第6章　離散系統(tǒng)的z域分析

一、選擇題

1．已知某序列的雙邊z變換及其收斂域?yàn)?img alt="" height="27" src="https://epubservercos.yuewen.com/987660/15436368404447506/epubprivate/OEBPS/Images/image101.jpg?sign=1755299020-lFswWt1v1TvNyd38ir0QKaCnB02JQrI7-0-8a0d6f20d8b5de4b026f28513b623950" width="226">則原序列是（　　）。[東南大學(xué)研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】已知雙邊z變換及其收斂域對其做z的逆變換有

。

2．序列的單邊z變換等于（　  ）。[北京郵電大學(xué)研]

【答案】D

【解析】根據(jù)離散序列單邊z變換的定義

3．已知線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為，請問該系統(tǒng)是不是穩(wěn)定系統(tǒng)？（　　）[電子科技大學(xué)研]

A．由輸入決定

B．不穩(wěn)定

C．可能穩(wěn)定

D．穩(wěn)定

【答案】B

【解析】由沖激響應(yīng)而為了系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)。因此，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

4．離散序列的z變換及收斂域?yàn)椋ā?nbsp; ）。[西安電子科技大學(xué)研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用z變換的定義求解Z變換：

二、填空題

1．象函數(shù)則原序列。[西安電子科技大學(xué)研]

【答案】

【解析】　 

根據(jù)給定的收斂域可知，上式第一項(xiàng)的原序列為因果序列，第二項(xiàng)的原序列為反因果序列，故

2．若離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)則描述該系統(tǒng)的差分方程為_____。[北京交通大學(xué)研]

【答案】

【解析】對單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行z變換可得系統(tǒng)函數(shù)為

由系統(tǒng)函數(shù)的定義可以得到差分方程的z域表示式為，進(jìn)行z反變換即得差分方程為。

3．已知實(shí)信號(hào)的Z變換有一個(gè)極點(diǎn)為1＋j，則的Z變換有_____個(gè)極點(diǎn)，是_____。[華南理工大學(xué)2011研]

【答案】2；

【解析】為實(shí)信號(hào)，則其極點(diǎn)應(yīng)共軛存在，可知另一個(gè)極點(diǎn)為。根據(jù)z變換時(shí)間反轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：

也就是的收斂域是收斂域的倒置。即的極點(diǎn)為。

二、分析計(jì)算題

1．已知兩個(gè)級(jí)聯(lián)型系統(tǒng)，其中第一個(gè)系統(tǒng)的輸入是z（n），系統(tǒng)函數(shù)為輸出叫（n）。第二個(gè)系統(tǒng)輸入w（n），系統(tǒng)函數(shù)輸出y（n）。

（1）求該系統(tǒng)總的系統(tǒng)函數(shù)H（z），并寫出系統(tǒng)的差分方程；

（2）當(dāng)輸人為且時(shí)，求全響應(yīng)；

（3）當(dāng)輸人為求全響應(yīng)。[上海交通大學(xué)研]

解：

系統(tǒng)差分方程為

設(shè)對應(yīng)零輸入響應(yīng)則有

設(shè)對應(yīng)零輸入響應(yīng)，則有

2．描述某線性非移變離散系統(tǒng)的差分方程為；已知

，；

試用Z變換方法求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。[天津工業(yè)大學(xué)2006研]

解：由系統(tǒng)差分方程及，可求出

系統(tǒng)差分方程兩邊取Z變換可得

而

同時(shí)將代入上式，有

其中，

由

反變換得零狀態(tài)響應(yīng)為；

由

反變換得零輸入響應(yīng)為

所以，全響應(yīng)為

3．已知某個(gè)IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)如圖6-1所示，圖中D為單位延時(shí)，試求其單位階躍響應(yīng)s[n]，并計(jì)算在如下因果輸入x[n]時(shí)、濾波器輸出y[n]的前5個(gè)序列值。[中國科技大學(xué)研]

圖6-1

解：首先，求出該IIR數(shù)字濾波器的的差分方程表示。單位延時(shí)的系統(tǒng)函數(shù)為2，故該IIR數(shù)字濾波器可畫成圖6-2的結(jié)構(gòu)。由圖中看出，它是系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的級(jí)聯(lián)。

圖6-2

對于左邊的系統(tǒng)1，有如下關(guān)系

聯(lián)立這兩式可以得到，或系統(tǒng)1的系統(tǒng)函數(shù)

右邊的系統(tǒng)z是離散時(shí)間一階系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù)為：

該IIR數(shù)字濾波器的總系統(tǒng)函數(shù)為：

它的差分方程表示為：

然后，用差分方程的遞推算法求在給定因果輸入x[n]時(shí)、濾波器輸出的前5個(gè)序列值。V1boqi的后推方程為：

則在本小題給定的因果輸入x[n]時(shí)，濾波器輸出的前5個(gè)序列值計(jì)算如下：

4．已知某離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入f（n）和輸出y（n）由下面的差分方程描述

y（n）＋（3/4）y（n－1）＝f（n）

試問該系統(tǒng)具有何種濾波特性（低通、高通、帶通或全通）?為什么?[長沙理工大學(xué)2005研]

解：對差分方程取單邊z變換，得：

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)定義，有

由于收斂域包含單位圓，因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

很顯然，該濾波器是一個(gè)高通濾波器。

5．已知某二階線性時(shí)不變離散因果系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h（k）滿足差分方程

（k），B為常數(shù)。

當(dāng)輸入激勵(lì)為時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為

試：（1）求常數(shù)B；

（2）求系統(tǒng)的輸入輸出差分方程；

（3）畫出其直接型框圖，并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

（4）列寫相變量法狀態(tài)方程和輸出方程。[東南大學(xué)研]

解：（1）求解差分方程

并利用h（－1）=0，得

由產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)

對比由產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)

可得

（2）

故

即描述系統(tǒng)的差分方程為

（3）畫出系統(tǒng)的直接型框圖如圖6-3所示。由于兩個(gè)極點(diǎn)；均位于單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6-3

（4）如解題圖7－3—19所示，選擇兩個(gè)延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變量，列寫出狀態(tài)方程和輸出方程如下：

6．描述某離散LTI系統(tǒng)的差分方程為，若系統(tǒng)穩(wěn)定，求該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。[華中科技大學(xué)2008研]

解：由題可知，差分方程可以化簡為

由系統(tǒng)函數(shù)的定義得：

因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定，所以的收斂域?yàn)椋?img alt="" height="41" src="https://epubservercos.yuewen.com/987660/15436368404447506/epubprivate/OEBPS/Images/image212.png?sign=1755299020-3464I6aWcv3zMc7IY1zU0xjNEqQv7nbS-0-2f3a63b324970d13e3de239115cca8bc" width="65">

對作因式分解得

該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為

7．已知因果系統(tǒng)的差分方程為

（1）求H（z），h（k）；

（2）當(dāng)y（－1）=1，y（－2）=0，f（k）=δ（k）時(shí)，求全響應(yīng)y（k），零輸入響應(yīng)y_x（k），零狀態(tài)響應(yīng)y_f（k）。[浙江大學(xué)研]

解：（1）

故

（2）當(dāng)f（k）=δ（k）時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)y_f（k）就是h（k），即

零輸入響應(yīng)的通解為

聯(lián)立求解得

故

故全響應(yīng)為

8．求因果序列的初值和終值，已知該序列z變換為。[中國科學(xué)院研究生院2012研]

解：

由于的兩個(gè)極點(diǎn)分別為，可知的收斂域不包含單位圓，則該序列無終值。