第11節　結構概念

有一類特殊的關系描述，我們稱之為結構描述。這類描述不僅像任何關系描述一樣不提及各關系項的特性，而且甚至也不提及這些項之間的關系本身。在結構描述中，只是說明關系的結構，即其全部形式特性的總體（我們在下面將給結構以更確切的定義）。所謂關系的形式特性，我們理解為無須涉及該關系的含義和具有該關系的對象的種類即可予以表述的那些特性。它們是關系理論的對象。關系的形式特性只能借助邏輯斯蒂的符號來加以定義，因而最后要借助構成邏輯斯蒂（符號邏輯）之基礎的很少幾個基本符號來加以定義；因此這些符號不是關系理論特有的，而是構成全部邏輯大廈（命題理論，命題函項［概念］理論，類的理論和關系理論）之基礎的一些符號。

我們舉出幾個最重要的形式特性。

一種關系如果與它的逆反關系是等同的（例如同齡關系），就稱為對稱的；否則就稱為非對稱的（例如兄弟關系）；一種非對稱關系如果排除它的逆反關系，就稱為不對稱的（例如父親關系）。一種關系如果永遠能滿足等同性的條件（在其范圍內），就稱為自反的（例如同齡關系），否則就稱為非自反的（例如老師關系）；一種非自反的關系如果排除等同性，就稱為不自反的（例如父親關系）。一種關系如果對再下一個關系項也永遠適用，就稱為傳遞的（例如祖先關系），否則就稱為非傳遞的（例如朋友關系）；一種關系如果是決不適用于再下一個關系項的，那么這種非傳遞關系就稱為不傳遞關系（例如父親關系）。在一種關系域內兩個不同的項之間如果永遠具有這種關系或者它的逆反關系，這種關系就稱為連通的（例如，六人聚餐會時“某某左邊的一、二或三個座位”這種關系）。一種關系如果是不自反的、傳遞的（因而不對稱的）和連通的，就稱為一個序列（例如實數中的“小于”）。一種關系如果是對稱的和自反的，就稱為“相似性”；如果它還是傳遞的，就稱為“相等”。（參閱第71，73節）

關系的其他形式特性有：一對多，多對一，一對一，關系域內給定的諸項的數，前域諸項的數，后域諸項的數，開頭諸項的數，最后諸項的數，等等。

為了清楚地說明關系結構的含義，我們且以“箭頭”來示意任一關系：所有的關系項均用點來表示，從每一點都有一箭頭通到與該點有這種關系的其他各點。一個雙箭頭指這種關系在正反兩個方向上都對之適用的關系項序偶；一個逆轉的箭頭指這種關系是其自身關系的一個項。如果兩種關系具有相同的箭頭示意圖，那么它們就稱為“同一結構的”或“同構的”。這種箭頭示意圖可以說是對結構的符號表達。當然兩種同構的關系并不需要以完全相同的箭頭示意圖來表示。有兩個箭頭示意圖，如果其中一個可以通過變形（但不打亂聯系）而趨近另一個（拓撲學的等值），我們也稱它們是同構的。