第1章　函　數

一、填空題

設（　　）．[浙江大學研]

A．0　　　

B．1　　　

C．　　　

D．

【答案】B

【解析】

二、解答題

1．使用確界原理證明單調遞減的有界數列必有極限。[天津大學研]

證明：確界原理，即有上界的非空集必有上確界，有下界的非空集必有下確界。

設為單調遞減且有界的數列，則由確界原理可知，存在。下面證該下確界就是的極限。

由下確界定義：

（1）對任意的n，有，當然成立，這ε為任意小的正數。

（2）對上述任意的ε，存在N，當n>N時，有。又因為條件（1），所以成立。

2．設S是非空集合，ξ＝infS，試證明：若ξ∈S，則S中必存在一個嚴格單調遞減的，使得[北京航空航天大學研]

證明：若ξ＝infS，即（1）對任意的x∈S，有X≥ξ：（2）對任意的ε>0，存在，使得取，存在，使得。改變n的值，有

依次類推，有而且滿足很明顯，為一個嚴格單調遞減的數列，且

3．設{xy}為所有xy乘積的集合，其中，且x≥0及y≥0．證明：

 [武漢大學研]

證明：設　　　 　　　　　①

　  　　　　　  　　　②

又

　　 　　　　　③

由，∴存在

由③有　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　④

由②，④得證

4．設．[同濟大學研]

解：當

當－1≤x＜0時，

當x＜－1時，

5．證明：函數為R上的有界函數．[湖北大學2001研]

證：

∴取ε＝1，存在N＞0，當又f（x）在內連續．從而有界，即

綜上兩式知f（x）在R上有界．

6．設，求f（x）的定義域和f（f（－7））．[中國人民大學研]

解：由3－x＞0，3－x≠1，49－x²≥0，解得，從而f（x）的定義域為

又