第2章　序列的極限

1．求下列極限：

（1）．[北京大學研]

（2）f（x）在[－1，1]上連續，恒不為0，求．[華中師范大學研]

解法1：

　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　①

由①式及兩邊夾法則，．

（2）

故

解法2：

f在[－1，1]上連續；因而f（x）有界

2．設數列單調遞增趨于

　　　　　　 　　　　①

證明：（1）

（2）設　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

證明：，并利用（1），求極限．[中國人民大學研]

證明：（1）（i）先設，由①式，，存在N>0，當n>N時有

特別取n＝N＋1，N＋2，……

將這些式子統統相加得

此即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

而

由于以及③式，

（ii）再當時．由①有

　　　　　　　  　　　　　　 ④

　　　　　　 　　　　　　　 ⑤

下證遞增趨于，由④知，．當n>N₁時，有

  　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

，即單調遞增．由⑥式有，從而有

將這些式子統統加起來有

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

顯然當時，，由⑤式及上面（i）的結論有

（iii）當時，只要令，則由上面（ii）可證

（2）單調遞減．因為，所以．即有下界，從而（存在）．由兩邊取極限有此即

再求，考慮

　　　 　　　　　　　　⑧

　 　　　　　　　　　　 ⑨

　　 　⑩

由⑨⑩兩式

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?

將?代入⑧得

3．求極限．[中國科學院研]

解：解法1 

解法2  設

單調增，又，則有上界，故收斂．

令

得

4．已知，求證： ．[哈爾濱工業大學、武漢大學研]

證明：（1）當a＝0時，那么，存在N>0，當n>N時

（2）當a≠0時．因為

令，則對，存在N>0，當n>N時，有而

5．設，且，n＝1，2，…，證明收斂并求其極限。[西安電子科技大學研]

證明：顯然有。由可得于是

故收斂，其極限為

6．設，證明：[上海交通大學研]

證明：因為，所有對任意的ε，存在N，則對任意的n>N，有則

再由可知左右兩側的極限存在且相等，都等于

7．設求．[南京大學研、山東師范大學2006研]

解：由于，根據遞推關系和數學歸納法可知于是有

因此為單調遞增有界數列，故存在極限，記為x。在遞推關系式中令

，

解得x＝2，從而

8．設證明收斂，并用表示其極限。[北京理工大學研]

證明：所以對任意的自然數n、P，有

當n→∞時，，因為由Cauchy收斂準則可知收斂，因為

兩邊取極限，利用等比數列的求和公式，則

9．數列

　　　　　　　　 　　　　　　 ①

求．[湖南大學研]

解：

　　　　　　　 　　　　 ②

由②式有

把上面各式相加得

兩邊取極限

10．設是一個無界數列．但非無窮大量，證明：存在兩個子列，一個是無窮大量，另一個是收斂子列．[哈爾濱工業大學研]

證明：取充分大的數M>0，則數列中絕對值不超過M的個數一定有無窮多個，（否則是無窮大量了），記A為中絕對值不超過M的元素所成集合，則A是含無限項的有界集

（1）因為滿足的有無窮多項，任取一又使的有無窮多項．

取，且，如此下去，得一的子列

于是有

（2）若A中有無窮多項是相同的數a．則取其為的子列

是收斂子列．

若A無相等的無窮多項，將[－M，M]等分為二則其中必有一區間含A中的無窮多項，令其為[a，b]，取x_n1∈[a，b]，再將[a，b]等分為二，則其中必有一區間含A中無窮多項，令其為，又再將[a₁，b₁]等分為二，令含A中無窮多項的為[a₂，b₂]取且n₃>n₂，如此下去，得一子列

且．由閉區間套原理

于是

的收斂子列，或者A為有界集，應用有界數列必有收斂子列定理，知必有收斂的子列．