3.3　課后習題詳解

1．已知一件襯衫的價格為80元，一份肯德基快餐的價格為20元，在某消費者關于這兩種商品的效用最大化的均衡點上，一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率是多少？

解：按照兩商品的邊際替代率的定義公式，可以將一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率寫成：

其中，表示肯德基快餐的份數；表示襯衫的件數；表示在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一份肯德基快餐消費時所需要放棄的襯衫的消費數量。

在該消費者實現關于這兩種商品的效用最大化時，在均衡點上有：

即有：

它表明，在效用最大化的均衡點上，對于該消費者來說，一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率為0.25。

2.假設某消費者的均衡如圖3-4所示。其中，橫軸和縱軸分別表示商品1和商品2的數量，線段為消費者的預算線，曲線為消費者的無差異曲線，點為效用最大化的均衡點。已知商品1的價格元。

圖3-4  消費者效用最大化

（1）求消費者的收入；

（2）求商品2的價格；

（3）寫出預算線方程；

（4）求預算線的斜率；

（5）求點的的值。

解：（1）圖3-4中的橫截距表示消費者的收入全部購買商品1的數量為30單位，且已知元，所以消費者的收入元。

（2）圖3-4中的縱截距表示消費者的收入全部購買商品2的數量為20單位，且由（1）已知收入元，所以商品2的價格元。

（3）由于預算線方程的一般形式為：

所以，由（1）、（2）可將預算線方程具體寫為：。

（4）將（3）中的預算線方程進一步整理為，顯然，預算線的斜率為。

（5）在消費者效用最大化的均衡點上，有，即無差異曲線的斜率的絕對值即等于預算線斜率的絕對值。因此，在點， 。

3．請畫出以下各位消費者對兩種商品（咖啡和熱茶）的無差異曲線，同時請對（2）和（3）分別寫出消費者B和消費者C的效用函數。

（1）消費者A喜歡喝咖啡，但對喝熱茶無所謂。他總是喜歡有更多杯的咖啡，而從不在意有多少杯的熱茶。

（2）消費者B喜歡一杯咖啡和一杯熱茶一起喝，他從來不喜歡單獨只喝咖啡，或者單獨只喝熱茶。

（3）消費者C認為，在任何情況下，1杯咖啡和2杯熱茶是無差異的。

（4）消費者D喜歡喝熱茶，但不喜歡喝咖啡。

答：（1）根據題意，對消費者A而言，熱茶是中性商品，因此，熱茶的消費數量不會影響消費者A的效用水平。消費者A的無差異曲線如圖3-5（a）所示。圖3-5中的箭頭均表示效用水平增加的方向。

（2）根據題意，對消費者B而言，咖啡和熱茶是完全互補品，其效用函數是。消費者B的無差異曲線如圖3-5（b）所示。

（3）根據題意，對消費者C而言，咖啡和熱茶是完全替代品，其效用函數是。消費者C的無差異曲線如圖3-5（c）所示。

（4）根據題意，對消費者D而言，咖啡是厭惡品。消費者D的無差異曲線如圖3-5（d）所示。

圖3-5  關于咖啡和熱茶的不同消費者的無差異曲線

4．對消費者實行補助有兩種方法：一種是發給消費者一定數量的實物補助，另一種是發給消費者一筆現金補助，這筆現金額等于按實物補助折算的貨幣量。試用無差異曲線分析法，說明哪一種補助方法能給消費者帶來更大的效用。

答：相對而言，發放現金補助的方法能給消費者帶來更大的效用。分析如下：

發放現金補助，消費者可根據自己的偏好選擇自己需要的商品，而發放一定數量的實物補助，則可能此實物不是消費者所需要或最需要的，這時，消費者就難以得到最大的滿足了。分析如圖3-6所示。在圖3-6中，線代表實物和其他商品的價格一定時，發放一筆現金補助所形成的預算線。如發實物，該消費者最佳消費點為點，消費數量的實物和數量的其他商品，所獲效用為；如發放現金補助讓消費者根據偏好自由選購，該消費者最佳消費點為點，消費數量的實物和數量的其他商品，所獲效用為。可以看出，，即用發放現金補助的方法能給消費者帶來更大的效用。

圖3-6  實物補助與現金補助

5．已知某消費者每年用于商品1和商品2的收入為540元，兩商品的價格分別為元和元，該消費者的效用函數為，該消費者每年購買這兩種商品的數量應各是多少？每年從中獲得的總效用是多少？

解：（1）據題意有：，，，

根據消費者效用最大化的均衡條件：

其中，由可得：

于是有：

整理得：

　 ①

將①式代入預算約束式，即：

解得：，

因此，該消費者每年購買和這兩種商品的數量分別為9和12。

（2）將以上最優的商品組合代入效用函數，得：

即該消費者最優商品購買組合給他帶來的最大效用水平為3888。

6．假設某商品市場上只有A、B兩個消費者，他們的需求函數各自為和。

（1）列出這兩個消費者的需求表和市場需求表。

（2）根據（1），畫出這兩個消費者的需求曲線和市場需求曲線。

答：（1）由消費者A的需求函數，可編制消費者A的需求表；由消費者B的需求函數，可編制消費者B的需求表。至于市場需求表的編制可以使用兩種方法，一種方法是利用已得到消費者A、B的需求表，將每一價格水平上兩個消費者的需求數量加總來編制市場需求表；另一種方法是先將消費者A和B的需求函數加總來求得市場需求函數，即市場需求函數，然后，運用所得到的市場需求函數（），來編制市場需求表。這兩種方法所得到的市場需求表是相同的。

按以上方法編制的三張需求表如下所示。

表3-3  消費者A的需求表

表3-4  消費者B的需求表

表3-5  市場的需求表

（2）由（1）中的三張需求表，所畫出的消費者A和B各自的需求曲線以及市場的需求曲線如圖3-7所示。

圖3-7  從單個消費者的需求曲線到市場需求曲線

需要特別指出的是，市場需求曲線有一個折點，該點發生在價格和需求量的坐標點位置。對于市場需求曲線的這一特征，可以從兩個角度來解釋：一個角度是從圖形來理解，市場需求曲線是市場上單個消費者需求曲線的水平加總，即在的范圍，市場需求曲線由兩個消費者需求曲線水平加總得到；而當時，只有消費者B的需求曲線發生作用，所以，它的需求曲線就是市場需求曲線。另一個角度是從需求函數看，在的范圍，市場需求函數成立；而當時，只有消費者B的需求函數才構成市場需求函數，即。

7．假定某消費者的效用函數為，兩商品的價格分別為、，消費者的收入為。分別求該消費者關于商品1和商品2的需求函數。

解：建立拉格朗日函數：。

效用最大化的一階條件為：

由上式聯立可得：，。

此分別為商品1和商品2的需求函數。

8．令某消費者的收入為，兩商品的價格為、。假定該消費者的無差異曲線是線性的，且斜率為。求該消費者的最優商品消費組合。

解：據題意，可知預算方程為：，預算線斜率為。

由于無差異曲線是直線，且斜率為，所以無差異曲線斜率的絕對值為：

所以，該消費者的最優商品消費組合為：

（1）當時，邊角解是預算線與橫軸的交點，如圖3-8（a）所示。

這時，由預算方程得：

即最優商品組合為（，0）。

（2）當時，邊角解是預算線與縱軸的交點，如圖3-8（b）所示。

這時，

由預算方程得：

即最優商品組合為（0，）。

（3）當時，無差異曲線與預算線重疊，預算線上各點都是最優商品組合點，如圖3-8（c）所示。

圖3-8  最優商品組合

9．假定某消費者的效用函數為，其中，為某商品的消費量，為收入。求：

（1）該消費者的需求函數。

（2）該消費者的反需求函數。

（3）當，時的消費者剩余。

解：（1）由題意可得，商品的邊際效用為：

貨幣的邊際效用為：

于是，根據消費者效用最大化條件，有：

整理得需求函數為。

（2）由需求函數可得反需求函數為：

（3）由反需求函數可得消費者剩余為：

將和代入上式，則得消費者剩余：

10．設某消費者的效用函數為柯布-道格拉斯類型的，即，商品和商品的價格分別為和，消費者的收入為，和為常數，且。

（1）求該消費者關于商品和商品的需求函數。

（2）證明當商品和的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品的需求關系維持不變。

（3）證明消費者效用函數中的參數和分別為商品和商品的消費支出占消費者收入的份額。

解：（1）由消費者的效用函數，可得：

消費者的預算約束方程為

　 ①

根據消費者效用最大化條件：

　  　②

得：

  　 ③

解方程組③，可得：

　 ④

 ⑤

關系式④和⑤即為消費者關于商品和商品的需求函數，其圖形如圖3-9所示。

圖3-9  商品和商品的需求曲線

（2）當商品和的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，相當于消費者的預算線變為：

  　 ⑥

其中，為一非零常數。

此時消費者效用最大化的均衡條件變為：

　  　 ⑦

由于，故方程組⑦化為：

  　 ⑧

顯然，方程組⑧就是方程組③，故其解就是式④和式⑤。

這表明，消費者在這種情況下對兩商品的需求關系維持不變。

（3）由消費者的需求函數④和⑤，可得：

 ⑨

　  　⑩

關系式⑨的右邊正是商品的消費支出占消費者收入的份額。關系式⑩的右邊正是商品的消費支出占消費者收入的份額，故結論被證實。

11．假定肉腸和面包卷是完全互補品。人們通常以一根肉腸和一個面包卷為比率做一個熱狗，并且已知一根肉腸的價格等于一個面包卷的價格。

（1）求肉腸的需求價格彈性。

（2）求面包卷對肉腸的需求交叉彈性。

（3）如果肉腸的價格是面包卷的價格的兩倍，那么，肉腸的需求價格彈性和面包卷對肉腸的需求交叉彈性各是多少？

解：假設肉腸的需求量為，面包卷的需求量為，二者的價格分別為、。

（1）由于假定肉腸和面包卷為完全互補品，則有，根據，有。假定消費者在肉腸和面包卷，即熱狗上的消費總額為，則，可以解得肉腸的需求函數為。

肉腸的需求價格彈性。

（2）根據（1）易知，則面包卷對肉腸的需求交叉彈性為：

（3）如果，，將其代入，可以解得，。

肉腸的需求價格彈性。

面包卷對肉腸的需求交叉彈性。

12．已知某消費者的效用函數為，兩商品的價格分別為，，消費者的收入是。現在假定商品1的價格下降為。求：

（1）由商品1的價格下降所導致的總效應，使得該消費者對商品1的購買量發生多少變化？

（2）由商品1的價格下降所導致的替代效應，使得該消費者對商品1的購買量發生多少變化？

（3）由商品1的價格下降所導致的收入效應，使得該消費者對商品1的購買量發生多少變化？

解：（1）消費者效用最大化的問題是：

當，時，可得出最優消費束為（，）=，此時消費者的效用水平為：。

當下降到2元時，可得出此時最優消費束為（，）=（20，20），此時消費者的效用水平為：。

所以，當從4元下降到2元時，消費者對商品1的購買量從10增加到20，增加了10個單位。

（2）下面在保持原來效用不變的情況下，在新的價格水平下，求出的需求量。此時，最優化問題是：

可得出當時，達到了原有的效用水平，且為經過調整后的最優消費束。

所以，價格下降的替代效應使的購買量變化為。即由商品1的價格下降所導致的替代效應，使得該消費者對商品1的購買量增加4.14。

（3）由于價格下降的總的變化效應為，替代效應使得購買量變化為，所以收入效應為。即由商品1的價格下降所導致的收入效應，使得該消費者對商品1的購買量增加5.86。

13．某消費者是一個風險回避者，他面臨是否參與一場賭博的選擇：如果他參與這場賭博，他將以5％的概率獲得10000元，以95％的概率獲得10元；如果他不參與這場賭博，他將擁有509.5元。那么，他會參與這場賭博嗎？為什么？

解：該消費者不會選擇賭博。分析如下：

該消費者現在在無風險條件下（即不賭博條件下）可以持有的確定的貨幣財富是509.5元。在風險條件下即參與賭博時，該消費者財富的期望值為：

該消費者財富的期望值與持有的確定的貨幣財富一樣。由于該消費者是風險回避者，他認為持有一筆確定的貨幣財富的效用大于在風險條件下賭博的期望效用，因而他不會選擇賭博。

14．基數效用論者是如何推導需求曲線的？

答：基數效用論者以邊際效用遞減規律和建立在該規律上的消費者效用最大化的均衡條件為基礎推導消費者的需求曲線。

基數效用論者認為，商品的需求價格取決于商品的邊際效用。一單位的某種商品的邊際效用越大，消費者為購買這一單位的該種商品所愿意支付的價格就越高；反之，一單位的某種商品的邊際效用越小，消費者為購買這一單位的該種商品所愿意支付的價格就越低。由于邊際效用遞減規律的作用，隨著消費者對某一種商品消費量的連續增加，該商品的邊際效用是遞減的，相應地，消費者為購買這種商品所愿意支付的價格即需求價格也是越來越低的。

進一步地，聯系消費者效用最大化的條件進行分析，考慮消費者購買任何一種商品的情況，那么，消費者均衡條件可以寫為：。它表示：消費者對任何一種商品的最優購買量應該是使最后一元錢購買該商品所帶來的邊際效用和所付出的這一元錢的貨幣的邊際效用相等。該式還意味著：由于對于任何一種商品來說，隨著需求量的不斷增加，邊際效用是遞減的，于是，為了保證均衡條件的實現，在貨幣的邊際效用不變的前提下，商品的需求價格必然同比例于的遞減而遞減。

就這樣，基數效用論者在對消費者行為的分析中，運用邊際效用遞減規律的假定和消費者效用最大化的均衡條件，推導出了消費者的向右下方傾斜的需求曲線。

15．用圖說明序數效用論者對消費者均衡條件的分析，以及在此基礎上對需求曲線的推導。

答：（1）序數效用論消費者均衡條件是：在一定的預算約束下，為了實現最大的效用，消費者應該選擇最優的商品組合，使得兩商品的邊際替代率等于兩商品的價格之比。或者說，在消費者的均衡點上，消費者愿意用一單位的某種商品去交換的另一種商品的數量，應該等于該消費者能夠在市場上用一單位的這種商品去交換得到的另一種商品的數量。

圖3-10  消費者的均衡

如圖3-10所示，把無差異曲線與預算線放在一塊進行分析。圖3-10中有一條預算線和三條反映不同效用程度的無差異曲線。只有預算線和無差異曲線的相切點，才是消費者在給定的預算約束下能夠獲得最大效用的均衡點。這是因為：①就無差異曲線來說，雖然代表的效用水平高于無差異曲線，但它與既定的預算線既無交點又無切點，說明消費者在既定的收入水平下無法實現無差異曲線上的任何一點的商品組合的購買。②就無差異曲線來說，雖然它與既定的預算線相交于兩點，這表明消費者利用現有收入可以購買兩點的商品組合。但是，這兩點的效用水平低于無差異曲線，因此，理性的消費者不會用全部收入去購買無差異曲線上兩點的商品組合。消費者選擇線段上位于點右邊或點左邊的任何一點的商品組合，都可以達到比更高的無差異曲線，獲得比點和點更大的效用水平。這種沿著線段由點往右和由點往左的運動，最后必定在點達到均衡。顯然，只有當既定的預算線和無差異曲線相切于點時，消費者才在既定的預算約束條件下獲得最大的滿足，故點就是消費者實現效用最大化的均衡點。在切點，無差異曲線和預算線兩者的斜率是相等的，無差異曲線斜率的絕對值就是商品的邊際替代率，預算線的斜率的絕對值可以用兩商品的價格之比來表示。由此，在均衡點有：，這就是消費者效用最大化的均衡條件。它表示：在一定的預算約束下，為了實現最大的效用，消費者應該選擇最優的商品組合，使得兩商品的邊際替代率等于兩商品的價格之比。

（2）推導消費者的需求曲線：

圖3-11  由價格—消費曲線推導出消費者的需求曲線

分析圖3-11（a）中價格—消費曲線上的三個均衡點、和可以看出，在每一個均衡點上，都存在著商品1的價格與商品1的需求量之間一一對應的關系。在均衡點，商品1的價格為，商品1的需求量為。在均衡點，商品1的價格由下降到，則商品1的需求量由增加到。在均衡點，商品1的價格由下降到，則商品1的需求量由增加到。把每一個數值和相應的均衡點上的數值繪制在商品的價格—數量坐標圖上，便可以得到單個消費者的需求曲線。這便是圖3-11（b）中的需求曲線。

在圖3-11（b）中，橫軸表示商品1的數量，縱軸表示商品1的價格。圖3-11（b）中需求曲線上的、、點分別和圖3-11（a）中的價格—消費曲線上的均衡點、、相對應。至此，從序數效用論者對消費者經濟行為的分析中推導出了消費者的需求曲線。由圖3-11可見，序數效用論者所推導的需求曲線是向右下方傾斜的，它表示商品的價格和需求量成反方向變動關系。

16．分別用圖分析正常品、劣等品和吉芬品的替代效應和收入效應，并進一步說明這三類物品的需求曲線的特征。

答：（1）正常品的替代效應和收入效應

圖3-12  正常品的替代效應和收入效應

如圖3-12所示，橫軸和縱軸分別表示商品1和商品2的數量，其中，商品1是正常品。是價格變化前消費者對商品1的需求量。商品1的價格下降后，商品需求量增加到。商品1需求量的增加量為，這便是商品1的價格下降所引起的總效應。

如果作一補償線，使該線與價格變化后的預算線平行，并與價格變化前的無差異曲線相切，則切點處對應的對商品1的需求量就是在商品價格變化后，剔除了收入效應的消費量。因此，就是商品1價格下降后的替代效應，就是商品1價格下降后的收入效應。

可以看出，對于正常品來說，替代效應與價格成反方向的變動，收入效應也與價格成反方向的變動，在它們的共同作用下，總效應必定與價格成反方向的變動。正因為如此，正常品的需求曲線是向右下方傾斜的。

（2）劣等品的替代效應和收入效應

圖3-13  劣等品的替代效應和收入效應

如圖3-13所示，橫軸和分別表示商品1和商品2的數量，其中，商品1是劣等品。商品1的價格下降前后，消費者的效用最大化的均衡點分別為、點，因此，價格下降所引起的商品1的需求量的增加量為，這是總效應。作與預算線平行且與無差異曲線相切的補償預算線，將總效應分解成替代效應和收入效應。下降引起的商品相對價格的變化，使消費者由均衡點運動到均衡點，相應的需求增加量為，這就是替代效應，它是一個正值。而下降引起的消費者的實際收入水平的變動，使消費者由均衡點運動到均衡點，需求量由減少到，這就是收入效應，它是一個負值。

對劣等品來說，替代效應與價格成反方向的變動，收入效應與價格成同方向的變動，而且，在大多數的場合，收入效應的作用小于替代效應的作用，總效應與價格成反方向的變動，相應的需求曲線是向右下方傾斜的。

（3）吉芬品的替代效應和收入效應

圖3-14  吉芬品的替代效應和收入效應

如圖3-14所示，橫軸和縱軸分別表示商品1和商品2的數量，其中，商品1是吉芬品。商品1的價格下降前后，消費者的效用最大化的均衡點分別為點和點，相應的商品1的需求量的減少量為，這就是總效應。通過補償預算線可得：為替代效應；是收入效應，它是一個負值。而且，負的收入效應的絕對值大于正的替代效應的絕對值，所以，最后形成的總效應為負值。在圖3-14中，點必定落在、兩點之間。

對吉芬品來說，替代效應與價格成反方向變動，收入效應與價格成同方向變動，但收入效應的作用大于替代效應的作用，總效應與價格是同方向變動，相應的需求曲線就呈現向右上方傾斜的特殊形狀。