第3章　隨機(jī)過程［視頻講解］

3.1　本章要點詳解

本章要點

■隨機(jī)過程的基本概念

■平穩(wěn)隨機(jī)過程

■高斯隨機(jī)過程

■平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

■窄帶隨機(jī)過程

■正弦波加窄帶高斯噪聲

■高斯白噪聲和帶限白噪聲

重難點導(dǎo)學(xué)

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一、隨機(jī)過程的基本概念

設(shè)S_k(k＝1, 2, …)是隨機(jī)試驗。每一次試驗都有一條時間波形(稱為樣本函數(shù))，記作x_i(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x₁(t), x₂(t)，…, x_n(t)，…}構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作ξ(t)。假定有n個性能完全相同的接收機(jī)，每臺接收機(jī)的輸出信號就是一個樣本x_i(t)。無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程。

可以從兩個角度來說明：

（1）把隨機(jī)過程看成是所有樣本函數(shù)的集合；

（2）把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。

1．隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度

（1）隨機(jī)過程的分布函數(shù)

隨機(jī)過程在任一時刻的取值是隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的取值小于等于某一數(shù)值的概率稱為一維概率分布函數(shù)，即

推廣到n維概率分布函數(shù)為

（2）隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)

若分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則其導(dǎo)數(shù)即的一維概率密度函數(shù)

的n維概率密度函數(shù)為

2．隨機(jī)過程的數(shù)字特征

（1）均值（數(shù)學(xué)期望）

隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是時間t的函數(shù)，表示隨機(jī)過程在某時刻的擺動中心（平均值）。

（2）方差

隨機(jī)過程的方差也記為，表示隨機(jī)過程在某時刻的取值（隨機(jī)變量）對該時刻的期望的偏離程度。

（3）自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差

①隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)為

表示隨機(jī)過程在兩個時刻的取值的關(guān)聯(lián)程度，變化越平緩，兩個時刻取值的相關(guān)性越大，R值越大。

②隨機(jī)過程協(xié)方差為

表示隨機(jī)過程在兩個時刻間的線性依從關(guān)系。

③隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)的關(guān)系為

常用協(xié)方差函數(shù)B(t_l，t₂)和自相關(guān)函數(shù)R(t_l，t₂)來衡量隨機(jī)過程任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計相關(guān)特性，即自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)是衡量同一過程的相關(guān)程度的。

（4）互相關(guān)函數(shù)

設(shè)和分別表示兩個隨機(jī)過程，則互相關(guān)函數(shù)為

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二、平穩(wěn)隨機(jī)過程

1．狹義平穩(wěn)（嚴(yán)平穩(wěn)）

（1）定義

若一個隨機(jī)過程x(t)的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，也就是說對于任意的正整數(shù)n和任意實數(shù)t₁，t₂，…t_n，隨機(jī)過程的n維概率密度函數(shù)滿足

則稱這個隨機(jī)過程是狹義平穩(wěn)的(也稱嚴(yán)平穩(wěn))。

（2）性質(zhì)

平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，即

①一維分布與無關(guān)：；

②二維分布只與有關(guān)：。

③嚴(yán)平穩(wěn)的數(shù)字特征

由此可見，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征滿足：

a．其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a；

b．自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔t有關(guān)。

2．廣義平穩(wěn)

若一個隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔τ相關(guān)，稱這個隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的(也稱寬平穩(wěn))，即

狹義平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)，反之不一定成立。

3．各態(tài)歷經(jīng)性

許多平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征完全可由隨機(jī)過程中的任一實現(xiàn)（樣本）的數(shù)字特征來決定，即從隨機(jī)過程中得到的任一實現(xiàn)，可視為其經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。通過這一性質(zhì)，隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望可以由任一實現(xiàn)的時間平均值來代替；隨機(jī)過程的各種統(tǒng)計平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）也可由“時間平均”代替“統(tǒng)計平均”。

若平穩(wěn)隨機(jī)過程使下式成立

則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定。

4．平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

設(shè)為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為

自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：

（1）— x(t)的平均功率；

（2）—t的偶函數(shù)；

（3）—R(t)的上界；

（4）—x(t)的直流功率；

（5）—x(t)的交流功率。

5．平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度

（1）定義

（2）維納-辛欽關(guān)系

平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間互為傅立葉變換關(guān)系，即維納-辛欽關(guān)系

它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。由此可知：

①當(dāng)時，對PSD進(jìn)行積分則可得到平穩(wěn)過程的總功率：；

②各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本的PSD等于過程的PSD；

③PSD具有非負(fù)性和實偶性：，。

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三、高斯隨機(jī)過程

1．定義

如果隨機(jī)過程的任何n維(n＝1，2，...)分布函數(shù)均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。

2．性質(zhì)

（1）高斯過程的n維分布僅由各隨機(jī)變量的均值、方差和兩兩間的協(xié)方差函數(shù)決定。

（2）高斯過程若是寬平穩(wěn)的，則它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。

（3）高斯過程不同時刻的取值若互不相關(guān)，則彼此獨(dú)立。

（4）高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后仍是高斯過程。

3．高斯隨機(jī)變量

（1）定義

高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量。

（2）一維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

①定義

其中，a為均值，σ為方差，如圖3-1所示。

圖3-1  正態(tài)分布的概率密度

②性質(zhì)

a．f(x)對稱于x＝a,即f(x＋a)＝f(x－a)。

b．f(x)在(-∞,a)內(nèi)單調(diào)上升，在(a,∞)內(nèi)單調(diào)下降，且在a點處取得最大值，a變化f(x)左右平移，σ變化，f(x)高矮、寬窄變化。

c．。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若a＝0，σ＝1，則稱這種正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時

③用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)

　 ④用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)

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四、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)，則輸出隨機(jī)過程等于輸入隨機(jī)過程與的卷積，即

圖3-2  隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

若是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：

（1）均值

為線性系統(tǒng)的直流增益，。

（2）自相關(guān)函數(shù)

與時間起點無關(guān)，僅是時間間隔t的函數(shù)。若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。

（3）功率譜密度

當(dāng)需求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)時，可利用上式先求，然后求其傅里葉反變換，這比直接計算要簡單得多。

（4）概率分布

若是高斯型的，經(jīng)過線性系統(tǒng)后的也是高斯型的（數(shù)字特征可能不同）。

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五、窄帶隨機(jī)過程

若隨機(jī)過程的功率譜密度集中在中心頻率附近相對窄的頻率范圍內(nèi)，即滿足條件，且遠(yuǎn)離零頻率，則稱為窄帶隨機(jī)過程。一個典型的窄帶隨機(jī)過程的頻譜密度和波形如圖3-3所示。

圖3-3  窄帶隨機(jī)過程的頻譜密度和波形示意圖

1．表示形式

窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式為

即可表示為

其中，a_x(t)為信號的包絡(luò)；為信號的相位；為窄帶信號的中心頻率（載頻），為同相分量；為正交分量。

窄帶隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位以及同相分量和正交分量都是隨機(jī)緩慢變化的過程，均屬于低通型過程。

2．和的統(tǒng)計特性

若窄帶過程是均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)過程，則和是也平穩(wěn)的，且均值為0；、、的平均功率（方差）相同，為；同時刻、互相獨(dú)立，不相關(guān)。

3．和的統(tǒng)計特性

一個均值為0，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，與是統(tǒng)計獨(dú)立的。即

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六、正弦波加窄帶高斯噪聲

1．正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號表示式

信號表達(dá)式為

包絡(luò)為

  相位為

2．正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計特性

包絡(luò)服從廣義瑞利分布，又稱萊斯分布，其概率密度為

其中，為0階修正貝塞爾函數(shù)。當(dāng)信噪比時，它退化為瑞利分布，當(dāng)信噪比很大時，它趨于高斯分布。