1.4　復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

1.4.1　復(fù)變函數(shù)的概念

復(fù)變函數(shù)的定義在形式上與一元實(shí)函數(shù)一樣，只是其自變量和函數(shù)的取值推廣到了復(fù)數(shù).

定義1.4.1　設(shè)G是一個(gè)非空復(fù)數(shù)集合，如果對(duì)G內(nèi)的任一復(fù)數(shù)z，按照某一確定的法則總有一個(gè)（多個(gè)）復(fù)數(shù)w與之對(duì)應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的單值（多值）函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)，記作

w=f（z）.

其中z叫做自變量，w叫做因變量，集合G叫做該函數(shù)的定義域，與G中所有z對(duì)應(yīng)的w值的集合G*叫做該函數(shù)的值域.

今后如無(wú)特殊聲明，所討論的復(fù)變函數(shù)均為單值函數(shù).

【例1.4.1】　討論w=z2是否為單值函數(shù).

解　令z=x+iy，w=u+iv，則

w=u+iv=z2=（x+iy）2=x2-y2+2xyi，

由此得

u=x2-y2，v=2xy.

由于這兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)都是單值函數(shù)，因而w=z2是z的單值函數(shù).

【例1.4.2】　w2=z是否為單值函數(shù)？

解　令z=reiθ，w=ρeiφ，則

ρ2ei2φ=reiθ，

由此得        

ρ2=r，2φ=θ+2kπ.

即        

取；取.因而知w2=z是z的多值函數(shù).

從以上例子可以看出，由于給定了復(fù)數(shù)z=x+iy就相當(dāng)于給定了兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y，而復(fù)數(shù)w=u+iv也同樣對(duì)應(yīng)著兩個(gè)實(shí)數(shù)u和v，所以復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f（z）相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式：

u=u（x，y），v=v（x，y），

它們確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)函數(shù).

1.4.2　復(fù)變函數(shù)的極限

復(fù)變函數(shù)極限的定義在敘述形式上與一元實(shí)函數(shù)的極限一致，即

定義1.4.2　設(shè)A為復(fù)常數(shù)，函數(shù)w=f（z）在點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<ρ內(nèi)有定義.如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總可找到相應(yīng)的正數(shù)δ（δ≤ρ），使得當(dāng)0<|z-z0|<δ　時(shí)恒有

|f（z）-A|<ε，

則稱A為f（z）當(dāng)z→z0時(shí)的極限.記作

其幾何意義是當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小的δ去心鄰域時(shí)，它的像點(diǎn)f（z）就落入A預(yù)先給定的ε鄰域中.這與一元實(shí)函數(shù)的極限的幾何意義相比十分類似，只是這里用圓域代替了那時(shí)的鄰域.

注意　這里“f（z）→A　（z→z0）”意味著“當(dāng)點(diǎn)z在該鄰域內(nèi)沿任何方向，以任意路徑和方式趨于z0時(shí)f（z）都趨于同一個(gè)常數(shù)A”.顯然，這比一元實(shí)函數(shù)極限的定義的要求要苛刻的多.為此，我們可以通過(guò)考察函數(shù)沿某些特殊路徑的極限不同或不存在，來(lái)判斷其極限不存在.

關(guān)于極限的運(yùn)算有以下定理.

定理1.4.1　設(shè)函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y），A=u0+iv0，z0=x0+iy0，則的充要條件是

定理1.4.2　若，則有

（1）；

（2）；

（3）

利用極限的定義可以證明上述定理，請(qǐng)讀者自己完成.

1.4.3　復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性

定義1.4.3　若，則稱函數(shù)f（z）在z0處連續(xù)；若f（z）在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).

定理1.4.3　函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在點(diǎn)z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u（x，y）和v（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處連續(xù).

定理1.4.4　①在點(diǎn)z0處連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f（z）和g（z）的和、差、積、商（分母在z0處不為零）在z0處仍然連續(xù)；②若函數(shù)h=g（z）在點(diǎn)z0處連續(xù)，w=f（h）在h0=g（z0）連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)

w=f［g（z）］點(diǎn)z0處連續(xù).

由該定理可以看出，復(fù)有理多項(xiàng)式函數(shù)

w=P（z）=a0+a1z+…+anzn

在整個(gè)復(fù)平面上連續(xù)，而復(fù)有理分式函數(shù)

w=P（z）/Q（z）

在復(fù)平面內(nèi)使分母Q（z）≠0的點(diǎn)處也是連續(xù)的，其中P（z），Q（z）都是復(fù)有理多項(xiàng)式函數(shù).

另外，若函數(shù)f（z）在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上也連續(xù)，因此二元連續(xù)函數(shù)|f（z）|在上達(dá)到它的最大值和最小值，分別稱為f（z）在上的最大模和最小模.于是有

定理1.4.5　設(shè)函數(shù)f（z）在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則f（z）在上達(dá)到它的最大模和最小模.

推論　若函數(shù)f（z）在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則f（z）在上有界.

特別地，在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段C上連續(xù)的函數(shù)f（z），在曲線段C上是有界的，即存在一正數(shù)M，使當(dāng)z∈C時(shí)恒有

|f（z）|≤M.

這一結(jié)論在級(jí)數(shù)部分的理論證明中將會(huì)用到.