第11章　Euclid空間上的極限和連續

11.1　復習筆記

一、Euclid空間上的基本定理

1.Euclid空間上的距離與極限

（1）Euclid空間的引入

①記R為實數全體，定義n個R的Descartes乘積集為

Rⁿ中的元素x＝（x₁，x₂，…，x_n）稱為向量或點，x_i稱為x的第i個坐標．特別地，Rⁿ中的零元素記為0＝（0，0，…，0）．

②設

為Rⁿ中任意兩個向量，λ為任意實數，定義Rⁿ中的加法和數乘運算：

Rⁿ就稱為向量空間．

③在向量空間Rⁿ上引入內積運算

那么向量空間Rⁿ稱為Euclid空間．

（2）內積的性質

設則內積滿足：

①正定性當且僅當x＝0；

②對稱性

③線性性

④Schwarz不等式

（3）Euclid空間上的距離

①定義  Euclid空間Rⁿ中任意兩點x＝（x₁，x₂，…，x_n）和y＝（y₁，y₂，…，y_n）的距離定義為

并稱

為x的Euclid范數（簡稱范數）．顯然，x的范數就是x到0的距離（即x的模長）．

②距離滿足以下性質：

a．正定性當且僅當x＝y；

b．對稱性

c．三角不等式

（4）點列的收斂性

①設

則點集

稱為點a的δ鄰域，a稱為這個鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑．

特別地，O（a，δ）在R上就是開區間，在R²上是開圓盤，在R³上則是開球．

②設{x_k}是Rⁿ中的一個點列．若存在定點a∈Rⁿ，對于任意給定的ε＞0，存在正整數K，使得當k＞K時，

則稱點列{x_k}收斂于a，記為，而稱a為點列{x_k}的極限．不收斂的點列稱為發散點列．

③記

則

的充分必要條件是

2.Euclid空間上的有界集、開集、閉集

（1）有界集

設S是Rⁿ上的點集．若存在正數M，使得對于任意x∈S．

（或等價地，存在正數M'使得）則稱S為有界集．

（2）內點、外點、邊界點

①存在x的一個δ鄰域O（x，δ）完全落在S中（注意：這時x必屬于S），這時稱x是S的內點．S的內點全體稱為S的內部，記為S^o．

②存在x的一個δ鄰域O（x，δ）完全不落在S中，這時稱x是S的外點．S的外點的全體稱為S的外部，記為S^c．

③不存在x的具有上述性質的δ鄰域，即x的任意δ鄰域既包含S中的點，又包含不屬于S的點，那么就稱x是S的邊界點．S的邊界點的全體稱為S的邊界，記為．

注：內點必屬于S，外點必不屬于S（或者說必屬于S^c），但邊界點可能屬于S，也可能不屬于S．

（3）孤立點、聚點

①若存在x的一個鄰域，其中只有x點屬于S，則稱x是S的孤立點．顯然，孤立點必是邊界點．

②若x的任意鄰域都含有S中的無限個點，則稱x是S的聚點．S的聚點的全體記為S'．

注：S的內點必是S的聚點；S的邊界點，只要不是S的孤立點，也必是S的聚點．因此S的聚點可能屬于S，也可能不屬于S．

③定理  x是點集的聚點的充分必要條件是：存在點列{x_k}滿足使得

．

（4）開集與閉集

①定義  設S是Rⁿ上的點集．若S中的每一個點都是它的內點，則稱S為開集；若S中包含了它的所有的聚點，則稱S為閉集．S與它的聚點全體S'的并集稱為S的閉包，記為．

②定理  Rⁿ上的點集S為閉集的充分必要條件是S^c是開集．

③DeMorgan公式  設{S_a}是Rⁿ中的一組（有限或無限多個）子集，則

a．

b．

④定理  a．任意一組開集{S_a}的并集是開集；

b．任意一組閉集{T_a}的交集是閉集；

c．任意有限個開集S₁，S₂，…，S_k的交集是開集；

d．任意有限個閉集T₁，T₂，…，T_k的并集是閉集．

3.Euclid空間上的基本定理

（1）閉矩形套定理

設

是R²上一列閉矩形．如果

①

即

②

則存在惟一的點

屬于，且

（2）重要定理

①Cantor閉區域套定理  設{S_k}是Rⁿ上的非空閉集序列，滿足

以及

則存在惟一點屬于，這里

稱為S的直徑．

②Bolzano-Weierstrass定理  Rⁿ上的有界點列{x_k}中必有收斂子列．

③推論  Rⁿ上的有界無限點集至少有一個聚點．

4．基本點列

（1）定義

若Rⁿ上的點列{x_k}滿足：對于任意給定的ε＞0，存在正整數K，使得對任意k，l＞K成立，

則稱{x_k}為基本點列（或Cauchy點列）．

（2）Cauchy收斂原理

Rⁿ上的點列{x_k}收斂的充分必要條件是：{x_k}為基本點列．

5．開覆蓋與緊集

（1）開覆蓋

設S為Rⁿ上的點集．如果Rⁿ中的一組開集{U_a}滿足，那么稱{U_n}為S的一個開覆蓋．

（2）緊集

如果S的任意一個開覆蓋{U_a}中總存在一個有限子覆蓋，即存在{U_a}中的有限個開集滿足，則稱S為緊集．

（3）相關定理

①Heine-Borel定理  Rⁿ上的點集S是緊集的充分必要條件為：它是有界閉集．

②定理  設S是Rⁿ上的點集，那么以下三個命題等價：

a．S是有界閉集；

b．S是緊集；

c．S的任一無限子集在S中必有聚點．

注：Cantor閉區域套定理、Bolzano-Weierstrass定理、Cauchy收斂原理和Heine-Borel定理稱為Euclid空間上的基本定理，它們是相互等價的．

二、多元連續函數

1．多元函數

設D是Rⁿ上的點集，D到R的映射

稱為n元函數，記為z＝f（x）．這時，D稱為f的定義域，

稱為f的值域，

稱為f的圖像．

2．多元函數的極限

設D是Rⁿ上的開集．

為一定點，z＝f（x）是定義在上的n元函數，A是一個實數．如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當時，成立

則稱當x趨于x₀時f收斂，并稱A為f當x趨于x₀時的（n重）極限，記為

3．累次極限

（1）相關定義

①設D是R²上的開集，為一定點，z＝f（x，y）為定義在上的二元函數．如果對于每個固定的y≠y₀，極限存在，并且極限存在，那么稱此極限值為函數f（x，y）在點（x₀，y₀）先對x后對y的二次極限．同理可定義先對y后對x的二次極限

注：一個二次極限存在不能保證另一個二次極限也存在；即使兩個二次極限都存在，也不一定相等．兩個極限運算不一定可以交換次序．

（2）重要定理

①若二元函數f（x，y）在（x₀，y₀）點存在二重極限

且當x≠x₀時存在極限

那么f（x，y）在（x₀，y₀）點的先對y后對x的二次極限存在且與二重極限相等，即

（2）若二元函數f（x，y）在（x₀，y₀）點存在二重極限

且當時存在極限

那么

（3）若函數f（x，y）的二重極限及兩個二次極限都存在，則三者必相等，即

此時極限運算可以交換次序．

4．多元函數的連續性

（1）設D是Rⁿ上的開集，z＝f（x）是定義在D上的函數，為一定點．如果

則稱函數f在點x₀連續．

（2）“ε-δ”定義  如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當時，成立則稱函數f在點x₀連續．

（3）如果函數f在D上每一點連續，就稱f在D上連續，或稱f是D上的連續函數．

5．向量值函數極限

（1）向量值函數的定義

設D是Rⁿ上的點集，D到R^m的映射

稱為n元m維向量值函數（或多元函數組），記為z＝f（x）．D稱為f的定義域，

稱為f的值域．多元函數是m＝1的特殊情形．

（2）向量值函數的極限

設D是Rⁿ上的開集，x₀∈D為一定點，是映射（向量值函數），A是一個m維向量．如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當時，成立

則稱A為當x趨于x₀時f的極限，并稱x趨于x₀時f收斂．記為

（3）向量值函數的連續性

①設D是Rⁿ上的開集，x₀∈D為一定點．是映射（向量值函數）．如果f滿足

那么稱f在x₀點連續．

②ε-δ定義  如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當時，成立

則稱f在點x₀處連續．

③如果映射f在D上每一點連續，就稱f在D上連續，稱映射f為D上的連續映射．

④定理  設D是Rⁿ上的開集，x₀∈D為一定點．那么映射f：D→R^m在x₀點連續的充分必要條件為：函數f₁，f₂，…，f_m在x₀點連續．

（4）復合映射的連續性

①定義  設Ω是R^k上的開集，D為Rⁿ上的開集．為映射．并且g的值域g（D）滿足，則可以定義復合映射

②定理  如果g在D上連續，f在Ω上連續，那么復合映射在D上連續．

三、連續函數的性質

1．緊集上的連續映射

（1）連續的定義

①設點集為映射（向量值函數）．如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當時，成立

則稱f在點x₀連續．

②如果映射f在K上每一點連續，就稱f在K上連續，或稱映射f為K上的連續映射．

（2）相關定理

①連續映射將緊集映射成緊集．

②有界性定理  設K是Rⁿ中緊集，f是K上的連續函數，則f在K上有界．

③最值定理  設K是Rⁿ中緊集，f是K上的連續函數，則f在K上必能取到最大值和最小值．即存在，使得對于一切x∈K成立

（3）一致連續性

①設K是Rⁿ中點集，f：K→R^m為映射．如果對于任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得|f（x′）－f（x′′）|＜ε

對于K中所有滿足|x′－x′′|＜δ的x′，x′′成立，則稱f在K上一致連續．

注：一致連續的映射一定是連續的，但反之不然．

②（一致連續性定理）設K是R′′中緊集，f：K→R^m為連續映射，則f在K上一致連續．

2．連通集與連通集上的連續映射

（1）連通集

①設S是Rⁿ中點集，若連續映射的值域全部落在S中，即滿足，則稱γ為S中的道路，γ（0）與γ（1）分別稱為道路的起點與終點．

②若S中的任意兩點x，y之間，都存在S中以x為起點，y為終點的道路，則稱S為（道路）連通的，或稱S為連通集．

②開區域、閉區域  連通的開集稱為（開）區域．（開）區域的閉包稱為閉區域．

（2）相關定理

①定理  連續映射將連通集映射成連通集．

②推論  連續函數將連通的緊集映射成閉區間．

③中間值定理  設K為Rⁿ中連通的緊集，f是K上的連續函數．則f可取到它在K上的最小值m與最大值M之間的一切值，即f的值域是閉區間[m，M]．