柯西說過：“無理數是有理數序列的極限”。這也就是數學對科學的作用之關鍵所在。看起來，科學的這位數學“皇后”真不簡單！甚至可以說，數學思維高于科學，數學自身可以靠邏輯發展，而科學不行，數學是科學不可或缺的一部分。

微積分是數學上的偉大創造，對科學發展異常重要。人類最終發明了微積分，也算是思維發展過程中的一個奇跡。微積分的發展過程基本有三步：極限的概念、求積的方法、微積分思想。前兩步的發展歷史都可遠遠追溯到2000多年前的古代，最后一步，微分積分思想之統一，兩者互逆關系的建立，則要歸于17世紀牛頓和萊布尼茨兩位科學家的功勞。

古代的極限概念

極限是微積分學中最初的也是最重要的核心概念。古希臘時代，芝諾提出的幾個著名悖論，首先揭示了無限和連續等概念所引起的人類認識上的困惑，也為極限思想的萌芽。

大約比芝諾晚100年，中國春秋戰國時代的莊子提出“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，可以說這句話已經包含了現代數學中無限數列收斂的概念。“萬世不竭”，說明序列是無窮的，但加起來仍然只是“一尺之棰”，說明了該無窮級數的收斂性。

雖然極限和無窮的思想在古希臘和古中國都已經萌芽，但理論的完善卻是到了19世紀的事，得歸功于法國數學家柯西和德國數學家魏爾斯特拉斯的卓越工作。并且，直到現在，數學家們對與極限相關的“實無窮、潛無窮”概念，仍然有所爭執，可見極限概念的深奧，以及“無窮”在人類思想進展中造成的混淆。剖析一下芝諾悖論的歷史，可加深對極限概念發展和完善過程的理解。

有關阿基里斯與烏龜的悖論，芝諾說：如果烏龜一開始就以（1m）領先于跑得最快（比如：比烏龜快1倍）的阿基里斯，那么阿基里斯永遠也追不上烏龜。為什么呢？因為要想追到烏龜，阿基里斯必須先到達烏龜所在的（1m）處；而等阿基里斯到了1m之后烏龜已經又前進了一段距離（1/2m）。然后，阿基里斯到了1/2m后烏龜又前進了1/4m……如此無限地進行下去，阿基里斯和烏龜之間永遠保持一段距離。

正如羅素所說，這個悖論為有關時間、空間、無限大、無限小的理論研究提供了豐富的土壤。在試圖給這些出人意料的結論以合理解釋的過程中，極限及無窮的概念被深入研究下去，理論也因此逐步發展起來。

亞里士多德的解釋是：追趕者與被追者的距離將越來越小，所需的時間也越來越少，無限個越來越小的數加起來的和是有限的，所以阿基里斯可以在有限的時間內追上烏龜。阿基米德更進一步，使用類似現在對幾何級數求和的方法，證明了上例中的距離之和1+1/2+1/4+1/8+…或者對應的時間之和，是一個有限值。

具有現代數學知識的讀者，一眼就看出上一段中兩位古希臘學者的解釋是不嚴謹的。以上的結論是建立在遞減幾何級數收斂的基礎上。如果對于級數不收斂的情況，他們的解釋便不能成立。例如，對不收斂的調和級數，可以這樣敘述芝諾悖論：

阿基里斯始終比烏龜跑得快，但二者的速度不是固定的，按如下規律變化：烏龜開始時領先1m，之后，阿基里斯走完這1m，烏龜前進1/2m；阿基里斯再走完這1/2m，烏龜前進1/3m；阿基里斯到1/3m后烏龜又前進1/4m……如此無限地進行下去，阿基里斯和烏龜之間永遠保持一段距離1/nm。并且，雖然調和級數1+1/2+1/3+1/4+…的每一項都遞減，可是它的和卻是發散的。所以，總時間也是發散的，結果為無窮大，即阿基里斯追上烏龜的時間為無限大，因此，他不可能在有限的時間內追上烏龜。

也就是說，在如上的調和級數情況下，盡管阿基里斯總是比烏龜快，但就是永遠追不上烏龜。不過，這種情形下，無“悖論”可言。所以，我們將它排除在芝諾悖論的范圍以外不予考慮，仍然只研究收斂級數的情形。

如果僅限于收斂級數的話，芝諾悖論是否就已經被完美解決了呢？某些數學家和邏輯學家認為并非如此。因為根據他們對無限的理解，無限不是一個存在的實體，只是一個不斷逼近卻永遠完成不了的過程，因為這個過程完成不了，阿基里斯便不可能到達那個極值點，既然路線中有某個點永遠都到不了，又如何可以追上烏龜呢？芝諾悖論仍然是“悖論”！

以上述方式理解無限的觀點，被稱為“潛無窮”；反之，將無限作為實體，便是“實無窮”。兩種觀點的爭論從古希臘一直持續至今。

曾經看到有人舉一個通俗例子來理解兩者的區別，不一定準確，但寫在下面給諸位作參考。幼兒園兩個孩童拌嘴爭執比較誰的財富更多：“我有100塊”“我有1000塊”“我有10 000塊”，最后，一個孩子想出另一種說法：“不管你有多少，我永遠比你多1塊！”，這個似乎包含了某種永遠達不到的潛無窮思想。

無窮的觀點之“實”“潛”之分，從古希臘、古中國就開始了。例如，中國的惠施曾說“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一。”，意思是“無窮大之外別無他物，無窮小之內不可再分”，這是一種實無窮的觀點。而“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”中的“萬世不竭”，又顯然是“永遠不會完”的潛無窮觀點。

后來的數學大師們也有不同的觀點。高斯認為無窮只是潛在的，堅決反對實無窮；康托爾支持實無窮；希爾伯特則認為，在分析中我們研究的潛無限，不是真的無限，真的無限是實無限。

不過，“潛無窮或實無窮”畢竟是數學或邏輯上的爭論。筆者認為，對與實證密切相關的科學而言，只有實無窮，沒有潛無窮，因為宇宙中的一切都是現實存在的。那么，科學是否就不需要潛無窮了呢？也不能這么說，因為數學對科學的發展往往有出乎人們意料的效果。考慮一下現實世界中似乎并不真實存在的“虛數”概念對科學的作用，便能理解這點了。

總之，芝諾悖論涉及極限概念，數學解答涉及有關實無限與潛無限的討論。無限過程無法完成潛無限，可以完成實無限，數學中的極限、微積分都建立在實無限概念上。故對潛無限來說，極限概念不成立，只能無限逼近。這些數學概念超出本書范圍，在此不作詳細介紹，更多有關芝諾悖論、實無限與潛無限的內容，請參考維基百科及相關書籍。

古代求積例子

現在的微積分課程，都是從極限開始，引入導數、微分，后來再學到積分。但在人類思維發展的漫長歷史中，卻很早就有了類似積分法的應用。

在現實科學應用中，導數和微分表示的是曲線的斜率、運動物體的速度等，是與“動態”“變化”有關的事物，而積分法則方便用于計算物體的面積、體積等物體的固有性質。人類對客觀世界的認識顯然是始于固定的事物，所以，對積分法的需求和探究從遠古時候就開始了。

古希臘的科學始祖泰勒斯就研究過球的面積、體積等問題。公元前5世紀，古希臘數學家安提豐及歐多克索斯提出了“窮竭法”，之后成為一種幾何方法，用來求圓形的面積和立體的體積，可算是積分法的先驅。

古希臘最偉大的數學家阿基米德對微積分的貢獻毋庸置疑。他利用和發展了窮竭法，計算過拋物線下的弓形面積、球和球冠表面積、雙曲線旋轉所得圖形的體積等，他在解決這些問題過程中的若干思想，真正成為積分學的基礎。

幾乎同時或稍后，古代中國的微積分概念也在獨立發展，可說其成果毫不遜色于西方。三國時期劉徽研究的割圓術，用以求圓面積和方錐體積，是一個突出的例子。祖沖之用割圓術求得圓周率，精度很高（在3.141 592 6與3.141 592 7之間）。

17世紀的意大利幾何學家卡瓦列里（早于牛頓時代50年左右），對微積分貢獻了一個著名的不可分量方法，或被稱為卡瓦列里原理。中國人不十分熟悉這位高人，其原因之一是該原理的基本思想早在1100多年之前就被中國數學家發現了，那是祖沖之和他的兒子祖暅。所以，在中國，卡瓦列里原理一直被稱為祖暅原理。

卡瓦列里認為，線由無窮點構成，面由無窮線構成，立體是由無窮個平面構成。點、線、面分別是高一維度的線、面、體的不可分量。祖暅原理則提出“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異。”，就是說，如果所有等高處的截面積都相等，二立體的體積必相等。“夫疊棊成立積”一語中，則包含了與卡瓦列里類似的“不可分量”的思想。

根據祖暅原理（或卡瓦列里原理），體積的計算可以由計算許多個小體積之和而得到；面積的計算則由計算許多個小面積之和而得到。這個原理表現了樸素的積分思想，是定義微積分的前提之一。之后，又有無數數學家（歐拉、拉格朗日等）在極限和無限的概念上做了若干杰出的工作，最后一步則由牛頓和萊布尼茨完成。

微積分的發明

祖暅原理的出現遠遠早于西方，這點令華夏民族驕傲，卻又再一次給我們提出一個令人迷惑的問題：微積分的系統理論為什么沒有早早地誕生于中國呢？

考察牛頓和萊布尼茨研究微積分的過程，是與當時科學技術發展的需求密切相關的。數學促進了科學思想的發展，科學的發展又反過來促進數學，這兩者相輔相成、互相促進，密不可分。特別是牛頓發明微積分，一開始在很大程度上是為了解決他所熱衷的運動學問題。

人類早期研究的問題大多是“靜態”的，諸如上面所說的求面積、求體積的問題，積分思想幫忙解決了不少難題。17世紀初期，伽利略和開普勒在天體運動中所得到的一系列觀察和實驗結果，涉及物體的動態規律，導致科學家們對新一代數學工具的強烈需求，也就是說，如何從大量的數據中，抽象出物體的精確而瞬時的、隨時間變化的動態運動規律來呢？

在伽利略的時代，已經有了速度的概念。那時的科學家們已經知道運動距離與運動時間相除得到速度。如果物體運動的快慢始終一樣，就叫作勻速運動，否則就是非勻速運動。伽利略在實驗中發現，在地球引力持久作用下物體的運動，快慢并非始終一致的，開始時下落得比較慢，后來則下落得越來越快。伽利略又發現，無論是在下落的開始還是最后，速度增加的效果是一樣的，這也就是我們現在所熟知的說法：“地面上自由落體的運動是一種等加速度運動。”

速度、加速度、勻速、勻加速、平均速度、瞬時速度……現在學生很容易理解這些名詞，在當時卻曾經困惑過像伽利略這樣的物理大師。從定義平均速度到定義瞬時速度，是概念上的一個飛躍。平均速度很容易計算：用時間去除距離就可以了。但是，如果速度和加速度每時每刻都在變化的話，又怎么辦呢？

可以相信，開普勒在總結他的行星運動三定律時，也曾經有類似的困惑。開普勒得出了行星運動的軌跡是個橢圓，他也認識到行星沿著這個橢圓軌跡運動時，速度和加速度的方向和大小都在不停地變化。但是，他尚無極限的概念，也沒有曲線的切線及法線的相關知識，不知如何描述這種變化，于是，便只好用“行星與太陽的連線掃過的面積”這種靜態積分量來表達他的第二定律。

伽利略和開普勒去世后，兩位大師將他們的成果和困惑留在了世界上，激勵像牛頓和萊布尼茨這樣杰出的物理學家和數學家，對新一代數學工具發起了總攻。

牛頓使用他發明的這個強大的數學工具，建立了牛頓力學的宏偉大廈，同時也發展完善了“變量”的概念，為微積分在各門學科的應用開辟了道路。在人類社會從農業文明跨入工業文明的過程中，微積分起到了決定性的作用，包括數學、物理、化學、天文學、地理、生物基礎科學，以及工程應用、計算機和信息等技術學科，所有的現代科學技術都離不開微積分。

就數學理論而言，牛頓和萊布尼茨的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題：微分學的切線問題和積分學的求積問題聯系在一起，開創了微積分理論。

可以說，牛頓是在他對物理科學規律研究的驅動下發明微積分的。換言之，這個數學成就多少包含了某些“服務于實用”的因素。中國從古到今的學術研究不是有明顯的“實用”傾向嗎？為何沒有為解決實用的問題而發明微積分呢？

需要澄清的是，當我們說：微積分的出現直接來源于物理學和工程方面的需求，說的是科技理論上的需求，并非小工匠式技術發展的需求，尤其不是那種被利益所驅動的“實用”之需求。中國古代數學，過分拘泥于直接使用而企圖快速得利，并不重視理論思維，也不重視抽象的數學觀念和數學體系，連函數的概念都沒有抽象出來，更無法發明系統的微積分了。這也就是為什么有人說中國古代并無“數學”，只有“算學”的原因，這種說法或許有一定的道理。當然，算學也有它先進發達的一面，下一節將給予簡要介紹。有關更詳細的“中國算學”，請參考數學家吳文俊的書。