第3章　函數極限[視頻講解]

3.1　本章要點詳解

本章要點

■函數極限的概念

■函數極限的性質

■函數極限的四則運算

■函數極限存在的條件

■兩個重要的極限

■無窮小量階的比較

■漸近線

重難點導學

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一、函數極限概念

1.x趨于∞時函數的極限

設f為定義在[a，＋∞）上的函數，A為定數．若對任給的ε＞0，存在正數M（≥a），使得當x＞M時有|f（x）－A|＜ε，則稱函數f當x趨于＋∞時以A為極限，記作

2.x趨于x₀時函數的極限

設函數f在點x₀的某個空心鄰域U°（x₀；δ'）內有定義，A為定數．若對任給的ε＞0，存在正數δ（＜δ'），使得當0＜|x－x₀|＜δ時有|f（x）－A|＜ε，則稱函數f當x趨于x₀時以A為極限，記作

3．單側極限

設函數f在（或上有定義，A為定數．若對任給的ε＞0，存在正數δ（＜δ′），使得當（或時有

則稱數A為函數f當x趨于x₀^＋（或x₀^－）時的右（左）極限，記作

或

右極限與左極限統稱為單側極限．f在點x₀的右極限與左極限又分別記為

與

4．定理

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二、函數極限的性質

1．唯一性

若極限存在，則此極限是唯一的．

2．局部有界性

若存在，則f在x₀的某空心鄰域內有界．

3．局部保號性

若（或＜0），則對任何正數r＜A（或r＜－A），存在，使得對一切

有

4．保不等式性

設與都存在，且在某鄰域內有，則

5．迫斂性

設，且在某內有

則

6．四則運算法則

若極限與都存在，則函數，，當時極限也存在，且

（1）

（2）

（3）若，則f／g當x→x₀時極限存在，且有

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三、函數極限存在的條件

1．歸結原則

設f在上有定義存在的充要條件是：對任何含于且以x₀為極限的數列，極限都存在且相等．

2．設函數f在點x₀的某空心右鄰域有定義，的充要條件是：對任何以x₀為極限的遞減數列有

3．設f為定義在上的單調有界函數，則右極限存在．

4．柯西準則

設函數f在上有定義．存在的充要條件是：任給ε＞0，存在正數

，使得對任何有．

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四、兩個重要的極限

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五、無窮小量與無窮大量

1．無窮小量

（1）定義

設f在某U⁰（x₀）上有定義，若，則稱f為當x→x₀時的無窮小量．若函數g在某U⁰（x₀）上有界，則稱g為當x→x₀時的有界量．

（2）性質

①兩個（相同類型的）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量．

②無窮小量與有界量的乘積為無窮小量．

2．無窮小量階的比較

設當x→x₀時，f與g均為無窮小量．

（1）若，則稱當x→x₀時f為g的高階無窮小量，或稱g為f的低階無窮小量，記作．

特別，f為當x→x₀時的無窮小量記作．

（2）若存在正數K和L，使得在某U⁰（x₀）上有

則稱f與g為當x→x₀時的同階無窮小量，特別當時，f與g必為同階無窮小量．

（3）若，則稱f與g是當x→x₀時的等價無窮小量，記作

（4）常用等價無窮小

①；

②；

③．

（5）定理

設函數f，g，h在U⁰（x₀）上有定義，且有

①若，則．

②若，則．

3．無窮大量

（1）定義

①設函數f在某U⁰（x₀）上有定義，若對任給的G＞0，存在δ＞0，使得當時有

（3-1）

則稱函數f當x→x₀時有非正常極限∞，記作．

若式（3-1）換成或，則分別稱f當x→x₀時有非正常極限＋∞或－∞，記作

．

②對于自變量x的某種趨向（或n→∞時），所有以∞，＋∞或－∞為非正常極限的函數（包括數列），都稱為無窮大量．

（2）定理

①設f在上有定義且不等于0，若f為x→x₀時的無窮小量，則為x→x₀時的無窮大量．

②若g為x→x₀時的無窮大量，則為x→x₀時的無窮小量．

4．漸近線

若曲線C上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時，點P與某定直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線C的漸近線（如圖3-1所示）．

圖3-1