3.2 端點(diǎn)間二次樣條的構(gòu)建

在兩個(gè)路點(diǎn)之間生成曲線，并且要求兩個(gè)路點(diǎn)可以自由控制位置和朝向（切線方向）時(shí)，使用單一的一段二次曲線會(huì)遇到自由度不夠的問題。這里構(gòu)造了如下兩條拼接的二次曲線來解決這個(gè)問題（見圖3.1）。

給定起點(diǎn)P0、起點(diǎn)切線T0、終點(diǎn)P1和終點(diǎn)切線T1，有二次曲線f1(t)和f2(t)，令其滿足如下條件：

對(duì)于f1(1)和f2(0)，假設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)Pm，在該點(diǎn)處曲線滿足：

從而可以得到兩條曲線的系數(shù)方程組：

該方程組的解為

則有

可以看到，最終動(dòng)點(diǎn)Pm不會(huì)出現(xiàn)在方程中，它為隱含的點(diǎn)，對(duì)外部是透明的。為了將分段曲線當(dāng)作一段曲線使用，還需要將兩段子曲線的參數(shù)t歸一化到統(tǒng)一的[0,1]范圍內(nèi)。令為參數(shù)t歸一化后的分段二次曲線，有,。這里使用每段子曲線占拼接曲線的比例來歸一化曲線參數(shù)。設(shè)L1、L2分別為曲線和的長(zhǎng)度，則有

類似的，也可以得到曲線的長(zhǎng)度方程，由子曲線長(zhǎng)度方程和表示的歸一化方程：

為此需要計(jì)算曲線f1(t)和f2(t)的曲線段和的長(zhǎng)度。對(duì)于二次曲線而言，曲線的線積分有解析解（分部積分）：

其中：

這些系數(shù)可以離線預(yù)計(jì)算好（靜態(tài)路徑），或者在運(yùn)行時(shí)初始化曲線的時(shí)候計(jì)算（動(dòng)態(tài)構(gòu)建路徑）。該公式較為復(fù)雜，但是多用于曲線歸一化的預(yù)處理過程中。如果進(jìn)一步完成了曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)化，將會(huì)使用更為簡(jiǎn)單的線性長(zhǎng)度計(jì)算。