第3章　隨機(jī)過(guò)程

3.1　復(fù)習(xí)筆記

一、隨機(jī)過(guò)程的基本概念

1、隨機(jī)過(guò)程的兩種定義

①隨機(jī)過(guò)程是所有樣本函數(shù)的集合，記為ξ(t)。

樣本函數(shù)：實(shí)驗(yàn)過(guò)程中一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)x_i(t)，即指某一次具體的實(shí)現(xiàn)。

②隨機(jī)過(guò)程是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。

隨機(jī)變量：某一固定時(shí)刻t₁，不同樣本函數(shù)的取值即為一個(gè)隨機(jī)變量ξ(t₁)。

2．隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)

（1）n維分布函數(shù)的定義

（2）n維概率密度函數(shù)的定義

如果

存在，則稱其為ξ(t)的n維概率密度函數(shù)。

3．隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

（1）均值（數(shù)學(xué)期望）

①均值的定義

隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的均值或數(shù)學(xué)期望定義為

②均值的意義

E[ξ(t)]是時(shí)間的確定函數(shù)，記為a(t)，表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。

（2）方差

①方差的定義

隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的方差定義為

常記為σ2(t)。

②方差的意義

方差等于均方差與均值平方之差，表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t相對(duì)于均值a(t)的偏離程度。

（3）相關(guān)函數(shù)

①協(xié)方差函數(shù)

協(xié)方差函數(shù)的定義為

②自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)的定義為

③R(t₁，t₂)與B(t₁，t₂)的關(guān)系

④R(t₁，t₂)與B(t₁，t₂)的意義

衡量隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。

⑤互相關(guān)函數(shù)

設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則互相關(guān)函數(shù)定義為

二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

1．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

（1）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義

若ξ(t)的任意有限維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)Δ，有

則稱該隨機(jī)過(guò)程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

①一維概率密度與時(shí)間t無(wú)關(guān)，即

②二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔τ＝t₂－t₁有關(guān)，即

（2）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的數(shù)字特性

①均值

均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a，即

　 （3-1-1）

②自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ＝t₂－t₁有關(guān)，即R(t₁，t₁＋τ)＝R(τ)。即

  （3-1-2）

（3）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

把同時(shí)滿足式（3-1-1）和式（3-1-2）的過(guò)程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

（4）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與廣義隨機(jī)過(guò)程的關(guān)系

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。

2．各態(tài)歷經(jīng)性

（1）各態(tài)歷經(jīng)性的定義

隨機(jī)過(guò)程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)稱為各態(tài)歷經(jīng)性。

（2）各態(tài)歷經(jīng)性的意義

具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)均值等于其任一次實(shí)現(xiàn)的時(shí)間均值。

（3）各態(tài)歷經(jīng)性與平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的關(guān)系

具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定成立。

（4）各態(tài)歷經(jīng)性的實(shí)現(xiàn)

如果平穩(wěn)過(guò)程使

成立，則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。

3．平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

（1）自相關(guān)函數(shù)的定義

設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它的自相關(guān)函數(shù)為

（2）自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；

②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函數(shù)；

③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；

④，表示ξ(t)的直流功率；

這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與沒有任何依賴關(guān)系，即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。所以

⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平穩(wěn)過(guò)程ξ(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)＝σ2。

4．平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度

（1）功率譜密度的定義

平穩(wěn)過(guò)程ξ(t)的功率譜密度P_ξ(f)定義為

（2）功率譜密度的特性

①平穩(wěn)過(guò)程的平均功率為

②各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度。即每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過(guò)程的譜特性。

③功率譜密度P_ξ(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有

和

三、高斯隨機(jī)過(guò)程

1．高斯隨機(jī)過(guò)程的定義

如果隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的任意n維（n＝1，2，…）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示為

式中：;|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

為行列式|B|中的元素b_jk的代數(shù)余因子；b_jk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即

2．高斯隨機(jī)過(guò)程的重要性質(zhì)

（1）高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差；

（2）廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程是嚴(yán)平穩(wěn)的；

（3）如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j≠k有b_jk＝0，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；

（4）高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后生成的過(guò)程仍是高斯過(guò)程，即若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過(guò)程，則系統(tǒng)的輸出也是高斯過(guò)程。

3．高斯隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量

（1）一維概率密度函數(shù)

①表達(dá)式

高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為

②圖像

圖3-1  正態(tài)分布的概率密度

③特性

a．f(x)對(duì)稱于x＝a這條直線，即

f(a＋x)＝f(a－x)

b．及；

c．a(chǎn)表示分布中心，σ稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，f(x)圖形將隨著σ的減小而變高和變窄。當(dāng)a＝0，σ＝1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。即

（2）正態(tài)分布函數(shù)

①正態(tài)分布函數(shù)的定義

正態(tài)分布函數(shù)定義為正態(tài)分布的概率密度f(wàn)(x)積分，即

②誤差函數(shù)

a．誤差函數(shù)的定義

erf(x)表示誤差函數(shù)，其定義為

b．誤差函數(shù)的性質(zhì)

erf(0)＝0，erf(∞)＝1，erf（－x）＝－erf(x)。

c．誤差函數(shù)表示分布函數(shù)

②互補(bǔ)誤差函數(shù)

a．互補(bǔ)誤差函數(shù)的定義

erfc(x)表示互補(bǔ)誤差函數(shù)，其定義為

b．互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)

erfc(0)＝1，erfc(∞)＝0，erfc(－x)＝2－erfc(x)。

c．誤差函數(shù)表示分布函數(shù)

正態(tài)分布函數(shù)可用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示為

d．互補(bǔ)誤差函數(shù)的應(yīng)用

當(dāng)x＞a，互補(bǔ)誤差函數(shù)與高斯概率密度函數(shù)曲線尾部下的面積成正比。

四、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)

1．輸出隨機(jī)過(guò)程的表達(dá)式

輸入與輸出隨機(jī)過(guò)程應(yīng)滿足

2．輸出過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性

（1）輸出過(guò)程ξ_o(t)的均值

式中，H(0)為線性系統(tǒng)在f＝0處的頻率響應(yīng)，即直流增益。因此輸出過(guò)程的均值E[ξ_o(t)]是一個(gè)常數(shù)。

（2）輸出過(guò)程ξ_o(t)的自相關(guān)函數(shù)

①輸出過(guò)程ξ_o(t)的自相關(guān)函數(shù)的定義

②輸出過(guò)程ξ_o(t)的自相關(guān)函數(shù)的特性

a．輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)僅僅是時(shí)間間隔τ的函數(shù)；

b．若線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，那么輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。

（3）輸出過(guò)程ξ_o(t)的功率譜密度

輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入過(guò)程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方，即

（4）輸出過(guò)程ξ_o(t)的概率分布

高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后的過(guò)程仍為高斯過(guò)程，有

五、窄帶隨機(jī)過(guò)程

1．窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義

若隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的譜密度集中在中心頻率f_c附近相對(duì)窄的頻帶范圍Δf內(nèi)，即滿足條件，且f_c遠(yuǎn)離零頻率，則稱該ξ(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。

2．窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示

①一般正弦表達(dá)式

窄帶隨機(jī)過(guò)程的樣本的波形如同一個(gè)包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。即

式中，及分別為窄帶隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位；為正弦波的中心角頻率。

②三角函數(shù)展開式

式中，ξ_c(t)是ξ(t)的同相分量；ξ_s(t)是ξ(t)的正交分量，則

3．窄帶隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性

（1）ξ_c(t)和ξ_s(t)的統(tǒng)計(jì)特性

一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程ξ(t)：

①它的同相分量ξ_c(t)和正交分量ξ_s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程；

②ξ_c(t)和ξ_s(t)的均值為零，方差相同；

③在同一時(shí)刻上得到的ξ_c和ξ_s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

（2）的統(tǒng)計(jì)特性

一個(gè)均值為零、方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程ξ(t)：

①包絡(luò)a_ξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φ_ξ(t)的一維分布是均勻分布；

②就一維分布而言，a_ξ(t)與φ_ξ(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即

六、正弦波加窄帶高斯噪聲

1．正弦波加窄帶高斯噪聲的表示

（1）設(shè)正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號(hào)為

式中，，為窄帶高斯噪聲，其均值為0，方差為；為正弦波的隨機(jī)相位，在上均勻分布；振幅A和角頻率均為確知量。

于是

2．正弦波加窄帶高斯噪聲的參量

（1）混合信號(hào)的包絡(luò)

r(t)的包絡(luò)為

（2）混合信號(hào)的相位

r(t)的相位為

（3）r(t)的包絡(luò)和相位的數(shù)字特征

3．正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性

（1）包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征

①包絡(luò)的概率密度函數(shù)為

②包絡(luò)分布函數(shù)f(z)與信噪比的關(guān)系　 

a．小信噪比時(shí)，f(z)接近于瑞利分布；

b．大信噪比時(shí)，f(z)接近于高斯分布；

c．在一般情況下，f(z)是萊斯分布，又稱廣義瑞利分布。

（2）相位的統(tǒng)計(jì)特征

①小信噪比時(shí)，f(φ)接近于均勻分布；

②大信噪比時(shí)，f(φ)主要集中在有用信號(hào)相位附近。

七、高斯白噪聲和帶限白噪聲

1．白噪聲

（1）白噪聲的定義

如果噪聲的功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù)，即

或

式中，n₀為正常數(shù)，則稱該噪聲為白噪聲，用n(t)表示。

（2）白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

　 　　　　　　  　 （3-1-3）

由式（3-1-3）可知，對(duì)于所有的都有，表明白噪聲僅在時(shí)才相關(guān)，在任意兩個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量不相關(guān)。

（3）白噪聲的平均功率

由于白噪聲的帶寬無(wú)限，其平均功率為無(wú)窮大，即

（4）高斯白噪聲

①高斯白噪聲的定義

高斯白噪聲是取值的概率分布服從高斯分布的白噪聲。

②高斯白噪聲的性質(zhì)

高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

2．低通白噪聲

（1）低通白噪聲的定義

低通白噪聲是通過(guò)理想矩形的低通濾波器或理想低通信道輸出的白噪聲，用n(t)表示。

（2）低通白噪聲的功率譜密度

假設(shè)理想低通濾波器具有模為1、截止頻率為｜f｜≤f_H的傳輸特性，則低通白噪聲對(duì)應(yīng)的功率譜密度為

（3）低通白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

①自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式

②自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

由圖3-2（b）可以看出，只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。

（4）低通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的圖形表示

圖3-2  低通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

3．帶通白噪聲

（1）帶通白噪聲的定義

帶通白噪聲是指通過(guò)理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道輸出的白噪聲，用n(t)表示。

（2）帶通白噪聲的功率譜密度

假設(shè)理想帶通濾波器的傳輸特性為

則輸出噪聲的功率譜密度為

（3）帶通白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

（4）帶通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的圖形表示

圖3-3  帶通白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

（5）帶通白噪聲的平均功率

其中，B是指理想矩形的帶通濾波器的帶寬。