§2　柱面和錐面

2.1　柱面方程的建立

定義2.1　一條直線l沿著一條空間曲線C平行移動時所形成的曲面稱為柱面，其中l稱為母線，C稱為準線.

按定義，平面也是柱面.

對于一個柱面，它的準線和母線都不唯一，但母線方向唯一（除去平面外）.與每一條母線都相交的曲線均可作為準線.

設一個柱面的母線方向為υ（l,m，n）T，準線C的方程為

我們來求這個柱面的方程.

點M（x,y，z）T在此柱面上的充分必要條件是M在某一條母線上，即有準線C上一點M0（x0，y0，z0）T，使得M在經過M0，且方向向量為υ的直線上（如圖3.7）.因此有

消去x0，y0，z0，得

再消去參數u，得到x,y，z的一個方程，它就是所求柱面的方程.

如果給的是準線C的參數方程

則同理可得柱面的參數方程為

2.2　圓柱面，點的柱面坐標

現在來看圓柱面的方程.圓柱面有一條對稱軸l，圓柱面上每一個點到軸l的距離都相等，這個距離稱為圓柱面的半徑.圓柱面的準線可取成一個圓C，它的母線方向與準線圓垂直.如果知道準線圓的方程和母線方向，則可用2.1小節中所述方法求出圓柱面的方程.如果知道圓柱面的半徑為r，母線方向為υ（l,m，n）T，以及圓柱面的對稱軸l0經過點M0（x0，y0，z0）T，則點M（x,y，z）T在此圓柱面上的充分必要條件是M到軸l0的距離等于r，即

由此出發可求得圓柱面的方程.特別地，若圓柱面的半徑為r，對稱軸為z軸，則這個圓柱面的方程為

x2+y2=r2.（2.3）

幾何空間中任意一點M（x,y，z）T必在以為半徑，z軸為對稱軸的圓柱面上.如圖3.8所示，顯然這個圓柱面的參數方程為

因此，圓柱面上的點M被數對（θ，u）所確定，從而幾何空間中任一點M被有序三元實數組（r，θ，u）所確定.（r，θ，u）T稱為點M的柱面坐標.點M的柱面坐標與它的直角坐標的關系是

2.3　柱面方程的特點

從（2.3）式看到，母線平行于z軸的圓柱面的方程中不含z（即z的系數為零）.這個結論對于一般的柱面也成立，即我們有

定理2.1　若一個柱面的母線平行于z軸（x軸或y軸），則它的方程中不含z（x或y）；反之，一個三元方程如果不含z（x或y），則它一定表示一個母線平行于z軸（x軸或y軸）的柱面.

證明　設一個柱面的母線平行于z軸，則這個柱面的每條母線必與Oxy平面相交，從而這個柱面與Oxy平面的交線C可以作為準線.設C的方程是

點M在此柱面上的充分必要條件是，存在準線C上一點M0（x0，y0，z0）T，使得M在經過M0且方向向量為υ（0，0，1）T的直線上（如圖3.9）.因此有

消去x0，y0，z0，得

由于參數u可以取任意實數值，于是得到這個柱面的方程為

f（x,y）=0.

反之，任給一個不含z的三元方程g（x,y）=0，我們考慮以曲線

為準線，z軸方向為母線方向的柱面.由上述討論知，這個柱面的方程為g（x,y）=0.因此，方程g（x,y）=0表示一個母線平行于z軸的柱面.

母線平行于x軸和y軸的情形可類似討論.

例如，方程x表示母線平行于z軸的柱面，它與Oxy平面的交線為

這條交線是橢圓，因而這個柱面稱為橢圓柱面（如圖3.10）.

類似地，方程

分別表示母線平行于z軸的雙曲柱面（如圖3.11）、拋物柱面（如圖3.12）.

2.4　錐面方程的建立

定義2.2　在空間中，由曲線C上的點與不在C上的一個定點M0的連線組成的曲面稱為錐面，其中M0稱為頂點，C稱為準線，C上的點與M0的連線稱為母線（如圖3.13）.

一個錐面的準線不唯一，錐面上與每一條母線都相交的曲線均可作為準線.

設一個錐面的頂點為M0（x0，y0，z0）T，準線C的方程為

我們來求這個錐面的方程.

點M（x,y，z）T（M≠M0）在此錐面上的充分必要條件是M在一條母線上，即準線上存在一點M1（x1，y1，z1）T，使得M1在直線M0M上（如圖3.13）.因此有

消去x1，y1，z1，得

再消去u，得到x,y，z的一個方程，它就是所求錐面（除去頂點）的方程.

2.5　圓錐面

對于圓錐面，它有一根對稱軸l，它的每一條母線與軸l所成的角都相等，這個角稱為圓錐面的半頂角.與軸l垂直的平面截圓錐面所得交線為圓.如果已知準線圓方程和頂點M0的坐標，則用2.4小節所述方法可求得圓錐面的方程.如果已知頂點的坐標和軸l的方向向量υ以及半頂角α，則點M（x,y，z）T在圓錐面上的充分必要條件是

因此有

由（2.5）式可求得圓錐面的方程.

例2.1　求以三根坐標軸為母線的圓錐面的方程.

解　顯然，這個圓錐面的頂點為原點O.設軸l的一個方向向量為υ.因為三根坐標軸為母線，所以由（2.5）式得

因此，軸l的一個方向向量υ的坐標為（1，1，1）T或（1，1，-1）T或（1，-1，1）T或（1，-1，-1）T.考慮υ的坐標為（1，1，1）T，其余三種情形可類似討論.

因為點M（x,y，z）T在這個圓錐面上的充分必要條件是

即

于是得

xy+yz+xz=0.（2.6）

這就是所求的一個圓錐面的方程.

2.6　錐面方程的特點

方程（2.6）的特點是“每一項都是二次的”，稱之為二次齊次方程.如果令F（x,y，z）=xy+yz+xz，則有

F（tx,ty,tz）=t2（xy+yz+xz）=t2F（x,y，z）.（2.7）

關系式（2.7）可反映方程（2.6）是二次齊次方程的這一特點.一般地，有

定義2.3　F（x,y，z）稱為x,y，z的n次齊次函數（n是整數），如果

F（tx,ty,tz）=tnF（x,y，z）

對于定義域中的一切x,y，z以及任意非零實數t都成立.此時，方程F（x,y，z）=0稱為x,y，z的n次齊次方程.

定理2.2　x,y，z的齊次方程表示的曲面（添上原點）一定是以原點為頂點的錐面.

證明　設F（x,y，z）=0是n次齊次方程，它表示的曲面添上原點后記作S.在S上任取一點M0（x0，y0，z0）T，M0不是原點.于是直線OM0上任一點M1≠O的坐標（x1，y1，z1）T適合

從而有

F（x1，y1，z1）=F（x0t,y0t,z0t）=tnF（x0，y0，z0）=0.

因此M1在S上.于是整條直線OM0都在S上，所以S是由經過原點的一些直線組成的.這說明S是錐面.

定理2.3　在以錐面的頂點為原點的直角坐標系中，錐面可以用x,y，z的齊次方程表示.

證明從略.

習題　3.2

1.求半徑為2，對稱軸為x=y/2=z/3的圓柱面的方程.

2.設圓柱面的對稱軸為

且已知點M1（1，-2，1）T在這個圓柱面上，求這個圓柱面的方程.

3.已知圓柱面的三條母線為

x=y=z,x+1=y=z-1，x-1=y+1=z，

求這個圓柱面的方程.

4.求柱面的方程：

（1）準線為

母線平行于x軸；

（2）準線為

母線的方向向量為（1，-1，1）T；

（3）準線為

母線的方向向量為（-1，0，1）T；

（4）準線為

母線垂直于準線所在的平面.

5.求準線為

的圓柱面的方程.這樣的圓柱面有幾個？

6.求頂點為（1，2，3）T，軸與平面2x+2y-z+1=0垂直，且母線與軸所成的角為π/6的圓錐面的方程.

7.求頂點為M0（1，2，4）T，軸與平面2x+2y+z=0垂直，且經過點M1（3，2，1）T的圓錐面的方程.

8.給定球面x2+y2+z2+2x-4y+4z-20=0，求以（2，6，10）T為頂點的切錐面的方程.

9.求錐面的方程：

（1）頂點為（4，0，-3）T，準線為

（2）頂點為原點，準線為

（3）頂點為原點，準線為

（4）頂點為（0，0，2R）T，準線為

10.已知錐面S的頂點為（2，5，4）T，S與Oyz平面的交線為一圓，這個圓的圓心為（0，1，1）T，半徑為2，求這個錐面的方程.

11.已知球面x2+y2+z2=1的外切柱面的母線垂直于平面x+y-2z-5=0，求這個柱面的方程.*

*12.證明：球面的外切柱面是圓柱面.

13.過x軸和y軸分別作動平面，交角α是常數，求交線的軌跡方程，并且證明它是一個錐面.*