2.2　配套考研真題解析

計算題

隨機信號X（t）＝Acos（t－θ），已知隨機變量A統計特性為N（1，1），θ是（－π，π）內均勻分布的隨機變量，且A與θ統計獨立。

（1）判斷X（t）廣義平穩性并給出證明；

（2）計算X（t）的協方差函數及相關系數；

（3）計算x（t）的平均功率及功率譜密度。[北京交通大學2007研]

解：（1）因為隨機變量A的統計特性為N（1，1），所以

E（A）＝1，D（A）＝1

又因為

D（A）＝E[A²]－E²[A]

所以

E[A²]＝D（A）＋E²[A]＝1＋1²＝2

由于均值為

自相關函數為

由于

所以x（τ）的均值為0，自相關函數僅與時間差τ有關，即x（t）為平穩隨機過程。

（2）協方差函數為

因為

 

自相關系數為

（3）x（t）的平均功率為

自相關系數與其功率譜密度互為傅里葉變換，即,而R（τ）＝cos（ω_oτ），所以功率譜密度為