第4章　函數(shù)的連續(xù)性[視頻講解]

4.1　本章要點(diǎn)詳解

本章要點(diǎn)

■連續(xù)性的定義

■間斷點(diǎn)的分類

■連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

■一致連續(xù)性的定義

■一致連續(xù)性定理

重難點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

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一、連續(xù)性概念

1．函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性

（1）定義

①設(shè)函數(shù)f在某U（x₀）上有定義，若

則稱f在點(diǎn)x₀連續(xù)．

　 用方式敘述，即：若對任給的，存在，使得當(dāng)，有

則稱f在點(diǎn)x₀連續(xù)．

②設(shè)函數(shù)f在某內(nèi)有定義，若

則稱f在點(diǎn)x₀右（左）連續(xù)．

（2）定理

函數(shù)f在點(diǎn)x₀連續(xù)的充要條件是：f在點(diǎn)x₀既是右連續(xù)，又是左連續(xù)．

2．間斷點(diǎn)及其分類

（1）定義

設(shè)函數(shù)f在某上有定義，若f在點(diǎn)x₀無定義，或f在點(diǎn)x₀有定義而不連續(xù)，則稱點(diǎn)x₀為函數(shù)f的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)．

若x₀為函數(shù)f的間斷點(diǎn)，則必出現(xiàn)下列情形之一

①f在點(diǎn)x₀無定義或極限不存在．

②f在點(diǎn)x₀有定義且極限存在，但．

（2）分類

①可去間斷點(diǎn)

若，而f在點(diǎn)x₀無定義，或有定義但．則稱x₀為f的可去間斷點(diǎn)．

②跳躍間斷點(diǎn)

若函數(shù)f在點(diǎn)x₀的左、右極限都存在，但，則稱點(diǎn)x₀為函數(shù)f的跳躍間斷點(diǎn)．

可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)，特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在．

③第二類間斷點(diǎn)

函數(shù)的所有其他形式的間斷點(diǎn)，即使得函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的那些點(diǎn)．

3．區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)f在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f為I上的連續(xù)函數(shù)．對于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點(diǎn)，函數(shù)在這些點(diǎn)上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù)．

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二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1．連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)

（1）局部有界性

若函數(shù)f在點(diǎn)x₀連續(xù)，則f在某上有界．

（2）局部保號性

若函數(shù)f在點(diǎn)x₀連續(xù)，且f（x₀）＞0（或＜0），則對任何正數(shù)r＜f（x₀）（或r＜－f（x₀）），存在某使得對一切有

f（x）＞r（或f（x）＜－r）

（3）四則運(yùn)算

若函數(shù)f和g在點(diǎn)x₀連續(xù)，則f±g，，（g（x₀）≠0）也都在點(diǎn)x₀連續(xù)．

（4）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)f在點(diǎn)x₀連續(xù)，g在點(diǎn)u₀連續(xù)，u₀＝f（x₀），則復(fù)合函數(shù)gοf在點(diǎn)x₀連續(xù)．

2．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

（1）定義

設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在x₀∈D，使得對一切x∈D有則稱f在D上有最大（最小）值，并稱f（x₀）為f在D上的最大（最小）值．

（2）最大、最小值定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，則f在[a，b]上有最大值與最小值．

（3）有界性定理

若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界．

（4）介值性定理

設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b）．若μ為介于f（a）與f（b）之間的任何實(shí)數(shù)（f（a）＜μ＜f（b）或f（a）＞μ＞f（b））則至少存在一點(diǎn)x₀∈（a，b），使得

f（x₀）＝μ

（5）根的存在定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號（即f（a）與f（b），則至少存在一點(diǎn)，使得

即方程f（x）＝0在（a，b）上至少有一個根．

3．反函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)f在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)在其定義域或上連續(xù)．

4．一致連續(xù)性

（1）定義

設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若對任給的ε＞0，存在，使得對任何，只要，就有

則稱函數(shù)f在區(qū)間I上一致連續(xù)．

（2）一致連續(xù)性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f在[a，b]上一致連續(xù)．

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三、初等函數(shù)的連續(xù)性

1．指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性

（1）設(shè)a＞0，α，β為任意兩個實(shí)數(shù)，則有

（2）指數(shù)函數(shù)a^x（a＞0）在R上是連續(xù)的．

2．初等函數(shù)的連續(xù)性

（1）一切基本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù)．

（2）任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．