3.3 資本積累與經濟增長

為了回答上面的問題，并探討經濟體的長期供給曲線不斷向右平移背后的經濟學故事，我們要講述索羅模型（Solow Model），這個模型現在已成為現代經濟增長理論的基準模型。索羅模型源于索羅1953年發表的一篇關于經濟增長的論文：《對經濟增長理論的一個貢獻》（Solow, R., “A Contribution to the Theory of Economic Growth,” Quarterly Journal of Economics，1956,70, pp.65-94）。正是這篇論文為索羅贏得了1987年度諾貝爾經濟學獎。

索羅模型旨在說明，在一個經濟體中，資本、勞動和技術進步等如何相互作用，及其對產出的影響。我們將分三步講述索羅模型：（1）考察經濟體中的產品供求如何決定資本積累；（2）考察經濟體中的經濟增長；（3）考察儲蓄率的變動等對經濟增長的影響。

索羅模型中的生產

假設世界上的每一個經濟體只生產和消費同一種商品。這種假定也許有點費解，這個世界怎么會只有一種商品呢？不妨認為這種商品就是國內生產總值（GDP）。國內生產總值既可用于消費，又可用于投資、生產，還便于利用觀察數據檢驗模型。

該假設隱含著經濟體間不存在貿易交換，即經濟體是封閉的。原因很簡單，由于只存在同一種商品，各個經濟體之間的交換可能毫無意義。比如班級就是我們要考察的一個世界，每個同學就是一個經濟體，每個人都有一個相同的蘋果，難道你會拿你的蘋果換取其他同學同樣的蘋果嗎？這種交換顯然沒有什么意義。

在索羅模型中，經濟體采用我們非常熟悉的柯布-道格拉斯生產函數（簡稱C-D生產函數）進行生產。C-D生產函數是經濟分析中廣泛使用的生產函數，其函數形式為：

其中，K、L和Y分別為資本、勞動和產出。α（0≤α≤1）是參數，表示資本產出彈性或資本所得在國民收入中所占份額；（1-α）是勞動產出彈性或勞動所得的份額。C-D生產函數至少具有如下兩個性質：

1．要素邊際生產率遞減，即當其他條件不變時，資本邊際產出和勞動邊際產出隨著資本和勞動投入的增加而增加，但增加量越來越小。即

2．規模報酬不變，即如果投入的資本和勞動都增加一倍，產出也增加一倍。

考慮到規模經濟在經濟增長理論中的地位，我們有必要停下來介紹一下規模經濟。規模經濟度量所有生產要素投入按相同比例變動對產出帶來的影響。如果F（λK, λL）=λY，對任意正常數λ都成立，則生產函數規模報酬不變；如果F（λK, λL）＞λY（λ＞1），則規模報酬遞增；若F（λK, λL）＜λY（λ＞1），則規模報酬遞減。

在經濟增長分析中，我們最感興趣的是人均量或勞均量。既然λ可以取任意正常數，那么不妨假定λ=1/L，代入F（λK, λL）=λY，得：

記y=Y/L，表示每個勞動力的產出水平，即勞均產出；k=K/L，表示勞均資本。上式可以簡化為：

公式（3—2）刻畫了經濟體里的勞均產出情況。如圖3-8所示，隨著勞均資本存量的增加，勞均資本邊際產出也不斷增加，但增加量越來越小。

有兩點需要說明，一是假定經濟體里的人口增長速度是常數n，勞動參與率也是常數，即勞動力與總人口的比例是一常數。這時，勞動力增長率恰好等于n。另一點是為了突出資本在經濟增長中的作用，在本章我們忽略了技術進步。

當然，這些假設與現實有一定的差距，在后面的分析中我們將會逐步放松這些假設。但是在這一部分，它們對索羅模型的建立卻起著非常重要的作用。其實，許多經濟學理論創建、發展的過程就是，首先研究簡化的經濟體如何運行，然后逐步放松假設條件，研究經濟體如何運行。

索羅模型中的收入分配

在考察消費之前，我們先考察經濟體的收入分配。因為沒有收入，就談不上消費。

在經濟體里，居民有兩個主要的收入來源：一個是工資收入，在勞動市場上，居民提供勞動力，獲得工資；另一個是利息收入。在封閉經濟體里，居民的儲蓄量等于投資量，也等于資本積累量。因此，居民把資本租賃給公司用于生產，獲得利息收入。

在競爭性市場上，廠商、居民都是價格接受者。為了分析方便，我們把產出的價格單位化。廠商追求利潤最大化，面臨的問題就可以表示為：

其中，w、r分別是工資和利息率。顯然，廠商為實現利潤最大化，將不斷增加資本和勞動的投入，直到生產要素的邊際產出等于其價格，即

因此，在經濟體里，居民總收入就是rK+wL。可以驗證rK+wL=Y，即總收入等于總產出Y。這表明，按邊際要素生產率進行分配，恰好能夠把總產出分凈，廠商的經濟利潤為零。另外，還可以驗證，資本所得和勞動所得在國民經濟收入分配中所占比重分別為α和（1-α），即

索羅模型中的消費和儲蓄

有了收入，我們就可以消費。比如你有100元收入，多少用來消費？全部用來消費，還是只消費80元，或者消費120元（寅吃卯糧，透支下個月的收入）？

為了簡單起見，不妨假定經濟活動主體的消費行為是一樣的，按照收入的固定比例，比如（1-s），來消費，即

C=（1-s）Y

其中，0≤s≤1。這么規定意味著，經濟活動主體可以把收入全部用來消費，或把部分收入用來消費，但不可能出現消費超過收入的情況。

有了經濟活動主體的消費，自然就可以表示出總儲蓄S，即

S=Y-C=sY

通過上式，我們很容易發現，s其實就是儲蓄率。

索羅模型中的投資

由以上分析可知，索羅模型所構造的是一個沒有政府、沒有外貿部門的兩部門經濟。兩部門經濟均衡的條件是儲蓄等于投資，即

I=S

我們已經討論了總儲蓄，S=sY。下面重點考察投資I的構成。

經濟體在每一時點上的凈投資，就是資本存量的改變量，即資本的時間導數。在經濟增長理論中，通常用變量上面加一點表示某一變量的時間導數。資本存在折舊，我們用δK表示資本折舊。其中，δ是折舊率，是與產量無關的一個常數。比如δ= 10%，則表示每年將有10%的資本折舊。因此，經濟體的總投資就可以表示為：

I=.K+δK

把儲蓄和投資的表達式代入I=S，整理得：

這是索羅模型中的核心方程，通常稱為總量資本積累方程。公式（3—3）的意思其實就是：資本存量的改變量等于總投資減去折舊，經濟含義非常直觀，甚至就是一個恒等式。

在公式（3—3）中，我們采用總量表示的資本積累，下面將采用勞均量表示。在經濟增長理論中，經常會碰到類似的問題。因此，分以下四步詳細推導：

1．定義人均量或勞均量。具體而言，我們要定義勞均資本存量，即

2．等式兩邊取自然對數。這時，勞均資本就可以表示為：

lnk=lnK-lnL

3．等式兩邊分別對時間求導，得：

4．整理得到勞均量的表達式。代入公式（3—3），整理得：

在以上四步中，第二步、第三步比較關鍵，通常概括為“兩邊取自然對數然后對時間求導”。這種取自然對數然后對時間求導的方法是計算增長速度常用的方法，我們在講述如何計算平均增長速度時已經運用了該方法。

與總量資本積累方程相比，勞均資本積累方程新增加了一項（nk），表示由于人口增長而減少的勞均資本。這一點并不難理解，由于每一期的勞動力數量比上一期增加nL。顯然，當其他條件不變時，勞均資本必然會隨著勞動力數量的增加而減少，減少量為nk。

小結

經濟體的總收入等于總產出；儲蓄率s決定了總收入在消費與儲蓄之間的配置；當經濟均衡時，總投資等于總儲蓄。圖3-9說明了，對任何一個勞均資本存量k，勞均收入是如何由生產函數決定的，以及這一收入是如何在消費和投資之間配置的。

索羅模型中的經濟增長

到目前為止，我們已經考察了經濟體的生產、收入、消費以及投資，現在可以分析經濟體的經濟增長了。

我們已經推導了索羅模型中兩個用勞均量表示的核心方程：

顯然，這兩個核心方程可整理為：

公式（3—4）可謂索羅模型核心方程的核心，本節主要圍繞公式（3—4）展開。首先，考察在索羅經濟體中勞均資本存量的長期增長。

我們用索羅圖考察勞均資本的長期增長，如圖3-10所示。索羅圖包含兩條曲線，分別表示以勞均資本k為自變量的兩個函數。一條曲線用于描述勞均儲蓄量skα，它與圖3-8中生產函數的形狀相同，只是被向下壓縮了一些。另一條曲線（n+δ）k表示資本損耗和勞動力數量增加對勞均資本的稀釋，從另外一種角度看，該曲線的經濟含義就是：為保持勞均資本不變，需要追加的人均投資量。顯然，這兩條曲線之間的部分就是勞均資本的改變量或者是勞均資本積累量．k。從圖形上看，勞均資本積累量．k大致有三種可能性：

這似乎表明，隨著時間的推移，資本可能呈現出三種變化，果真如此嗎？下面我們將分兩種情況討論。

1．經濟體的初始勞均資本量如圖3-10中的k1所示。這時，隨著時間的推移，k會怎樣變化？在k1處，勞均積累量大于為保持勞均資本不變所必需的積累量，即。這意味著，隨著時間的推移，勞均資本存量k將不斷增加。從圖形上看，這種勞均資本增加的過程會一直持續下去，直到勞均資本存量足夠大，等于k*時為止。在該點，勞均資本存量保持不變。

2．經濟體的初始勞均資本量如圖3-10中的k2所示。在這種情況下，勞均資本存量最終會減少到k*嗎？不妨按照同樣的邏輯進行分析。在k2點處，勞均積累量小于為保持勞均資本不變所必需的積累量，即。結果，隨著時間的推移，勞均資本存量k不斷減少。這一過程也會一直持續到k*處。在該點，勞均資本存量保持不變。

以上分析表明，無論經濟體的初始勞均資本存量是多少，最終都會收斂到k*。從此，，勞均資本存量保持不變。因此，我們把該點稱為穩定狀態（steady state），即圖3-10中的E點。

既然經濟體最終都會收斂到穩定狀態，那么我們就重點考察經濟體處于穩定狀態的經濟增長。在經濟增長理論中，處于穩定狀態的經濟增長稱為長期經濟增長；從初始狀態向穩定狀態收斂過程中的經濟增長，稱為短期經濟增長。

當經濟處于穩定狀態時，，由公式（3—4）和公式（3—2）可得勞均產出（收入）的表達式，即

你現在也許有點吃驚：在穩定狀態下，勞均收入水平竟然是一個常數！不存在經濟增長！如圖3-11所示。

在圖3-11中，左右兩幅圖的橫軸表示時間，并把經濟體收斂到穩定狀態的時刻記為零時刻。左圖描述的是，隨著時間的推移，穩定狀態勞均收入水平的變動情況，從圖形上看，勞均收入水平保持不變。相應地，穩定狀態勞均收入的增長速度等于零。這表明，僅靠物質資本積累，并不能夠實現長期經濟增長。

索羅模型的結論是否與你對周圍世界的觀察相符？比如說，在中國你經常觀察到，幾乎各級政府都強調投資拉動經濟增長。如果物質資本投資不能夠帶來經濟增長，那么為什么還強調投資？如果你有這樣的困惑，不妨再回憶一下我們對長期經濟增長和短期經濟增長的劃分。到目前為止，索羅模型的結論是：物質資本積累并不能夠帶來長期經濟增長，沒有提及物質資本是否能夠帶來短期經濟增長。

現在我們考察物質資本積累能否帶來短期經濟增長，將分以下三步進行：

1．尋找勞均資本與其增長速度之間的關系。為了更加直觀地描述物質資本積累與增長速度之間的關系，在公式（3—4）兩邊同時除以k，則得：

由于就是勞均資本k增長速度的定義，我們不妨記為gk。因此，上式可以把勞均資本增長速度gk表示為勞均資本k的函數，即

2．尋找勞均資本增長速度與勞均產出增長速度之間的關系。公式（3—2）描述的生產函數反映了勞均資本k與勞均產出y之間的投入產出關系，公式（3—2）兩邊取自然對數，然后對時間求導，可得：

其中，gy就是勞均產出的增長速度。現在，你也許已經體會到“兩邊取自然對數然后對時間求導”的魔力了。

3．尋找勞均產出增長速度gy與勞均資本k之間的關系。把公式（3—6）代入公式（3—7），可得：

公式（3—8）揭示了勞均產出增長速度是勞均資本的減函數，如圖3-12所示。

在圖3-12中，橫軸表示勞均資本，黑色曲線是勞均產出的增長速度；灰色曲線是勞均資本的增長速度。初始時刻，經濟體的勞均資本存量為k1，這時勞均資本的增長速度為灰色曲線上相應的點到水平軸的距離，顯然大于零，即勞均資本存量會不斷增加，一直增加到穩定狀態的[s/（n+δ）]1/（1-α）。顯然，這與圖3-10所傳遞的信息是一致的。

同理，勞均產出也存在短期經濟增長。當勞均資本為k1時，勞均產出的增長速度gy為黑色曲線，顯然也是大于零的。這表明，當經濟體還沒有收斂到穩定狀態時，勞均資本是可以帶來經濟增長的。由于勞均產出增長速度是向右下方傾斜的，隨著勞均資本k從k1一直增加到穩定狀態的[s/（n+δ）]1/（1-α），勞均產出的增長速度將會逐漸下降為零。

小結：資本在經濟增長中的作用

無論經濟體初始時刻的勞均資本是高還是低，經濟體最終都會收斂到穩定狀態，從此保持不變；

資本積累不能夠帶來長期經濟增長，但可以帶來短期經濟增長，盡管短期增長速度會遞減到零。