§3　二次曲面

在前面兩節(jié)中，我們對幾何特征很明顯的球面、旋轉(zhuǎn)面、柱面、錐面建立了它們的方程.本節(jié)則對于比較簡單的二次方程，從方程出發(fā)去研究圖形的性質(zhì).

我們已經(jīng)知道，二次方程

分別表示橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面，而二次方程

則表示二次錐面.現(xiàn)在再研究幾個二次方程表示的圖形.

3.1　橢球面

方程

表示的曲面稱為橢球面.它有下述性質(zhì)：

（1）對稱性.因為方程（3.1）中用-x代x，方程不變，于是若點(diǎn)P（x,y，z）T在橢球面（3.1）上，則點(diǎn)P關(guān)于Oyz平面的對稱點(diǎn)（-x,y，z）T也在此橢球面上，所以此橢球面關(guān)于Oyz平面對稱.同理，由于方程（3.1）中用-y代y（-z代z）方程不變，所以此橢球面關(guān)于Ozx平面（Oxy平面）對稱.因為方程（3.1）中同時用-x代x，用-y代y，方程不變，所以圖形關(guān)于z軸對稱.由類似的理由知，圖形關(guān)于y軸，x軸也對稱.因為方程（3.1）中同時用-x代x，-y代y，-z代z，方程不變，所以圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.總而言之，三個坐標(biāo)面都是橢球面（3.1）的對稱平面，三根坐標(biāo)軸都是它的對稱軸，原點(diǎn)是它的對稱中心.

（2）范圍.由方程（3.1）立即看出

|x|≤a，|y|≤b，|z|≤c.

（3）形狀.曲面（3.1）與Oxy平面的交線為

這是在Oxy平面上的一個橢圓.同理可知，曲面（3.1）與Oyz平面（Oxz平面）的交線也是橢圓.橢球面的圖形如圖3.14所示.

用平行于Oxy平面的平面z=h截曲面（3.1）得到的交線（稱為截口）為

當(dāng)|h|＜c時，截口是橢圓；當(dāng)|h|=c時，截口是一個點(diǎn)；當(dāng)|h|＞c時，無軌跡.

（4）等高線.把平行于Oxy平面的截口投影到Oxy平面上得到的投影線稱為等高線（如圖3.15）.

3.2　單葉雙曲面和雙葉雙曲面

方程

表示的曲面稱為單葉雙曲面.它有下述性質(zhì)：

（1）對稱性.三個坐標(biāo)面都是此圖形的對稱平面，三根坐標(biāo)軸都是它的對稱軸，原點(diǎn)是它的對稱中心.

（2）范圍.由方程（3.2）得

所以此曲面的點(diǎn)全在柱面

的外部或柱面上.

（3）形狀.此曲面與Oxy平面的交線為

這是一個橢圓，稱為此曲面的腰橢圓.

此曲面與Oxz平面，Oyz平面的交線分別為

它們都是雙曲線.

此曲面的平行于Oxy平面的截口為

這是一個橢圓，并且當(dāng)h增大時，截口橢圓的長、短半軸

均增大.單葉雙曲面的圖形如圖3.16所示.

（4）漸近錐面.錐面

稱為單葉雙曲面（3.2）的漸近錐面.

用平面z=h截此錐面，截口為橢圓

這個橢圓的長、短半軸分別為

因為

所以同理，這說明，當(dāng)|h|無限增大時，單葉雙曲面的截口橢圓與它的漸近錐面的截口橢圓任意接近，即單葉雙曲面與它的漸近錐面無限地任意接近.方程

表示的圖形稱為雙葉雙曲面.它有下述性質(zhì)：

（1）對稱性.關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸、原點(diǎn)均對稱.

（2）范圍.由方程（3.4）得z≥c.

（3）形狀.此曲面與Oxy平面無交點(diǎn)，與Ozx平面，Oyz平面的

交線分別為

它們都是雙曲線.用平面z=h（h≥c）去截此曲面得到的截口為

這是一個橢圓或一個點(diǎn).雙葉雙曲面的圖形如圖3.17所示.

（4）漸近錐面.錐面

也是雙葉雙曲面（3.4）的漸近錐面.

3.3　橢圓拋物面和雙曲拋物面

方程

表示的曲面稱為橢圓拋物面.它有下述性質(zhì)：

（1）Ozx平面，Oyz平面是它的對稱平面；z軸是它的對稱軸.

（2）范圍.由方程（3.5）得z≥0.

（3）形狀.它與Ozx平面，Oyz平面的交線分別為

它們都是拋物線.用平面z=h（h≥0）去截此曲面得到的截口為

它是一個橢圓或一個點(diǎn).橢圓拋物面的圖形如圖3.18所示.

方程

表示的曲面稱為雙曲拋物面（或馬鞍面）.

Ozx平面和Oyz平面都是雙曲拋物面（3.6）的對稱平面，z軸是它的對稱軸.

雙曲拋物面（3.6）與Oxy平面的交線為

這是一對相交直線（經(jīng)過原點(diǎn)）.雙曲拋物面（3.6）與Ozx平面，Oyz平面的交線分別為

它們都是拋物線.用平面z=h（h≠0）去截此曲面，得到的截口為

這是雙曲線，當(dāng)h＞0時，實軸平行于x軸；當(dāng)h＜0時，實軸平行于y軸（如圖3.19）.

當(dāng)平行移動拋物線使它的頂點(diǎn)沿拋物線移動時，

便得到馬鞍面（3.6）.這是因為，點(diǎn)M（x,y，z）T在此軌跡上的充分必要條件是，M在以拋物線

上的一個點(diǎn)M0（x0，y0，z0）T為頂點(diǎn)且軸平行于z軸，形狀、開口與

一樣的拋物線上，即有

消去x0，y0，z0，得到

即

3.4　二次曲面的種類

到目前為止，我們學(xué)過的二次曲面有以下17種：

一、橢球面

（1）橢球面：

（2）虛橢球面：

（3）點(diǎn)：

二、雙曲面

（4）單葉雙曲面：

（5）雙葉雙曲面：

三、拋物面

（6）橢圓拋物面：

（7）雙曲拋物面：

四、二次錐面

（8）二次錐面：

五、二次柱面

（9）橢圓柱面：

（10）虛橢圓柱面：

（11）直線：

（12）雙曲柱面：

（13）一對相交平面：

（14）拋物柱面：

x2=2py；

（15）一對平行平面：x2=a2；

（16）一對虛平行平面：x2=-a2；

（17）一對重合平面：x2=0.

我們可以證明二次曲面只有這17種，證明可參看《高等代數(shù)》（丘維聲著，科學(xué)出版社，2013年）第506～509頁.

習(xí)題　3.3

1.已知橢球面的對稱軸與坐標(biāo)軸重合，且經(jīng)過橢圓

以及點(diǎn)M（1，2，√23）T，求這個橢球面的方程.

2.已知橢圓拋物面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱平面為Ozx平面和Oyz平面，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2，5）T和1，求這個橢圓拋物面的方程.

3.已知馬鞍面的鞍點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱平面為Ozx平面和Oyz平面，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2，0）T和T

，求這個馬鞍面的方程.

4.求經(jīng)過兩條拋物線

的二次曲面的方程.

5.給定方程

問：當(dāng)k取異于a2，b2，c2的各種實數(shù)值時，它表示怎樣的曲面？

6.適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程：

（1）到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；

（2）到一定點(diǎn)和一定平面（定點(diǎn)不在定平面上）距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；

（3）設(shè)有一個固定平面和垂直于它的一條定直線，求到定平面與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡；

（4）求與兩給定直線等距離的點(diǎn)的軌跡，已知兩直線的距離為a，夾角為α.

7.設(shè)一個定點(diǎn)與一條二次曲線不在同一平面上，證明：以定點(diǎn)為頂點(diǎn)，這條二次曲線為準(zhǔn)線的錐面是二次曲面.

*8.由橢球面

的中心O任意引三條相互垂直的射線，與橢球面分別交于P1，P2，

P3，設(shè)證明：

*9.證明用經(jīng)過坐標(biāo)軸的平面和橢球面

相截時，有且僅有兩條截口曲線是圓，并說明這兩張截面的位置.