10.3　名校考研真題詳解

一、選擇題

1．若多項(xiàng)式函數(shù)列在上一致收斂于函數(shù)，則必是多項(xiàng)式函數(shù)．（　　）[華東師范大學(xué)2009研]

【答案】對

【解析】設(shè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列在R上一致收斂于實(shí)值函數(shù)，證明：也是多項(xiàng)式．因?yàn)閷?shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列在R上一致收斂于實(shí)值函數(shù)，所以對任意，存在，使得當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image1803.png?sign=1753756011-8wTk4dmik3bico9Jy8qFaYKkwz6GtGHs-0-10da7b5fb31de3fbbe0485aaa36573d3">也是多項(xiàng)式，若不為常數(shù)，則當(dāng)趨于無窮時(shí)，也趨于無窮，矛盾．所以，其中為一無窮小序列．

由上面結(jié)論及是多項(xiàng)式，可知當(dāng)時(shí)，，其中為某一固定的多項(xiàng)式，為某一收斂列，且（因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image1813.png?sign=1753756011-50qC5At2FNhhmCIwikoQdB8xgqmAKSMS-0-b6070c396d5ab8ce9de33576e9f354e4">為柯西列）．

因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image1814.png?sign=1753756011-STwevLmwR12iW5EP1ERvuS1rGX8Ypzza-0-68f83342c8163f975e4e6d4213b7b022">，一致收斂于0，及，所以有，即也是多項(xiàng)式，結(jié)論得證．

2．下列函數(shù)中不能在x=0處展開成冪級數(shù)的是（　　）．[南京航空航天大學(xué)研]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】冪級數(shù)其實(shí)是Tay1or展開式的擴(kuò)展，所以要求函數(shù)在x=0處n階可導(dǎo)，n+1階導(dǎo)數(shù)存在．很明顯A在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，所以不能展開成冪級數(shù)．

二、解答題

1．證明：

．[大連理工大學(xué)2012研]

證明：假設(shè)，所以

因此

所以

當(dāng)時(shí)，，存在

，存在

所以級數(shù)在上一致收斂．

當(dāng)時(shí)，，

所以級數(shù)在上不一致收斂．

2．設(shè)f_n（x）在[a，b]上連續(xù)，且{f_n（b）}發(fā)散．證明{f_n（x）}在[a，b）上不一致收斂．[武漢大學(xué)研]

證明：假設(shè){f_n（x）}在[a，b）上一致收斂，由柯西準(zhǔn)則知：對

當(dāng)n，m>N時(shí)，對一切x∈[a，b）有

又f_n（x）在[a，b]上連續(xù)，故

即 的收斂域與和函數(shù)．[蘭州大學(xué)2009研]

解：（1）求收斂域．

因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image1908.jpg?sign=1753756011-Wk8IyGYdCnCaLs6gfQXH9ifTXAe23S3I-0-84c2ea8fe72ae5a8ef9e719611579b26" width="220">

所以當(dāng)|x|＜1時(shí)，原冪級數(shù)絕對收斂；

當(dāng)x＝－1時(shí)，原冪級數(shù)＝" />收斂，且為條件收斂；

當(dāng)x＝1時(shí)，原冪級數(shù)＝亦為條件收斂；

當(dāng)|x|＞1時(shí)，原冪級數(shù)發(fā)散．

所以原冪級數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)閇－1,1]．

（2）求和函數(shù)．

所以級數(shù)的收斂半徑為e.

當(dāng)y=±e時(shí)，

所以在y=±e處不收斂.

解不等式得或

因此原級數(shù)的收斂區(qū)間為

9．設(shè)證明：

（1）f（x）在上可導(dǎo)，且一致連續(xù)；

（2）反常積分發(fā)散．[蘭州大學(xué)2009研]

證明：（1）①記對" />，

所以在[0，上連續(xù)．

對于任意的＜時(shí)，

　 

　  ＜

所以f（x）在上一致連續(xù)；

②由" />在[0，上連續(xù)可導(dǎo)，

且

（2）由于

則由Cauchy收斂準(zhǔn)則，知反常積分發(fā)散．

10．求級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)．[華中師范大學(xué)研]

解：，所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為（－1，1）．

當(dāng)x=±1時(shí)，

所以級數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?，1）.

記，則

所以　 的收斂區(qū)間為（－1,1）．

當(dāng)x＝1或－1時(shí)，級數(shù)不收斂，故原級數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?,1）．

所以當(dāng)|x|＜1時(shí)，和函數(shù)為

．

14．展開為x的冪級數(shù)．[華中科技大學(xué)研]

解：根據(jù)題意，，（否則，f（x）將不存在），得

又

故　  ，證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂．[北京航空航天大學(xué)研]

證明：因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image2001.jpg?sign=1753756011-06fjEuZXENVxGNGgf2G4YpzmHhEm9nio-0-02812baf9fb5ee4a0071cd0af53f2b46">，所以

即當(dāng)時(shí)，部分和一致有界，而單調(diào)遞減，且一致趨于0．所以由Dirichlet判別法可得

在上一致收斂．

17．設(shè)" />，證明在[a，b]上有定義，由使得下式成立

且逐點(diǎn)有，證明：在[a，b]上一致收斂．[哈爾濱工業(yè)大學(xué)2006研]

證明：做[a，b]的個(gè)分割，使得，令（i=0，1，2，…，k－1）．現(xiàn)設(shè)，則存在0≤i≤k－1，使得．由于收斂，從而存在

，使得

所以對任意的，且m≥n＞N，有

于是由Cauchy收斂準(zhǔn)則知在[a，b]上一致收斂．

20．對任意δ＞0．證明級數(shù)" />在（1,1+δ）上不一致收斂．[武漢大學(xué)2005研]

證明：反證法

.

于是，.

取，得

，

解得　  .

24．求冪級數(shù)的收斂域．[北京師范大學(xué)研]

解：由于，所以收斂半徑R=1．

當(dāng)α>1時(shí)，由于，所以收斂，故收斂域?yàn)閇－1，1]．

當(dāng)α≤1時(shí)，，所以發(fā)散．

由于當(dāng)n充分大時(shí)，單調(diào)遞減趨于0，所以收斂，故收斂域?yàn)閇－1，1）．

綜合起來，當(dāng)α>1時(shí)，收斂域?yàn)閇－1，1]；當(dāng)α≤1時(shí)，收斂域?yàn)閇－1，1）．

25．求．[山東師范大學(xué)研]

解：令，易知其收斂域?yàn)椋ǎ蓿?∞）．由冪級數(shù)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性知

又f（0）=0，從而．于是

26．若冪級數(shù)在（－1，1）內(nèi)收斂于f（x）．設(shè)滿足和，則．[南京理工大學(xué)研、南開大學(xué)2006研]

證明：因?yàn)閮缂墧?shù)在（－1，1）內(nèi)收斂于f（x），所以f（x）在（－1，1）內(nèi)任意次可導(dǎo)，且．

由于滿足，故存在嚴(yán)格單調(diào)遞減或嚴(yán)格單調(diào)遞增的子列（不妨仍記為本身）趨于0．不妨設(shè){x_n}嚴(yán)格單調(diào)遞減趨于0，由知

根據(jù)Ro11e定理，存在

使得，從而（n→∞時(shí)）

且存在，使得

，且存在

使得

于是對于n=0，1，2，…恒有，從而

27．將函數(shù)在x=0處展開成冪級數(shù)．[北京交通大學(xué)研]

解：由于sint的冪級數(shù)展開式為，從而

于是

28．已知，求．[武漢大學(xué)2006研]

證明：因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/FB9AC0/15436375004473606/epubprivate/OEBPS/Images/image2158.jpg?sign=1753756011-qD4aItubyJ3OpQHNwgcQPBCxAFdsYTNc-0-9345fe324ead3bf4135d4f56ca867a9d">，所以