第3章　隨機(jī)過程

3.1　復(fù)習(xí)筆記

一、隨機(jī)過程的基本概念

1、隨機(jī)過程的兩種定義

①隨機(jī)過程是所有樣本函數(shù)的集合，記為ξ(t)。

樣本函數(shù)：實(shí)驗(yàn)過程中一個確定的時間函數(shù)x_i(t)，即指某一次具體的實(shí)現(xiàn)。

②隨機(jī)過程是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。

隨機(jī)變量：某一固定時刻t₁，不同樣本函數(shù)的取值即為一個隨機(jī)變量ξ(t₁)。

2．隨機(jī)過程的分布函數(shù)

（1）n維分布函數(shù)的定義

（2）n維概率密度函數(shù)的定義

如果

存在，則稱其為ξ(t)的n維概率密度函數(shù)。

3．隨機(jī)過程的數(shù)字特征

（1）均值（數(shù)學(xué)期望）

①均值的定義

隨機(jī)過程ξ(t)的均值或數(shù)學(xué)期望定義為

②均值的意義

E[ξ(t)]是時間的確定函數(shù)，記為a(t)，表示隨機(jī)過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。

（2）方差

①方差的定義

隨機(jī)過程ξ(t)的方差定義為

常記為σ2(t)。

②方差的意義

方差等于均方差與均值平方之差，表示隨機(jī)過程在時刻t相對于均值a(t)的偏離程度。

（3）相關(guān)函數(shù)

①協(xié)方差函數(shù)

協(xié)方差函數(shù)的定義為

②自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)的定義為

③R(t₁，t₂)與B(t₁，t₂)的關(guān)系

④R(t₁，t₂)與B(t₁，t₂)的意義

衡量隨機(jī)過程在任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。

⑤互相關(guān)函數(shù)

設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個隨機(jī)過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為

二、平穩(wěn)隨機(jī)過程

1．平穩(wěn)隨機(jī)過程

（1）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義

若ξ(t)的任意有限維概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)，即對于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)Δ，有

則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。

①一維概率密度與時間t無關(guān)，即

②二維分布函數(shù)只與時間間隔τ＝t₂－t₁有關(guān)，即

（2）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的數(shù)字特性

①均值

均值與t無關(guān)，為常數(shù)a，即

　 （3-1-1）

②自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ＝t₂－t₁有關(guān)，即R(t₁，t₁＋τ)＝R(τ)。即

  （3-1-2）

（3）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程

把同時滿足式（3-1-1）和式（3-1-2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。

（4）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程與廣義隨機(jī)過程的關(guān)系

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。

2．各態(tài)歷經(jīng)性

（1）各態(tài)歷經(jīng)性的定義

隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)稱為各態(tài)歷經(jīng)性。

（2）各態(tài)歷經(jīng)性的意義

具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計均值等于其任一次實(shí)現(xiàn)的時間均值。

（3）各態(tài)歷經(jīng)性與平穩(wěn)隨機(jī)過程的關(guān)系

具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。

（4）各態(tài)歷經(jīng)性的實(shí)現(xiàn)

如果平穩(wěn)過程使

成立，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。

3．平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)

（1）自相關(guān)函數(shù)的定義

設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)為

（2）自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；

②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函數(shù)；

③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；

④，表示ξ(t)的直流功率；

這是因?yàn)楫?dāng)時，與沒有任何依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨(dú)立。所以

⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平穩(wěn)過程ξ(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時，有R(0)＝σ2。

4．平穩(wěn)過程的功率譜密度

（1）功率譜密度的定義

平穩(wěn)過程ξ(t)的功率譜密度P_ξ(f)定義為

（2）功率譜密度的特性

①平穩(wěn)過程的平均功率為

②各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。即每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的譜特性。

③功率譜密度P_ξ(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有

和

三、高斯隨機(jī)過程

1．高斯隨機(jī)過程的定義

如果隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n＝1，2，…）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示為

式中：;|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

為行列式|B|中的元素b_jk的代數(shù)余因子；b_jk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即

2．高斯隨機(jī)過程的重要性質(zhì)

（1）高斯過程的n維分布只依賴各個隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差；

（2）廣義平穩(wěn)的高斯過程是嚴(yán)平穩(wěn)的；

（3）如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，即對所有j≠k有b_jk＝0，那么它們也是統(tǒng)計獨(dú)立的；

（4）高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程，即若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)的輸出也是高斯過程。

3．高斯隨機(jī)過程的隨機(jī)變量

（1）一維概率密度函數(shù)

①表達(dá)式

高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為

②圖像

圖3-1  正態(tài)分布的概率密度

③特性

a．f(x)對稱于x＝a這條直線，即

f(a＋x)＝f(a－x)

b．及；

c．a(chǎn)表示分布中心，σ稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，f(x)圖形將隨著σ的減小而變高和變窄。當(dāng)a＝0，σ＝1時，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。即

（2）正態(tài)分布函數(shù)

①正態(tài)分布函數(shù)的定義

正態(tài)分布函數(shù)定義為正態(tài)分布的概率密度f(x)積分，即

②誤差函數(shù)

a．誤差函數(shù)的定義

erf(x)表示誤差函數(shù)，其定義為

b．誤差函數(shù)的性質(zhì)

erf(0)＝0，erf(∞)＝1，erf（－x）＝－erf(x)。

c．誤差函數(shù)表示分布函數(shù)

②互補(bǔ)誤差函數(shù)

a．互補(bǔ)誤差函數(shù)的定義

erfc(x)表示互補(bǔ)誤差函數(shù)，其定義為

b．互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)

erfc(0)＝1，erfc(∞)＝0，erfc(－x)＝2－erfc(x)。

c．誤差函數(shù)表示分布函數(shù)

正態(tài)分布函數(shù)可用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示為

d．互補(bǔ)誤差函數(shù)的應(yīng)用

當(dāng)x＞a，互補(bǔ)誤差函數(shù)與高斯概率密度函數(shù)曲線尾部下的面積成正比。

四、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

1．輸出隨機(jī)過程的表達(dá)式

輸入與輸出隨機(jī)過程應(yīng)滿足

2．輸出過程的統(tǒng)計特性

（1）輸出過程ξ_o(t)的均值

式中，H(0)為線性系統(tǒng)在f＝0處的頻率響應(yīng)，即直流增益。因此輸出過程的均值E[ξ_o(t)]是一個常數(shù)。

（2）輸出過程ξ_o(t)的自相關(guān)函數(shù)

①輸出過程ξ_o(t)的自相關(guān)函數(shù)的定義

②輸出過程ξ_o(t)的自相關(guān)函數(shù)的特性

a．輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅僅是時間間隔τ的函數(shù)；

b．若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。

（3）輸出過程ξ_o(t)的功率譜密度

輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方，即

（4）輸出過程ξ_o(t)的概率分布

高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程，有

五、窄帶隨機(jī)過程

1．窄帶隨機(jī)過程的定義

若隨機(jī)過程ξ(t)的譜密度集中在中心頻率f_c附近相對窄的頻帶范圍Δf內(nèi)，即滿足條件，且f_c遠(yuǎn)離零頻率，則稱該ξ(t)為窄帶隨機(jī)過程。

2．窄帶隨機(jī)過程的表示

①一般正弦表達(dá)式

窄帶隨機(jī)過程的樣本的波形如同一個包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。即

式中，及分別為窄帶隨機(jī)過程ξ(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位；為正弦波的中心角頻率。

②三角函數(shù)展開式

式中，ξ_c(t)是ξ(t)的同相分量；ξ_s(t)是ξ(t)的正交分量，則

3．窄帶隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性

（1）ξ_c(t)和ξ_s(t)的統(tǒng)計特性

一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)：

①它的同相分量ξ_c(t)和正交分量ξ_s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程；

②ξ_c(t)和ξ_s(t)的均值為零，方差相同；

③在同一時刻上得到的ξ_c和ξ_s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨(dú)立的。

（2）的統(tǒng)計特性

一個均值為零、方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)：

①包絡(luò)a_ξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φ_ξ(t)的一維分布是均勻分布；

②就一維分布而言，a_ξ(t)與φ_ξ(t)是統(tǒng)計獨(dú)立的，即

六、正弦波加窄帶高斯噪聲

1．正弦波加窄帶高斯噪聲的表示

（1）設(shè)正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號為

式中，，為窄帶高斯噪聲，其均值為0，方差為；為正弦波的隨機(jī)相位，在上均勻分布；振幅A和角頻率均為確知量。

于是

2．正弦波加窄帶高斯噪聲的參量

（1）混合信號的包絡(luò)

r(t)的包絡(luò)為

（2）混合信號的相位

r(t)的相位為

（3）r(t)的包絡(luò)和相位的數(shù)字特征

3．正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性

（1）包絡(luò)的統(tǒng)計特征

①包絡(luò)的概率密度函數(shù)為

②包絡(luò)分布函數(shù)f(z)與信噪比的關(guān)系　 

a．小信噪比時，f(z)接近于瑞利分布；

b．大信噪比時，f(z)接近于高斯分布；

c．在一般情況下，f(z)是萊斯分布，又稱廣義瑞利分布。

（2）相位的統(tǒng)計特征

①小信噪比時，f(φ)接近于均勻分布；

②大信噪比時，f(φ)主要集中在有用信號相位附近。

七、高斯白噪聲和帶限白噪聲

1．白噪聲

（1）白噪聲的定義

如果噪聲的功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù)，即

或

式中，n₀為正常數(shù)，則稱該噪聲為白噪聲，用n(t)表示。

（2）白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

　 　　　　　　  　 （3-1-3）

由式（3-1-3）可知，對于所有的都有，表明白噪聲僅在時才相關(guān)，在任意兩個時刻的隨機(jī)變量不相關(guān)。

（3）白噪聲的平均功率

由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即

（4）高斯白噪聲

①高斯白噪聲的定義

高斯白噪聲是取值的概率分布服從高斯分布的白噪聲。

②高斯白噪聲的性質(zhì)

高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨(dú)立的。

2．低通白噪聲

（1）低通白噪聲的定義

低通白噪聲是通過理想矩形的低通濾波器或理想低通信道輸出的白噪聲，用n(t)表示。

（2）低通白噪聲的功率譜密度

假設(shè)理想低通濾波器具有模為1、截止頻率為｜f｜≤f_H的傳輸特性，則低通白噪聲對應(yīng)的功率譜密度為

（3）低通白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

①自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式

②自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

由圖3-2（b）可以看出，只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。

（4）低通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的圖形表示

圖3-2  低通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

3．帶通白噪聲

（1）帶通白噪聲的定義

帶通白噪聲是指通過理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道輸出的白噪聲，用n(t)表示。

（2）帶通白噪聲的功率譜密度

假設(shè)理想帶通濾波器的傳輸特性為

則輸出噪聲的功率譜密度為

（3）帶通白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

（4）帶通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的圖形表示

圖3-3  帶通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

（5）帶通白噪聲的平均功率

其中，B是指理想矩形的帶通濾波器的帶寬。