3.2　配套考研真題解析

一、證明題

1．設函數f（x）在點的鄰域，（點可能例外）有定義，且對任意的點列，

都成立，試證．[中科院武漢物理與數學研究所2004研]

證：反證法．

設到鄰域邊界的距離為d，若，則存在，對任意的，存在

使得

取，則存在，滿足．再取．則存在滿足．依次類推，取，則存在

，滿足．這樣就得到點列，且

，但，這與題設條件矛盾，得證．

2．設a，b，A均不為零的有限數，證明：的充分必要條件是：

．[華中師范大學2002研]

證：因為

  （3-1）

當

先證必要性．

再證充分性．

由式（3-1）有

　 二、計算題

1．求．[北京化工大學2005研]

解：由洛必達法則知

所以由歸結原則知，．

2．求極限．[中科院研]

解：由，可得

于是