1.2　集合的表示法

本節重點知識：

1.列舉法.

2.描述法.

集合的元素有多有少，有的是有限集，有的是無限集，在不同的地方，使用集合研究問題的目的也各不相同，根據不同的需要，表示集合的方法也各不相同.經常使用的表示集合的方法有兩種：

1.列舉法

我們把“中國古代四大發明”組成的集合表示為{指南針，造紙術，活字印刷術，火藥}，把“方程x2-9=0的所有實數根”組成的集合表示為{-3，3}.

像這樣把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

例1　用列舉法表示下列集合：

（1）小于8的所有自然數組成的集合；

（2）方程x2=x的所有實數根組成的集合；

（3）大于0且小于8的偶數組成的集合.

分析　題目中要求用列舉法表示集合，需先分析集合中元素的特征及滿足的性質，再一一列舉出來滿足條件的元素.

解　（1）小于8的所有自然數組成的集合{0，1，2，3，4，5，6，7}.

由于集合中元素具有無序性，因此集合可以有不同的列舉方法.例如{7，6，5，4，3，2，1，0}.

（2）方程x2=x的所有實數根組成的集合{0，1}.

（3）大于0且小于8的偶數組成的集合{2，4，6}.

列舉法表示的集合的種類：

（1）元素個數少且有限時，全部列舉，如{1，2，3，4}；

（2）元素個數多且有限時，可以列舉部分元素，中間用省略號表示，如{1，2，3，4，…，100}；

（3）元素個數無限但有規律時，如自然數集N可以表示為{0，1，2，3，…}

用列舉法表示集合時要注意以下幾點：

（1）元素間用“，”隔開，而不是用“、”隔開；

（2）元素不能重復，滿足元素的互異性；

（3）元素排列沒有順序，滿足元素的無序性；

（4）對于含較多元素的集合，如果構成該集合的元素有明顯規律，可用列舉法，但必須把元素間的規律表述清楚后才能用省略號.

練一練

用列舉法表示下列集合：

（1）大于-2且小于10的所有整數組成的集合；

（2）小于11的所有整數組成的集合；

（3）方程x2=16的所有實數根組成的集合；

（4）不大于10的所有正偶數組成的集合；

（5）大于 且小于 的所有偶數組成的集合；

（6）12的所有正因數組成的集合.

注意：

空集?與集合{0}不同，?指的是不含任何元素的集合；{0}是由一個元素0所組成的集合.

想一想

（1）你能用自然語言描述集合{2，4，6，8，10}嗎？

（2）你能用列舉法表示不等式x-2<5的解集嗎？

2.描述法

我們不能用列舉法表示不等式x-2<5的解集，因為這個集合中的元素是列舉不完的.但是，我們可以用這個集合中元素所具有的共同特征來描述.

例如，不等式x-2<5的解集中所含元素的共同特征是：x∈R，且x-2<5，即x<7.所以，我們可以把這個集合表示為

{x|x<7，x∈R}

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征及取值（或變化）范圍.

注意豎線“|”不能省略.集合中元素的共同性質可以用文字語言或符號語言描述.例如，由直線y=x+1上的點組成的集合，可以表示為：{P|P是直線y=x+1上的點}或{（x，y）|y=x+1}.

例2　用描述法表示下列集合：

（1）大于-5的所有實數組成的集合；

（2）{2，4，6，8，10}；

（3）不小于-2的所有有理數組成的集合；

（4）所有平行四邊形組成的集合.

分析　用描述法表示集合時要先確定集合中元素的特征，再給出其滿足的條件.

解　（1）設大于-5的實數為x，它滿足條件x>-5，且x∈R，因此，用描述法表示為

A={x|x>-5，x∈R}；

當x的取值集合為R時，x∈R可省略不寫，可寫作A={x|x>-5}.

（2）設這個集合中的元素為x，它滿足條件x=2n，n<6，且n∈N+，因此，用描述法表示為

B={x|x=2n，n<6，n∈N+}；

（3）設不小于-2的有理數為x，它滿足條件x≥-2，x∈Q，因此，用描述法表示為

C={x|x≥-2，x∈Q}；

（4）設平面圖形為x，它滿足的條件是平行四邊形，因此，用描述法表示為

D={x|x是平行四邊形}.

描述法表示集合的條件：對于元素個數不確定且元素間無明顯規律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以將集合中元素的共同特征描述出來，即采用描述法.

用描述法表示集合時要注意以下幾點：

（1）寫清楚集合的代表元素的符號；

（2）說明集合中元素的共同屬性；

（3）不能出現未被說明的字母；

（4）多層描述時，要準確使用“且”“或”；

（5）所有描述的內容都要寫在花括號內，用于描述的內容要簡明、準確；

（6）在不致引起混淆的情況下，用描述法表示集合還可以使用簡單的形式，如{直角三角形}，{小于10的正整數}；

（7）當x的取值集合為R時，x∈R可省略不寫，如{x|x>2，x∈R}可寫作{x|x>2}.

練一練

用描述法表示下列集合：

（1）小于60的所有自然數組成的集合；

（2）大于-2且小于10的所有實數組成的集合；

（3）大于8的所有有理數組成的集合；

（4）不小于 的所有整數組成的集合；

（5）{1，3，5，7，9}；

（6）所有等腰三角形組成的集合.