3.2　課后習題詳解

思考題

3-1  何謂隨機過程？它具有什么特點？

答：（1）隨機過程是指一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數描述。隨機過程可以從兩個不同的角度來說明。一個角度是把隨機過程看成對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。從另外一個角度來看，隨機過程是隨機變量概念的延伸，它在任意時刻的值是一個隨機變量

（2）隨機過程的特點：

①隨機過程具有不可預知性。因為根據隨機過程的定義，隨機過程相當于任意時刻的一個隨機變量，隨機也就意味著不可預知性。

②隨機過程具有集合性。集合性是指隨機過程相當于由許多個隨機變量聚合而成的，不僅僅是一個數量的疊加。

3-2  隨機過程的數字特征主要有哪些？分別表征隨機過程的什么特性？

答：（1）隨機過程的數字特征主要包括均值，方差和相關函數

（2）三個數字特征分別表現了以下特性：

①均值表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心。

②方差表示隨機過程在時刻t相對于均值的偏離程度。

③相關函數衡量隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變量之間的關聯程度。

3-3  何謂嚴平穩？何謂廣義平穩？它們之間的關系如何？

答：（1）嚴平穩隨機過程：若一個隨機過程的統計特性與時間起點無關，即時間平移不影響其任何統計特性，則稱該隨機過程為嚴平穩隨機過程。

（2）廣義平穩隨機過程：若一個隨機過程的數學期望與時間無關，而自相關函數僅與時間間隔相關，則稱該隨機過程為廣義平穩隨機過程。

（3）嚴平穩隨機過程必定是廣義平穩的，反之不然。因此嚴平穩隨機過程的限制條件要高于廣義平穩隨機過程。

3-4  平穩過程的自相關函數有哪些性質？它與功率譜密度的關系如何？

答：（1）平穩過程的自相關函數R（τ）的性質：

①R（0）＝E[ξ2（t）]，表示平穩過程ξ（t）的平均功率。

②它是偶函數。

③它的最大值為R（0）。

④，表示平穩過程ξ（t）的直流功率。

⑤，σ2是方差，表示平穩過程ξ（t）的交流功率。

（2）它與功率譜密度是一對傅立葉變換對。

3-5  什么是高斯過程？其主要性質有哪些？

答：（1）定義：如果隨機過程的任意n維（n＝1，2，···）分布均服從正態分布，則稱它為高斯過程。

（2）主要性質：

①高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協方差。

②廣義平穩的高斯過程也是嚴平穩的。

③如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，則它們也是統計獨立的。

④高斯過程經過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。

3-6  高斯隨機變量的分布函數與Q（x）函數以及erf（x）函數的關系如何？試述erfc（x）函數的定義與性質。

答：（1）高斯隨機變量的分布函數F（x）：，

（2）erfc（x）函數的定義與性質：

①erfc（x）是指互補誤差函數，erfc（x）＝1－erf（x）；

②性質：

a．它是自變量的遞減函數；

b．erfc（0）＝1，erfc（∞）＝0，erfc（－x）＝2－erfc（x）；

c．對于x＞a，互補誤差函數與高斯概率密度函數曲線尾部下的面積成正比；

d．當x大時（實際應用中只要x＞2），它可近似為。

3-7  隨機過程通過線性系統時，輸出與輸入功率譜密度的關系如何？如何求輸出過程的均值、自相關函數？

答：（1）輸出與輸入功率譜密度的關系：。

（2）輸出過程的均值、自相關函數：

①均值：，H（0）為線性系統在f＝0處的頻率響應，即直流增益。

②自相關函數： ，輸出過程的自相關函數僅僅是時間間隔τ的函數。

3-8  什么是窄帶隨機過程？它的頻譜和時間波形有什么特點？

答：（1）若隨機過程ξ（t）的譜密度集中在中心頻率f_c附近相對窄的頻帶范圍△f內，即滿足條件，且f_c遠離零頻率，則稱該ξ（t）為窄帶隨機過程。

（2）其頻譜分布特點是帶寬遠小于中心頻率，時間波形上的特點是呈現出包絡和相位隨機緩慢變化的正弦波。

3-9  窄帶高斯過程的包絡和相位分別服從什么概率分布？

答：一個均值為零、方差為的窄帶平穩高斯過程ξ（t），其包絡a_ξ（t）的一維分布是瑞利分布，相位φ_ξ（t）的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a_ξ（t）與φ_ξ（t）是統計獨立的，即

3-10  窄帶高斯過程的同相分量和正交分量的統計特性如何？

答：窄帶高斯過程的同相分量和正交分量的統計特性：一個均值為零的窄帶平穩高斯過程ξ（t），它的同相分量ξ_c（t）和正交分量ξ_s（t）同樣是平穩高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的ξ_c（t）和ξ_s（t）是互不相關的或統計獨立的。

3-11  正弦波加窄帶高斯噪聲的合成包絡服從什么分布？

答：正弦波加窄帶高斯噪聲的合成包絡服從萊斯分布，即

當信號很小，即A→0時，信號功率與噪聲功率的比值，相當于x值很小，于是有I₀（x）＝1，萊斯分布退化為瑞利分布。

當信噪比很大時，有，這時在z≈A附近f（z）近似為高斯分布。

3-12  什么是白噪聲？其頻譜和自相關函數有什么特點？白噪聲通過理想低通或理想帶通濾波器后的情況如何？

答：（1）白噪聲是指噪聲的功率譜密度在所有頻率上均為一常數的噪聲。

（2）頻譜為常數；白噪聲僅在τ＝0時才相關，而在其它任意兩個時刻的隨機變量都不相關；同時白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大。

（3）白噪聲通過理想低通濾波器后輸出為低通白噪聲，也稱帶限白噪聲；通過理想帶通濾波器后輸出為帶通白噪聲。

3-13  何謂高斯白噪聲？它的概率密度函數、功率譜密度如何表示？

答：（1）高斯白噪聲是指取值的概率密度分布服從高斯分布的白噪聲。

（2）其概率密度函數為高斯函數，其功率譜密度為常數。

3-14  不相關、統計獨立、正交的含義各是什么？它們之間的關系如何？

答：（1）含義：

①如果兩個隨機變量的協方差函數為零，則稱它們不相關；

②如果兩個隨機變量的聯合概率密度等于它們各自概率密度的乘積，則稱它們統計獨立。

③如果兩個隨機變量的互相關函數為零，則稱它們正交。

（2）關系：兩個均值為零的隨機變量如果統計獨立，則一定是正交及不相關；兩個均值為零的隨機變量正交與不相關等價。三者的嚴格程度從高到低依次為：統計獨立、正交、不相關。

習　題

3-1  設X是均值a＝0、方差σ2＝1的高斯隨機變量，試確定隨機變量Y＝cX＋d的概率密度函數f（y），其中c，d均為常數且c＞0。

解：由于高斯隨機變量X經過線性變換后仍是高斯型，所以Y是高斯隨機變量。

Y的均值：E[Y]＝E[cX＋d]＝d

Y的方差：

根據教材式（3.3-5）可得，Y的概率密度函數為

3-2  設隨機過程ξ（t）可表示成

ξ（t）＝2cos（2πt＋θ）

式中，θ是一個離散隨機變量，且P（θ＝0）＝1/2、P（θ＝π/2）＝1/2，試求E_ξ[ξ（1）]及R_ξ（0，1）。

解：當t＝1時，ξ（t）的均值為

當t₁＝0，t₂＝1時，ξ（t）的自相關函數為

3-3  設隨機過程，若X₁與X₂是彼此獨立且均值為0、方差為σ2的高斯隨機變量，試求：

（1）E[Y（t）]、E[Y2（t）]；

（2）Y（t）的一維分布密度函數f（y）；

（3）Y（t）的相關函數R（t₁，t₂）和協方差函數B（t₁，t₂）。

解：（1）由題意得

已知E[X₁]＝E[X₂]＝0，所以。又因為X₁和X₂相互獨立，所以，故

（2）由于X₁和X₂均服從高斯分布，且Y（t）是X₁和X₂的線性組合，因此Y（t）也服從高斯分布。又Y（t）的方差為

將其代入教材式（3.3-5）得Y（t）的一維概率密度函數為

（3）Y（t）的相關函數R（t₁，t₂）為

其中。則

3-4  已知X（t）和Y（t）是統計獨立的平穩隨機過程，且它們的均值分別為a_X和a_Y，自相關函數分別為R_x（τ）和R_y（τ）。試問兩者之和的過程Z（t）＝X（t）＋Y（t）是否平穩？

解：Z（t）的均值為

Z（t）的自相關函數為

可見，Z（t）的均值為常數且自相關函數僅與時間間隔τ有關，與時間t無關，所以Z（t）是平穩隨機過程。

3-5  設s（t）是一個平穩隨機脈沖序列，其功率譜密度為P_s（f），求已調信號的功率譜密度P_e（f）。

解：方法一：設s（t）的自相關函數為R_s（τ）。

由于s（t）的自相關函數R_s（τ）和功率譜密度P_s（f）是一對傅里葉變換對，所以

又由于e（t）＝s（t）cosω₀t，則e（t）的自相關函數為

利用關系及傅里葉變換的頻移特性，可得

方法二：R_e（τ）可表示為

其中，，

又有，，由傅里葉變換的頻域卷積定理得

3-6  已知隨機過程，其中，m（t）是廣義平穩過程，且其自相關函數為

隨機變量θ在[0，2π]上服從均勻分布，它與m（t）彼此統計獨立。

（1）證明z（t）是廣義平穩過程；

（2）求自相關函數R_z（τ），并畫出波形；

（3）求功率譜密度P_z（f）及功率。

解：（1）已知m（t）是廣義平穩過程，所以E[m（t）]為常數。又隨機變量θ在[0，2π]上服從均勻分布，所以f（θ）＝1/2π（0≤θ≤2π），則z（t）的均值為

z（t）的自相關函數為

所以z（t）的均值與t無關，且自相關函數僅與時間間隔τ有關，故z（t）廣義平穩過程。

（2）自相關函數R_z（τ）為

自相關函數R_z（τ）的波形如圖3-1所示。

圖3-1

（3）由于z（t）是廣義平穩過程，所以有。根據圖3-1，R_z（τ）的波形可視為余弦函數與三角波的乘積。利用傅里葉變換的頻域卷積性質得

且平均功率為

3-7  設X（t）是一個均值為a，自相關函數為R_x（τ）的平穩隨機過程，它通過某線性系統的輸出為

（1）畫出該線性系統的框圖；

（2）求Y（t）的自相關函數和功率譜密度；

（3）求Y（t）的平均功率。

解：（1）由題意可知，該線性系統的框圖如圖3-2所示。

圖3-2

（2）方法一：已知平穩過程通過線性系統后的輸出也是平穩過程。由于該系統是線性系統，所以Y（t）是平穩隨機過程。

因此，Y（t）的自相關函數為

由維納-辛欽定理和傅里葉變換的時移特性可得，Y（t）的功率譜密度為

方法二：該系統的單位沖激響應為

系統相應的傳遞函數為

因此

此時對P_Y（ω）進行傅里葉反變換，則可以得到Y（t）的自相關函數R_Y（τ）。

（3）X（t）的平均功率為R_X（0），因為相關函數為偶函數，即有

R_X（－T）＝R_X（＋T）

所以

R_Y（－T）＝R_Y（＋T）

故Y（t）的平均功率為

3-8  一個中心頻率為f_c、帶寬為B的理想帶通濾波器如圖3-3所示。假設其輸入是均值為零、功率譜密度為n₀/2的高斯白噪聲，試求：

圖3-3

（1）濾波器輸出噪聲的自相關函數；

（2）濾波器輸出噪聲的平均功率；

（3）輸出噪聲的一維概率密度函數。

解：（1）濾波器輸出噪聲n₀（t）的功率譜密度為

由可知，輸出噪聲n₀（t）的自相關函數為

（2）濾波器輸出噪聲n₀（t）的平均功率為

（3）由于高斯過程通過線性系統后的輸出仍為高斯過程，且

所以輸出噪聲n₀（t）的一維概率密度函數為

3-9  一個RC低通濾波器如圖3-4所示，假設其輸入是均值為零、功率譜密度為n₀/2的高斯白噪聲，試求：

（1）輸出噪聲的功率譜密度和自相關函數；

（2）輸出噪聲的一維概率密度函數。

圖3-4

解：（1）RC低通濾波器的傳輸函數為

則輸出噪聲n_o（t）的功率譜密度為

由于，又，所以n_o（t）的自相關函數為

（2）輸出噪聲n_o（t）的均值為

方差為

由于高斯過程通過線性系統后的輸出仍為高斯過程，則噪聲n_o（t）的一維概率密度函數為

3-10  設有一個隨機二進制矩形脈沖波形，它的每個脈沖的持續時間為T_b，脈沖幅度取±1的概率相等。現假設任一間隔T_b內波形取值與任何別的間隔內取值統計無關，且過程具有廣義平穩性，試證：

（1）自相關函數

（2）功率譜密度

解：由題意可知，這是一個等概率發送的雙極性矩形脈沖序列，即有

又由教材式（6.1-26）可得

其中G（f）為g（t）的傅里葉變換，所以該二進制矩形脈沖的功率譜密度為

由維納-辛欽定理可知，Sa函數與門函數是一對傅里葉變換對，兩個Sa函數相乘與兩個門函數的卷積是一對傅里葉變換對，可以得出其自相關函數為一個三角波，即

3-11  圖3-5為單輸入、雙輸出的線性濾波器，若輸入η（t）是平穩過程，求ξ₁（t）與ξ₂（t）的互功率譜密度的表達式。

圖3-5

解：方法一：

ξ₁（t）與ξ₂（t）的互相關函數為

且η（t）為平穩過程，所以，其中τ＝t₂－t₁，故

則ξ₁（t）與ξ₂（t）的互功率譜密度為

令τ_'＝τ＋α－β，則有，故

方法二：設η（t），ξ₁（t）和ξ₂（t）任一實現的截短函數所對應的頻譜函數分別為F_η（ω），和，則由互功率譜密度的定義

可得

3-12  設X（t）是功率譜密度為P_X（f）的平穩隨機過程，讓其通過圖3-6所示的系統。試確定：

（1）輸出過程Y（t）是否平穩？

（2）Y（t）的功率譜密度。

圖3-6

解：（1）已知平穩過程通過線性系統后的輸出過程也是平穩過程。由于該系統是線性系統，所以Y（t）是平穩過程。

（2）該系統的傳輸函數為

則Y（t）的功率譜密度為

3-13  已知平穩隨機過程X（t）的自相關函數R_x（τ）是周期T＝2的周期性函數，其在區間（－1，1）上的截斷函數表達式為

試求X（t）的功率譜密度P_x（ω），并用圖形表示。

解：可以把R_x（τ）看成是截斷函數R_x（τ）與周期T為2的沖激序列δ_T（τ）的卷積，即

因為

又由傅里葉變換的時域卷積定理和維納-辛欽定理可得，X（t）的功率譜密度為

其波形如圖3-7所示（負頻率部分與正頻率部分關于縱軸對稱）。

圖3-7