§4　直　紋　面

我們看到，柱面和錐面都是由直線組成的.這樣的曲面稱為直紋面.確切地說：

定義4.1　一曲面S稱為直紋面，如果存在一族直線，使得這一族中的每一條直線全在S上，并且S上的每個點都在這一族的某一條直線上.這樣一族直線稱為S的一族直母線.

二次曲面中哪些是直紋面？二次柱面（9種）和二次錐面（1種）都是直紋面.橢球面（3種）不是直紋面，因為它有界.雙葉雙曲面不是直紋面，因為當(dāng)它由方程（3.4）給出時，平行于Oxy平面的直線不可能全在S上，與Oxy平面相交的直線也不會全在S上.類似地可知，橢圓拋物面不是直紋面.剩下2種二次曲面：單葉雙曲面和雙曲拋物面，我們現(xiàn)在來說明它們都是直紋面.

定理4.1　單葉雙曲面和雙曲拋物面都是直紋面.

證明　設(shè)單葉雙曲面S的方程是

點M0（x0，y0，z0）T在單葉雙曲面S上的充分必要條件是

移項并且分解因式，得

即

或

因為不全為零，所以方程組

是X,Y的一次齊次方程組.由（4.3）式知，方程組（4.5）有非零解，即存在不全為零的實數(shù)μ0，ν0，使得

這表明點M0在直線

上.現(xiàn)在考慮一族直線：

其中μ，ν取所有不全為零的實數(shù).若（μ1，ν1）與（μ2，ν2）成比例，則它們確定直線族（4.7）中的同一條直線；若它們不成比例，則它們確定不同的直線.所以直線族（4.7）實際上只依賴于一個參數(shù)：μ與ν的比值.上面證明了：單葉雙曲面S上的任一點M0在直線族（4.7）的某一條直線（4.6）上.現(xiàn)在從直線族（4.7）中任取一條直線l1，它對應(yīng)于（μ1，ν1），且在l1上任取一點M1（x1，y1，z1）T，則有

因為μ1，ν1不全為零，所以（4.8）式說明二元一次齊次方程組

有非零解，從而方程組（4.9）的系數(shù)行列式等于零.于是，由本證明的開始部分知，M1（x1，y1，z1）T在單葉雙曲面S上.所以，S是直紋面，且直線族（4.7）是它的一族直母線.

類似地，用（4.4）式可得S的另一族直母線：

其中μ，ν取所有不全為零的實數(shù)（如圖3.20）.

類似的方法可以證明雙曲拋物面也是直紋面.若它的方程是

則它有兩族直母線：

和

其中λ取所有實數(shù)（如圖3.21）.

習(xí)題　3.4

1.求單葉雙曲面的經(jīng)過點（2，3，-4）T的直母線.

2.求直線族

所形成的曲面.

3.求與下列三條直線同時共面的直線所構(gòu)成的曲面：

4.求所有與直線

都共面，且與平面

π：2x+3y-5=0

平行的直線所構(gòu)成的曲面的方程.

5.設(shè)有直線l1和l2，它們的方程分別是

求所有由l1，l2上有相同參數(shù)值t的點的連線所構(gòu)成的曲面的方程.

6.證明：馬鞍面同族的所有直母線都平行于同一個平面，并且同族的任意兩條直母線異面.

7.證明：馬鞍面異族的任意兩條直母線必相交.

*8.證明：單葉雙曲面同族中的任意三條直母線都不平行于同一個平面.

*9.證明：單葉雙曲面同族的兩條直母線異面.

*10.證明：單葉雙曲面異族的兩條直母線共面.

11.求馬鞍面的正交直母線的交點軌跡.

*12.給定單葉雙曲面

求經(jīng)過S上一點M0（x0，y0，z0）T，沿方向（X,Y，Z）T的直線是S的直母線的條件.由此證明：經(jīng)過S上每一點恰有兩條直母線.

*13.證明：單葉雙曲面的每條直母線都與腰橢圓相交.

*14.設(shè)l1，l2是異面直線，它們都與Oxy平面相交，證明：與

l1，l2都共面，并且與Oxy平面平行的直線所構(gòu)成的曲面是馬鞍面.

*15.設(shè)三條直線l1，l2，l3兩兩異面，并且平行于同一平面，證明：與l1，l2，l3都相交的直線所構(gòu)成的曲面是馬鞍面.

§5　曲面的交線，曲面所圍成的區(qū)域

5.1　畫空間圖形常用的三種方法

在紙上畫空間圖形時，常用的有以下三種方法：

（1）斜二測法（即斜二等軸測投影法）.讓z軸垂直向上，y軸水平向右，x軸與y軸，z軸分別成135°角.規(guī)定y軸與z軸的單位長度相等，而x軸的單位長度為y軸的單位長度的一半（如圖3.22）.

（2）正等測法（即正等軸測投影法）.讓z軸垂直向上，x軸，y軸，z軸兩兩成120°角.規(guī)定三根軸的單位長度相等（如圖3.23）.

（3）正二測法（即正二等軸測投影法）.讓z軸垂直向上，x軸與z軸的夾角為90°+α，其中α是銳角，且tanα≈7/8；y軸與z軸的夾角為90°+β，其中β是銳角，且tanβ≈1/8.規(guī)定z軸和y軸的單位長度相等，而x軸的單位長度為y軸的單位長度的一半（如圖3.24）.有時也讓x軸與z軸夾角為90°+β，其中tanβ≈1/8；y軸的負(fù)向與z軸的夾角為90°+α，其中tanα≈7/8.此時x軸與z軸的單位長度相等，y軸的單位長度為z軸的單位長度的一半（如圖3.25）.

一般來說，采用正二測法畫出的圖形較逼真.我們現(xiàn)在用正二測法畫空間中的一個圓，它的方程是

先過點M（0，2，0）T分別作z軸和x軸的平行線，并截取ME=ME′=1（z軸的單位長度），截取MF=MF′=1（x軸的單位長度）.過E,E′，F(xiàn),F′分別作x軸和z軸的平行線，相交成一個平行四邊形AB-CD.再作它的內(nèi)切橢圓，使切點為E,E′，F(xiàn),F′，則所畫的這個內(nèi)切橢圓就是我們所要畫的空間中的圓，如圖3.26所示（注：在畫出直線EE′，F(xiàn)F′后，也可用描點法畫出我們所要畫的圓）.

畫空間中的橢圓的方法與上述類似.畫空間中的雙曲線或拋物線時，先畫出它們所在的平面（若它平行于坐標(biāo)面，則類似于上述畫直線EE′和FF′），然后在這個平面內(nèi)用描點法畫出雙曲線或拋物線.我們已經(jīng)會畫空間中的橢圓、雙曲線、拋物線，從而也就容易畫出§3中用標(biāo)準(zhǔn)方程給出的二次曲面了.例如，畫單葉雙曲面

只要先畫出用z=±c截曲面所得的截口橢圓以及腰橢圓，再畫出曲面與Ozx平面和Oyz平面相交所得的雙曲線，最后畫出必要的輪廓線就可以了（如圖3.16）.

5.2　曲線在坐標(biāo)平面上的投影，曲面的交線的畫法

空間中任一點M以及它在三個坐標(biāo)平面上的投影點M1，M2，M3這四個點中，只要知道了其中兩個點，就可以畫出另外兩個點.譬如，若知道了M2，M3兩個點，則只要分別過M2，M3畫出投影線（平行于相應(yīng)坐標(biāo)軸的直線），它們的交點就是點M，再過M畫投影線（平行于z軸），它與Oxy平面的交點就是點M1（如圖3.27）.

根據(jù)上述道理，為了畫出兩個曲面的交線Γ，就只要先畫出Γ上每個點在某兩個坐標(biāo)面上的投影.

曲線Γ上的所有點在Oxy平面上的投影組成的曲線稱為Γ在Oxy平面上的投影.顯然，曲線Γ在Oxy平面上的投影就是以Γ為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面與Oxy平面的交線.這個柱面稱為Γ沿z軸的投影柱面.類似地，可考慮Γ在Ozx平面和Oyz平面上的投影.

例5.1　求曲線

在各坐標(biāo)平面上的投影的方程，并且畫出曲線Γ及其在各坐標(biāo)面上的投影（曲線Γ稱為維維安尼曲線）.

解　Γ沿z軸的投影柱面的方程應(yīng)當(dāng)不含z，且Γ上的點應(yīng)適合這個方程，顯然方程（5.2）就符合要求.但是要注意，一般說來，投影柱面可能只是柱面（5.2）的一部分，這要根據(jù)曲線Γ上的點的坐標(biāo)有哪些限制來決定.對于本題來說，由方程（5.1）知，Γ上的點應(yīng)滿足

顯然滿足方程（5.2）的點均滿足這些要求，因此整個柱面（5.2）都是Γ沿z軸的投影柱面，從而Γ在Oxy平面上的投影的方程是

為了求Γ沿y軸的投影柱面，應(yīng)當(dāng)從Γ的方程中設(shè)法得到一個不含y的方程.用方程（5.1）減去方程（5.2）即得

z2+2x=4.（5.4）

由于Γ上的點應(yīng)滿足|z|≤2，所以Γ沿y軸的投影柱面只是柱面（5.4）中滿足|z|≤2的那一部分.于是，Γ在Ozx平面上的投影的方程是

其中|z|≤2.

類似地，可求得Γ在Oyz平面上的投影的方程為

Γ在Oxy平面上的投影是一個圓，在Ozx平面上的投影是拋物線的一段，這兩個投影比較好畫，因此先畫出Γ的這兩個投影，然后就可畫出曲線Γ以及它在Oyz平面上的投影.由于曲線Γ關(guān)于Oxy平面對稱，所以我們只畫出Oxy平面上方的那一部分，如圖3.28所示.

例5.2　求曲線

在Oxy平面和Ozx平面上的投影的方程，并且畫出這兩個投影和曲線Γ（在Oxy平面上方的部分）.

解　先看Γ上的點的坐標(biāo)有哪些限制.從方程（5.7）得

再代入方程（5.8）中得

于是得

-1≤x≤3.

Γ在Oxy平面上的投影的方程為

在Ozx平面上的投影的方程為

其中-1≤x≤3.畫出的圖形如圖3.29所示.

5.3　曲面所圍成的區(qū)域的畫法

幾個曲面或平面所圍成的空間的區(qū)域可用幾個不等式聯(lián)立起來表示.如何畫出這個區(qū)域呢？關(guān)鍵是要畫出相應(yīng)曲面的交線，隨之，所求區(qū)域就表示出來了.

例5.3　用不等式組表示出下列曲面或平面所圍成的區(qū)域，并畫圖：

解　x2+y2=2z是橢圓拋物面，x2+y2=4x是圓柱面，z=0是Oxy平面，因此它們所圍成的區(qū)域應(yīng)當(dāng)在Oxy平面上及其上方，在橢圓拋物面上及其外部，在圓柱面上及其內(nèi)部.于是這個區(qū)域可表示成

為了畫出這個區(qū)域，關(guān)鍵是要畫出橢圓拋物面與圓柱面的交線

Γ在Oxy平面上的投影的方程為

在Ozx平面上的投影的方程為

由Γ的兩個投影可畫出Γ，再畫出圓柱面和橢圓拋物面，則所求的區(qū)域就畫出來了（如圖3.30）.

習(xí)題　3.5

1.畫出下列曲面：

（1）x2-y=0；

（2）4x2+4y2-z2=0；

2.求下列曲線在Oxy平面和Oyz平面上的投影的方程，并且畫出這兩個投影和曲線本身：

3.求下列曲線在Oxy平面和Ozx平面上的投影的方程，并且畫出這兩個投影和曲線本身：

4.用不等式組表達(dá)下列曲面或平面所圍成的空間區(qū)域，并且畫圖：

（1）x2+y2=16，z=x+4，z=0；

（2）x2+y2=4，y2+z2=1；

（3）x2+y2+z2=5，x2+y2=4z.

5.畫出下列不等式組表示的區(qū)域：

（1）x2+y2≤1，y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0；

（2）x2+y2≥4z,x+y≤1，x≥0，y≥0，z≥0.